1、 陕西省榆林市第二中学陕西省榆林市第二中学 2020 届高三届高三 3 月月考月月考 文文科科数数学学试题试题 2020.3 一选择题： （本大题共一选择题： （本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1.集合 2 |60Ax xx，集合 2 |log1Bxx，则AB （ ） A2,3 B,3 C2,2 D0,2 2.已知复数 i 2i a z (Ra)是纯虚数，则a的值为( ) A. 1 2 B. 1 2 C.2 D.2 3.已知等差数列
2、n a的前n项和为 n S，若 52 22aa，则 15 S( ) A.28 B.30 C.56 D.60 4.已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，当0x， 3 ( )3f xxx，则 3 2 (2 )af, 3 1 (log) 27 bf，( 2)cf的大小关系为（ ） A.abc B.acb C.bac D.bca 5函数 2 1 ln1 2 f xxx的大致图象为（） A B C D 6.已知点F是抛物线 2 2(0)ypx p（O为坐标原点）的焦点，倾斜角为 3 的直线l过焦 点F且与抛物线在第一象限交于点A，当2AF 时，抛物线方程为（ ） A. 2 yxB. 2 2yxC.
3、2 4yx D. 2 8yx 7.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以 视觉上的艺术享受在如图所示的圆形图案中有 12 个树叶状图形（即图中 阴影部分） ，构成树叶状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点 取自阴影部分的概率是（ ） A. 3 3 2 B. 6 3 4 C. 3 3 D. 6 3 8.已知函数 sinf xAx 0,0, 2 ()A的部 分图象如图所示，且()()0f axf ax，则a的最小值为 （ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 5 12 9.我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三 分取一,后
4、人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?” 下图是解决该问题的程 序框图,执行该程序框图,若输出的 S=15(单位:升),则输入的 k 的值为 ( ) y x 2 11 12 O -2 6 A. 45 B. 60 C. 75 D. 100 10在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2ac b cos C cos B，b4，则ABC 的面积的最大值为( ) A4 3 B2 3 C3 3 D 3 11.已知 1 F、 2 F是双曲线C： 22 22 1 xy ab (00)ab， 的左、 右焦点， 若直线3yx与 双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂
5、足为D，且D为 2 OF（O为坐标原 点）的中点，则该双曲线离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 21 D. 31 12.已知函数 2 2,0 ( ) e ,0 x xx f x x ，若 12 ( )()f xf x( 12 xx)，则 12 xx的最大值为（ ） A. 2 2 B.2ln22 C.3ln22 D.ln2 1 二填空题： （本大题共二填空题： （本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共，共 2020 分，请将答案填在答题分，请将答案填在答题卡卡上上. .） 13.已知向量, a b的夹角为 4 ，且(1,0)a ，2b ，则2ab_ 14某中学教学处采
6、用系统抽样方法，从学校高三年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做学 习状况问卷调查现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号，在 1 至 16 号中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，则从 41 至 56 号中应取的数是_ 15已知 4 sin 65 ， 5 , 36 ，则cos的值为_ 16.已知三棱锥PABC中，PA 底面ABC，4AC ，3BC ，5AB， 3PA，则 该三棱锥的内切球的体积为_ 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分 12 分)
7、某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分层 抽样的方法抽取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查现在按课外阅读时间的 情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读） ，B类（参加课外阅读，但平均每周参加课 外阅读的时间不超过 3 小时） ，C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小时） 调查结果如下表： A类 B类 C类 男生 x 5 3 女生 y 3 3 （1）求出表中x，y的值； （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“参加课外 阅读与否”与性别有关； 18.(本小题满分 12 分
8、) 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差0d ， 1 2a ，且 124 ,a a a成等比数列. (1)求数列 n a的通项公式及前n项和 n S； (2)记 1 2 11 n n n b Sa ，求数列 n b的前n项和 n T. 19.(本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥PABC中，PBAC，1ABAC， 2 2PB，6PC ，45PBA. 男生 女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)求证：平面PAB 平面PAC； (2),E F分
9、别是棱,PB BC的中点，G为棱PC上的点，求三棱锥AEFG的体积. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 1 ( )ln() 2 f xaxxaR. （1）若函数 ( )f x在点(1,(1)f 处的切线方程为4230xy，求实数a的值； （2）当0a时，证明函数( )( )(1)g xf xax恰有一个零点. 21.(本小题满分 12 分) 已知动点 P 是PMN 的顶点，M（2，0） ，N（2，0） ，直线 PM，PN 的斜率之积为 （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）设四边形 ABCD 的顶点都在曲线 E 上，且 ABCD，直线 AB，CD 分别过点 （1，0） ， （
10、1，0） ，求四边形 ABCD 的面积为时，直线 AB 的方程 选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，直线2: 1 xC，圆 22 2: 121Cxy，以坐标原点为 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 1 C、 2 C的极坐标方程； （2）若直线 3 C的极坐标方程为 4 ，设 2 C， 3 C的交点为M，N，求 2 C MN的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23
11、.已知函数 22f xxax（其中aR）. （1）当1a时，求不等式( )6f x 的解集； （2）若关于x的不等式 2 ( )32f xax恒成立，求a的取值范围. 文数答案 一一1 16 DABCCB 76 DABCCB 712 BABADC12 BABADC 二13. 10 14.54 15. 43 3 10 16 . 32 81 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、 【解答】 ： （1）设抽取的 20 人中，男，女生人数分别为 1 n， 2 n，则 1 20 1200
12、 12 2000 n， 2 20 800 8 2000 n， 所以12 5 34 x，8332 y；6 分 （2）列联表如下： 男生 女生 总计 不参加课外阅读 4 2 6 参加课外阅读 8 6 14 总计 12 8 20 2 K的观测值 2 20(4 62 8)10 0.1592.706 12 8 14 663 k， 所以没有 90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；12 分 18.解:(1) 124 ,a a a成等比数列， 2 214 aa a， 1 2a ， 2 (2)2(23 )dd， 解得2d 或0d (舍去)2 分 2(1)22 n ann4 分 (22 ) (1) 2 n
13、nn Sn n 6 分 (2)由()得 1111 = (1)1 n Sn nnn ， 1 1 2 111 2 22 n nn a ， 111 + 12 n n b nn 8 分 11 (1) 11111 22 (1)()()+ 1 2231 1 2 n n T nn 10 分 1111 1+1=2 1212 nn nn 12 分 19.解:(1)证明：在PAB中，由余弦定理得 222 2cosPAPBABPB ABPBA 22 (2 2)12 2 2 1 cos455 ，即5PA2 分 又1AC ，6PC ， 222 PCPAAC，ACPA3 分 又ACPB，PAPBP，PABPBPA平面,，
14、AC平面PAB4 分 AC平面PAC，平面PAB 平面PAC6 分 (2) 11 sin2 2 1 sin451 22 PAB SPB ABPBA ， 111 1 1 333 P ABCPAB VSAC 8 分 ,E F分别是棱,PB BC的中点，/EF PC， 1 4 EFGPBC SS 10 分 111 4412 A EFGA PBCP ABC VVV 12 分 20.（1） a fxx x . 由切线的斜率为2得 112fa .1a .4 分 （2） 2 1 ln 2 g xa xx1ax，0x， a gxx x 1 1 xax a x . 1.当01a时， 由 0gx 得0xa或1x
15、， 0gx 得1ax， g x在0,a上递增，在,1a上递减，在1,上递增. 又 2 1 ln 2 g aa aa 1 1ln1 2 aaaaa 0， 22ln 220gaaa， 当0 1a 时函数 g x 恰有一个零点.7 分 2.当1a 时， 0gx 恒成立， g x在0,上递增. 又 1 120 2 g， 4ln40g， 所以当 1a 时函数 g x 恰有一个零点.9 分 3.当1a 时， 由 0gx 得01x或xa， 0gx 得1xa， g x在0,1上递增，在1,a上递减，在, a 上递增. 又 1 10 2 ga ， 22ln 220gaaa， 当1a 时函数 g x恰有一个零点.
16、 综上，当 0a 时，函数 1g xf xax 恰有一个零点.12 分 21解： （1）设点 P（x，y） ， 直线 PM 与 PN 的斜率之积为， 即， 化简得（x2） ， 动点 P 的轨迹 E 的方程为（x2） ；4 分 （2）设直线 AB 的方程为 xmy1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 得（3m2+4）y26my90， 则0, y1+y2，6 分 |y1y2|， |AB|， 又原点 O 到直线 AB 的距离 d， SABO，8 分 由图形的对称性可知，SABCD4SABO， SABCD， 化简得 18m4m2170，10 分 解得 m21，即 m1， 直线 AB 的方程
17、为 xy1，即 xy+1012 分 22解： （1）因为cosx，siny 1 C的极坐标方程为cos2 2 分 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin405 分 （2）将 4 代入 2 2 cos4 sin40， 得 2 3 240，解得 1 2 2， 2 2， 12 2MN，8 分 因为 2 C的半径为 1，则 2 C MN的面积 11 2 1 sin45 22 10 分 23.解： （1）方法一：当1a时，函数 212f xxx ， 则不等式为2126xx ， 当2x时，原不等式为2126xx ，解得：3x； 当 1 2 2 x时，原不等式为21 26xx ，解得：5x.此时不等
18、式无解； 当 1 2 x 时，原不等式为1 226xx ，解得：1x， 原不等式的解集为 | 13x xx或 .5 分 方法二：当1a时，函数 212f xxx 33,2 1 1,2 2 1 33, 2 xx xx xx ，画出函数 f x的 图象，如图： 结合图象可得原不等式的解集为 | 13x xx或 .5 分 （2）不等式 2 32f xax即为22xax 2 32ax， 即关于x的不等式 2 2223xaxa恒成立. 而222xax224xax 224xax4a， 所以 2 43aa， 解得 2 43aa或 2 43aa ， 解得 4 1 3 a 或a. 所以a的取值范围是 4 1, 3 .10 分
