1、数学试题（第 1 页 共 14 页） 福州市 2020 届高三毕业班适应性练习卷 数学（文科） 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 第第 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共
2、 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知集合,|24Ax yxy，,|10Bx yxy ，则AB A B2,1 C2,1 D1,2 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学 运算等数学核心素养 【答案】D 【解答】由 24, 10 xy xy 得 1, 2, x y 所以AB1,2 2. 已知复数z满足6,25zzz z，则z A34i B34i C43i D43i 【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考
3、查直观想象、数 学运算等数学核心素养 【答案】A 【解答】设izab（, a bR） ，依题意得， 22 26,25aab，解得3,4ab， 所以z 34i 数学试题（第 2 页 共 14 页） 3. 已知 12 ,e e均为单位向量，若 12 3ee，则 1 e与 2 e的夹角为 A30 B60 C120 D150 【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考 查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养 【答案】C 【解答】依题意， 12 1ee， 2 12 3ee，所以 12 223ee，即 12 1 2 ee，所 以 12 12 12 1 cos, 2 e
4、e e e e e ，所以 12 ,120e e 4. 函数 3 35 x f xx的零点所在的区间为 A0,1 B 3 1, 2 C 3 ,2 2 D 5 2, 2 【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑 推理，数学运算，直观想象等数学核心素养 【答案】B 【解答】依题意， f x为增函数， 13 1 50,f 23 23250,f 3 2 f 3 3 27 5 8 13 3 30 8 ，所以 f x的零点所在的区间为 3 1, 2 5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同时被 抽到的概率为 A 1 10 B 1
5、 5 C 3 10 D 2 5 【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运 算和逻辑推理等数学核心素养 【答案】C 【解答】 从 5 个人中随机抽取 3 人， 所有的情况为甲,乙,丙， 甲,乙,丁， 甲,乙,戊， 甲,丙,丁， 甲,丙,戊， 甲,丁,戊， 乙,丙,丁， 乙,丙,戊， 乙,丁,戊， 丙,丁,戊， 共 10 种结果记“甲、乙同时被抽到”为事件A，则A包含基本事件甲,乙,丙，甲, 乙,丁，甲,乙,戊，共 3 个，故 3 10 P A 数学试题（第 3 页 共 14 页） 6. 若tan2sin，则cos2 A 1 4 B1 C 1 2 或 0 D 1
6、2 或 1 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算 等数学核心素养 【答案】D 【解答】由题设得， sin 2sin cos ，所以sin0，或 1 cos 2 所以cos21 2 2sin1，或 2 1 cos22cos1 2 7. 已知平面平面，直线,lm，则“ml”是“m”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关 系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素 养 【答案】C 【解析】若ml，则根据面面垂直的性质定理
7、可得m；若m，则由l， 可得ml故选 C 8. 已知过点0,1的直线与抛物线 2 4xy交于 1122 ,A x yB xy两点，若 12 9 4 yy， 则AB A 25 4 B 17 4 C 13 4 D 9 4 【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知 识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养 【答案】B 【解答】 依题意， 点0,1为抛物线的焦点， 则由抛物线的定义可得AB 12 2yy 917 2 44 数学试题（第 4 页 共 14 页） 9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门 课程已知甲同学
8、选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁 与丙没有相同课程则以下说法错误 的是 A丙有可能没有选素描 B丁有可能没有选素描 C乙丁可能两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选素描 【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养 【答案】C 【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描那么假设丙选择了素描，则丁一 定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描综上，必定有且只有 2 人选择素 描，选项 A，B，D 判断正确 不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现 如下两种情况： 由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此 C
9、 不正确 10. 定义在R上的奇函数 f x满足 2fxf x， 且当10x 时， 21 x f x ， 则 2 log 20f A 1 4 B 1 5 C 1 5 D 1 4 【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学 运算和数学抽象等数学核心素养 【答案】B 【解答】依题意， 2fxfxf x，所以 4fxf x，所以 f x为周 期函数，周期为 4又 2 2log 53，所以 2 12log 50，所以 2 log 20f 2 2log 5f 22 log 522log 5ff 2 2 log 5 21 4 1 5 1 5 11. 已知函数 sincosf
10、 xxx，将 f x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵 坐标保持不变，得到函数 yg x的图象若 12 2g x g x，则 12 |xx的最小值 情形一 甲 乙 丙 丁 情形二 甲 乙 丙 丁 素描 素描 摄影 摄影 数学试题（第 5 页 共 14 页） 为 A 2 B C2 D4 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识， 意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养 【答案】A 【解答】 2sin 4 f xx ，所以 2sin 2 4 g xx ，故 g x的周期为，且 max2,g x min 2g x 因为 12 2g xg x，
11、所以 12 2g xg x ，或 12 2g xg x ，所以 12 , 2 xxkkN，所以 12min | 2 xx 12. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab （0,0ab）的一条渐近线方程为20xy，,A B分别 是C的左、右顶点，M是C上异于,A B的动点，直线,MA MB的斜率分别为 12 ,k k， 若 1 12k，则 2 k的取值范围为 A 1 1 , 8 4 B 1 1 , 4 2 C 11 , 48 D 11 , 24 【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数 的概念与性质等基础知识， 意在考查逻辑推理、 直观想象、 数学运算等数
12、学核心素养 【答案】A 【解析】依题意， 1 2 b a ，则双曲线的方程为： 22 22 1 4 xy bb ，则2 ,0 ,2 ,0AbBb， 设 00 ,M x y， 则 22 00 22 1 4 xy bb ， 所以 2 2 0 2 2 000 12 2222 0000 1 4 1 22444 x b byyy k k xb xbxbxb ， 因为 1 1,2k ，所以 1 2 1 1 , 8 4 1 4k k 第第 卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13. 若实数 x
13、，y 满足约束条件 2, 220, 10, y xy xy 则2zxy的最大值为 数学试题（第 6 页 共 14 页） 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在 考查直观想象与数学运算等数学核心素养 【答案】4 【解答】 作出可行域如图所示， 则当直线2zxy过点(3, 2)A时z 取最大值 4 14. ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 若c o sc o s2aB bAa c， 则a 【命题意图】 本题主要考查解三角形、 三角恒等变换等基础知识， 意在考查逻辑推理、 数学运算、直观想象等数学核心素养 【答案】 1 2 【解答】由题设及正弦定理得si
14、ncossincos2 sinABBAaC，所以sin AB 2 sinaC又ABC，所以sin2 sinCaC，所以 1 2 a 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动 学家勒洛首先发现， 其作法是： 以等边三角形每个顶点为圆心， 以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边 三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒洛三角形，它们所对 应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机 取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为_ 【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础 知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建
15、模、数学运算和逻辑推 理等数学核心素养 【答案】 1 9 【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，则小勒洛三角形 的面积 1 S 2 2 2 3 4 32 62 a a a ，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应 的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积 2 S 2 3 2 a 2 9 2 a ，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概 率 1 2 S P S 1 9 数学试题（第 7 页 共 14 页） 16. 在三棱锥PABC中，PA底面ABC，,6,8ABAC ABAC，D是线段AC上一 点，且3ADDC三棱锥PABC的各个顶点都在球O表
16、面上，过点D作球O的截 面，则所得截面圆的面积的最小值为 【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面等基础 知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养 【答案】12 【解答】 将三棱锥PABC补成直三棱柱， 则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O， 记三角形ABC的外心为 1 O，设球的半径为R，2PAx，则 球心O到平面ABC的距离为x，即 1 OOx，连接 1 O A，则 1 1 5 2 O ABC，所以 22 25Rx在ABC中，取AC的中 点为E，连接 11 ,O D O E，则 1 1 3 2 O EAB， 1 2 4 DEAC， 所以 1 13
17、O D 在 1 RtOO D中， 2 13ODx，由题意得到当截面与直线OD垂 直 时 ， 截 面 面 积 最 小 ， 设 此 时 截 面 圆 的 半 径 为r， 则 22222 2 51 31 2rRO Dxx， 所以最小截面圆的面积为12 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要 求作答求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分
18、 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 11 nn nanan n ，设 n n a b n （1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn，求数列 n c的前n项和 【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数 学运算等数学核心素养满分 12 分 【解答】 （1）因为 n n a b n ，所以 nn anb， 1 分 A B C 1 O O E D P 数学试题（第 8 页 共 14 页） 又因为 1 11 nn nanan n ， 所以 1 111 nn n nbnnbn n ，即 1 1 nn bb ，
19、3 分 所以 n b为等差数列， 4 分 其首项为 11 1ba，公差1d 5 分 所以11 n bnn 7 分 （2）由（1）及题设得，2n n cn， 8 分 所以数列 n c的前n项和 23 2222123 n n Sn 9 分 1222 122 n nn 11 分 2 1 22 2 n nn 12 分 18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形，ACBDO （1）证明： 1 BC平面 1 A BD； （2）设AB 1 2,AA 3 BAD ，若 1 AO 平面ABCD， 求三棱锥 11 BABD的体积 【命题意图】本题主要考查直线与直线、直
20、线与平面的位置关系、多面体的体积等基 础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养满分 12 分 【解析】 （1）证明：依题意， 11/ ABAB，且/ABCD， 11/ ABCD， 1 分 四边形 11 ABCD是平行四边形， 2 分 11 BCAD， 3 分 1 BC 平面 1 A BD， 1 AD 平面 1 A BD， 1 BC平面 1 A BD 5 分 （2）依题意， 1 2,3AAAO， 在 1 RtAAO中， 22 11 1AOAAAO， 6 分 所以三棱锥 1 ABCD 的体积 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D O 数学试题（第 9 页 共 14 页）
21、 1 ABCD V 1 1 3 BCD SAO 2 13 21 34 3 3 8 分 由（1）知 1 BC平面 1 A BD， 111 BA BDC A BD VV 10 分 1 ABCD V 11 分 3 3 12 分 19. （本小题满分 12 分） 世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网 盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台， 让各国在争议中求共识、 在共识中谋合作、 在合作中创共赢 2019 年 10 月 20 日至 22 日， 第六届世界互联网大会如期举行， 为了大会顺利召开， 组委会特招募了 1 000 名志
22、愿者 某 部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中 位数为 34 岁，年龄在40,45)岁内的人数为 15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布 直方图： （1）求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值 代表） ； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方 式报名调查这 100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计 算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关 系”？ 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 频率/
23、组距 年龄/岁 20253035404550 0.010 0.020 2m 2n O 数学试题（第 10 页 共 14 页） 总计 50 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd. 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【命题意图】 本题主要考查概率与统计等基础知识， 考查学生的创新意识和应用意识， 意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等数学核心素养满分 12 分 【解答】 （1）因为志愿者年龄在40,45)内的人数为15， 所以志愿者年
24、龄在40,45)内的频率为： 15 0.15 100 ； 1 分 由频率分布直方图得：(0.020240.010) 50.151mn ， 即20.07mn， 3 分 由中位数为34可得0.020 5252(3430)0.5mn ， 即540.2mn， 4 分 由解得0.020m ，0.025n . 5 分 志愿者的平均年龄为 (22.5 0.02027.5 0.04032.5 0.05037.5 0.05042.5 0.03047.5 0.010) 5 34（岁） 7 分 （2）根据题意得到列联表： 男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 31 19 50 总计 50 50 1
25、00 9 分 所以 2 K的观测值 2 100 (19 1931 31) 50 50 50 50 k 2 219311931 505050 5.7610.828， 11 分 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关 系 12 分 数学试题（第 11 页 共 14 页） 说明：第（1）小题中，方程列对一个给 2 分，两个都列对给 3 分 20. （本小题满分 12 分） 已知 2 2 ln3f xxxxax （1）当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程； （2）若存在 0 1 ,e e x ，使得 0 0f x成立，求a的取值范围 【命题意图】本题
26、主要考查函数和导数及其应用等基础知识，意在考查直观想象、逻 辑推理与数学运算等数学核心素养满分 12 分. 【解答】 2 ln12fxxxa 1 分 （1）当1a 时， 2 2 ln3,f xxxxx 2 ln121fxxx， 所以 15,15f f ， 3 分 所以曲线 yf x在1x 处的切线方程为551yx，即5yx 5 分 （2）存在 0 1 ,e e x ，使得 0 0f x成立， 等价于不等式 2 2 ln3xxx a x 在 1 ,e e 有解 6 分 设 2 2 ln3xxx h x x ，则 2 22 3123xxxx h x xx ， 7 分 当 1 1 e x时， 0h
27、x， h x为增函数；当1ex时， 0h x， h x为减函数 8 分 又 2 13e2e1 ee h ， 2 e2e3 e e h ，故 1 e0 e hh 10 分 所以当 1 ,e e x 时， 2 13e2e1 ee h xh ， 11 分 所以 2 3e2e1 e a ，即a的取值范围为 2 3e2e1, e 12 分 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab )的离心率为 6 3 ，以C的短轴为直径的圆与直线 :3450lxy相切 数学试题（第 12 页 共 14 页） （1）求C的方程； （2）直线yxm交椭圆C于 11 ,M x y
28、， 22 ,N x y两点，且 12 xx已知l上存在 点P，使得PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形若P在直线MN右下方，求m 的值 【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位 置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养满分 12 分. 【解答】 （1）依题意， 22 3 005 1 4 b ， 2 分 因为离心率 22 6 3 cab e aa ， 所以 2 16 3 a a ，解得3a ， 4 分 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y 5 分 （2） 因为直线yxm的倾斜角为45， 且P M N是以PMN为顶角的等腰直角三 角形，P在直线MN右下方，所以NPx轴 6 分 过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，所以 12 ,Q x y，故 122 2,Pxx y， 7 分 所以 122 3 2450xxy ， 即 122 3 2450xxxm ， 整理得 12 6450xxm 8 分 由 22 33,xy yxm 得 22 46330xmxm. 所以 22 3648480mm，解得22m ，
