1、立体几何 1已知m,n是两条不同的直线,是两不同的平面,Q是一个点,其中正确的是( ) A若Q,m ,则Qm; B若mnQ,m ,则n; C若/mn,m ,Qn,Q,则n ; D若, n,Q,Qm,m ,则m . 【答案】CD 【解析】对于 A,若Q,m ,Q可不在直线m,故 A 错误; 对于 B,若mnQ,m,可知n上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,n不一定在内,故 B 错 误; 对于 C, /mn,m,Qn,Q n ,故 C 正确; 对于 D, ,n,Q,Qm ,m m,故 D 正确. 故选:CD. 2如图所示,P 为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为 ,O M为PB的中
2、点,给出以下结论,其中 正确的是( ) A/ /OMPD B/ /OM平面PCD C/ /OM平面PDA D/ /OM平面PBA 【答案】ABC 【解析】由题意知,OM是BPD的中位线,/OM PD,故A正确; PD 平面PCD,OM 平面PCD,/OM平面PCD,故B正确; 同理,可得/OM平面PDA,故C正确; OM与平面PBA和平面PBC都相交,故D不正确. 故选：ABC. 3如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，,M N分别为棱 111 ,C D C C的中点，则以下四个结论正确的 是（ ） A直线AM与 1 CC是相交直线 B直线AM与BN是平行直线 C直线BN与 1
3、MB是异面直线 D直线AM与 1 DD是异面直线 【答案】CD 【解析】直线AM与 1 CC是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故 A、B 错误 直线BN与 1 MB是异面直线，直线AM与 1 DD是异面直线，故 C、D 正确. 故选 CD. 4如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 4AAAB， 2BC ，M，N分别为棱 11 C D， 1 CC的中 点，则下列说法正确的是（ ） AAMNB、 、四点共面 B平面ADM 平面 11 CDDC C直线BN与 1 B M所成角的为60 D/BN平面ADM 【答案】BC 【解析】对于 A，由图显然AM、BN是异面直线，故AMNB、
4、 、四点不共面，故 A 错误； 对于 B，由题意AD 平面 11 CDDC，故平面ADM 平面 11 CDDC，故 B 正确； 对于 C，取CD的中点O，连接BO、ON，可知三角形BON为等边三角形，故 C 正确； 对于 D，/BN平面 11 AAD D，显然BN与平面ADM不平行，故 D 错误； 故选：BC 5如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABBC，PAAB，D为PB的中点，则下列结 论正确的有（ ） ABC平面PAB BAD PC CAD 平面PBC DPB 平面ADC 本题主要考查线面垂直的判定，以及线线垂直的判定，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常 考题型 .【
5、答案】ABC 【解析】PA 平面ABC，PABC， 又B CA B，PAABA，PA，AB平面PAB，BC 平面PAB，故 A 正确； 由BC平面PAB，得BCAD，又PAAB，D是PB的中点，ADPB， 又PBBCB，PB，BC 平面PBC， AD平面PBC，ADPC，故 B，C 正确； 由BC平面PAB，得BCPB，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D 错误. 故选：ABC. 6如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，线段 11 B D上有两个动点,E F，且 1 2 EF ，则下列结论 中正确的是（ ） AACAF BAC 平面BEF CAB与平面BEF所成
6、角是45 DAEF面积与BEF的面积相等 【答案】BC 【解析】连接AC，BD， A 选项， 因为F线段 11 B D上的动点， 若F与 1 B重合， 则在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 ACABBC， 此时AC与AF所成的角为 1 60CAB，显然AC与AF不垂直，故 A 错； B 选项， 因为正方体底面为正方形， 对角线互相垂直， 所以ACBD； 又正方体侧棱与底面垂直， 所以 1 BB 平面ABCD，所以 1 BBAC，由线面垂直的判定定理，可得AC 平面 11 BDD B，又平面BEF即为平面 11 BDD B，所以AC 平面BEF；故 B 正确； C 选项，由 B 选
7、项可得，AB与平面 11 BDD B所成角即为AB与平面BEF所成角，即 ABD， 所以在正方形ABCD中，45ABD；故 C 正确； D 选项，因为点A平面 11 BDD B，点B平面 11 BDD B，由正方体结构特征易得，点A到直线 11 D B的距 离大于正方体的侧棱长，而点B到直线 11 D B的距离等于侧棱长，因此 AEF面积与BEF的面积不相等； 故 D 错误； 故选：BC. 7如图所示是正四面体的平面展开图,G H M N分别为,DE BE EF EC的中点,在这个正四面体中,下列命 题正确的是( ) AGH与EF平行 BBD与MN为异面直线 CGH与MN成 60角 DDE与M
8、N垂直 【答案】BCD 【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知GH与EF为异面直线,A 不正确； BD与MN为异面直线，B 正确； / /GHAD,/MNAF，而60DAF，60GHM, GH与MN成 60角，C 正确； 连接,AG FG，AGDE，FGDE DE平面AFG, DEAF, 又/MNAF DE与MN垂直, D 正确. 故选：BCD 8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60DAB ，侧面PAD为正三角形，且平面 PAD 平面ABCD，则下列说法正确的是（ ） A在棱AD上存在点 M，使AD 平面PMB B异面直线AD与PB所成的角为 90 C二面角PBCA的大小
9、为 45 DBD 平面PAC 【答案】ABC 【解析】如图，对于A，取AD的中点M，连接,PM BM，侧面PAD为正三角形， PMAD，又底面ABCD是菱形，60DAB ，ABD是等边三角形， ADBM，又PMBMM，PM，BM 平面PMB， AD平面PBM，故A正确. 对于B，AD 平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为 90，故B正确. 对于C，平面PBC平面ABCDBC，/BC AD，BC平面PBM，BCPBBCBM， PBM是二面角PBCA的平面角，设1AB ，则 3 2 BM ， 3 2 PM ， 在RtPBM中，tan1 PM PBM BM ，即 45PBM ，故二面
10、角PBCA的大小为 45，故C正 确. 对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误. 故选：ABC 9如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,则下列四个命题正确的是( ) A直线BC与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B点 C 到面 11 ABC D的距离为 2 2 C两条异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 4 D三棱柱 1111 AADBBC外接球半径为 3 2 【答案】ABD 【解析】正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 对于 A，直线BC与平面 11 ABC D所成的角为 1 4 CBC ，故选项 A 正确； 对于 B，
11、因为 1 BC 面 11 ABC D， 点C到面 11 ABC D的距离为 1 BC长度的一半， 即 2 2 h ， 故选项 B 正确； 对于 C，因为 11 / /BCAD，所以异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 1 ADC，而 1 ADC为等边三角形，故两 条异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 3 ，故选项 C 错误； 对于 D， 因为 11111 ,A A AB AD两两垂直， 所以三棱柱 1111 AADBBC外接球也是正方体 1111 ABCDABC D的 外接球，故 222 1113 22 r ，故选项 D 正确 故选：ABD 10如图，直三棱柱 111 ABCABC中
12、， 1 2AA ， 1ABBC，90ABC ，侧面 11 AAC C中心为 O， 点 E 是侧棱 1 BB上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ） A直三棱柱侧面积是42 2 B直三棱柱体积是 1 3 C三棱锥 1 EAAO的体积为定值 D 1 AEEC的最小值为2 2 【答案】ACD 【解析】在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AA ， 1ABBC，90ABC 底面ABC和 111 A BC是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为 122+ 22 242 211 ， 故 A 正确； 直三棱柱的体积为 1 1 1 1 21 2 ABC VSAA ，故 B 不正确； 由 BB1平面
13、 AA1C1C，且点 E 是侧棱 1 BB上的一个动点， 三棱锥 1 EAAO的高为定值 2 2 ， 1 1 4 AAO S 22 2 2 ， 1 E AAO V 1 3 2 2 2 2 1 6 ，故 C 正确； 设 BEx0,2，则 B1E2x，在Rt ABC 和 11 Rt EBC中， 1 AEEC 22 11 (2)xx由 其几何意义， 即平面内动点（x，1）与两定点（0，0） ， （2，0）距离和的最小值，由对称可知，当E为 1 BB的中点时， 其最小值为 22 222 2 ，故 D 正确 故选：ACD 11在正方体 1111 ABCDABC D中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为
14、线段 11 AD上的动点（不包括两个端点） ， M 为线段 AP 的中点，则（ ） ACM 与 PN 是异面直线 BCMPN C平面PAN 平面 11 BDD B D过 P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD 【解析】,C N A共线，即,CN PM交于点A，共面，因此,CM PN共面，A 错误； 记PAC，则 22222 1 2coscos 4 PNAPANAP ANAPACAP AC， 22222 1 2coscos 4 CMACAMAC AMACAPAP AC，又APAC， 2222 3 ()0 4 CMPNACAP， 22 CMPN ，即CMPNB 正确； 由于正方
15、体中，ANBD， 1 BB 平面ABCD， 则 1 B BA N， 1 BBBDB， 可得AN平面 11 BB D D， AN 平面PAN，从而可得平面PAN 平面 11 BDD B，C 正确； 取 11 C D中点K， 连接 11 ,KP KC AC， 易知 11 /PKAC， 又正方体中， 11/ / ACAC， / /PKAC，,PK AC 共面，PKCA就是过 P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形D 正确 故选：BCD. 12等腰直角三角形直角边长为 1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以 为（ ） A 2 B12 C2 2 D22 【答案】AB 【
16、解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线就是直角三角形的斜边 2， 所以所形成的几何体的表面积是 22 12121Srlr . 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高 2 2 ，两个圆锥的母线都是 直角三角形的直角边，母线长是 1， 所以写成的几何体的表面积 2 2212 2 Srl . 综上可知形成几何体的表面积是21或 2. 故选：AB 13 已知 A，B，C 三点不共线， O 为平面 ABC 外的任一点， 则“点 M 与点 A，B，C 共面”的充分条件的是 （ ） A 2OMOAOBOC BOM OAOBOC C 11 23 O
17、MOAOBOC D 111 236 OMOAOBOC 【答案】BD 【解析】当MAmMBnMC时，可知点M与点, ,A B C共面， 所以MOOAm MOOBn MOOC， 所以1xyOMOAxOByOC ， 所以 1 1111 OAmOBnOCmn OMOAOBOC mnmnmnmn ， 不妨令 1 1 x mn ， 1 m y mn ， 1 n z mn ，且此时1xyz， 因为 21101 ，1 111 ， 1111 11 236 ， 111 1 236 ， 由上可知：BD 满足要求. 故选：BD. 14在长方体 1111 ABCDABC D中，1,ABBC 1 3AA ，E，F，P，Q
18、 分别为棱,AB,AD 1, DD 1 BB 的中点，则下列结论正确的是（ ） AACBP B 1 B D 平面 EFPQ C 1/ / BC平面 EFPQ D直线 1 AD和AC所成角的余弦值为 2 4 【答案】ACD 【解析】A如图所示， 因为1ABBC，所以四边形ABCD是正方形，所以ACBD， 又因为几何体为长方体，所以 1 DD 平面ABCD，所以 1 ACDD， 又因为 1 BDDDD，所以AC 平面 1 BDD， 又因为BP 平面 1 BDD，所以AC BP，故结论正确； B如图所示， 假设 1 B D 平面EFPQ，因为PQ 平面EFPQ，所以 1 B DPQ， 显然 1 B
19、DPQ不成立，故假设错误，所以结论错误； C如图所示， 连接 1 ,BD C D，由条件可知 111 / /,/ /,/ /EFBD FPAD BCAD，所以 1 / /FPBC， 又因为 1 ,BCBDB EFFPF，所以平面 1 / /BC D平面EFPQ， 又因为 1 BC 平面 1 BC D，所以 1/ / BC平面EFPQ，故结论正确； D如图所示， 连接 11 ,CB AB，因为 11 / /DACB，所以 1 AD和AC所成角即为 1 BCA或其补角， 由条件可知： 11 2,2,2BCABAC，所以 1 4242 cos 42 22 BCA ，故结论正确. 故选：ABD. 15
20、如图，一个结晶体的形状为平行六面体 1111 ABCDABC D，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等， 且它们彼此的夹角都是 60，下列说法中正确的是（ ） A 22 1 2AAABADAC B 1 0ACABAD C向量 1 BC与 1 AA的夹角是 60 D 1 BD与 AC 所成角的余弦值为 6 3 【答案】AB 【解析】以顶点 A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是 60， 可设棱长为 1,则 11 1 1 1 cos60 2 AA ABAA ADAD AB 2 222 1111 =+2+2+2AAABADAAABADAA ABAB ADAA AD 1 1 1 1 3
21、26 2 而 22 22 2222ACABADABADAB AD 1 2 1 122 36 2 ， 所以 A 正确. 11 ACABADAAABADABAD 22 11 AA ABAA ADABAB ADAD ABAD =0,所以 B 正确. 向量 11 BCAD, 显然 1 AAD 为等边三角形，则 1 60AAD. 所以向量 1 AD与 1 AA的夹角是120 ,向量 1 BC与 1 AA的夹角是120,则 C 不正确 又 11=AD AABDAB，AC ABAD 则 2 11 |= 2ADAAABBD ， 2 |= 3ACABAD 11 1ADAAABBD ACABAD 所以 1 1 1
22、 16 cos= 6|23 BDAC BD AC BD AC ，所以 D 不正确. 故选：AB 16如图，矩形ABCD中，22ABAD，E为边AB的中点.将ADE沿直线DE翻折成 1 ADE（点 1 A不落在底面BCDE内).若M为线段 1 AC的中点，则在 ADE翻转过程中，以下命题正确的是（ ） A四棱锥 1 ABCDE体积最大值为 2 4 B线段BM长度是定值； C/MB平面 1 ADE一定成立； D存在某个位置，使 1 DEAC； 【答案】ABC 【解析】ADE是等腰直角三角形，A到DE的距离是 2 2 ，当平面 1 ADE 平面BCDE时， 1 A到平面 BCDE的距离最大为 2 2
23、 ，又 13 2 11 1 22 BCDE S ， 1322 3224 V 最大 A 正确； 取CD中点N，连接,MN BN，M是 1 AC的中点， 1 / /MNAD，而MN 平面 1 ADE，DE 平面 1 ADE， / /MN平面 1 ADE， 由DN与EB平行且相等得DNBE是平行四边形，/BNDE，同理得/BN平面 1 ADE， 而BNMNN，平面/BMN平面 1 ADE，BM 平面BMN， /MB平面 1 ADE，C 正确， 在上述过程中得 1 45MNBADE ，又 1 11 2, 22 BNDEMNAD， 22 115 ( 2)( )22cos45 222 BM 为定值，B 正
24、确； 假设存在某个位置，使 1 DEAC，取DE中点O，连接 1 ,AO CO，显然 1 AODE，而 111 AOACA， DE 平面 1 AOC，OC 平面 1 AOC， DEOC，则CE CD，但2CE ，2CD ，不可能相 等，所以不可能有 1 DEACD 错 故选：ABC. 17如图，正三棱柱 11 ABCABC中， 11 BCAB、点D为AC中点，点E为四边形 11 BCC B内（包含边 界）的动点则以下结论正确的是（ ） A 11 1 2 DAA AB ABC B若/DE平面 11 ABB A，则动点E的轨迹的长度等于 2 2 AC C异面直线AD与 1 BC，所成角的余弦值为
25、6 6 D若点E到平面 11 ACC A的距离等于 3 2 EB，则动点E的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【解析】对于选项 A， 11 1 2 ADA AB ABC，选项 A 错误； 对于选项 B，过点D作 1 AA的平行线交 11 AC于点 1 D 以D为坐标原点， 1 DA DB DD,分别为 , ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz 设棱柱底面边长为a，侧棱长为b，则0 0 2 a A , ,， 3 00 2 Ba ,， 1 3 0 2 Ba b ,， 1 0 2 a Cb , ,，所 以 1 3 22 a BCa b ,， 1 3 22 a ABa b , 11 B
26、CAB， 11 0BCAB， 即 2 2 2 3 0 22 a ab ，解得 2 2 ba 因为/DE平面 11 ABB A，则动点E的轨迹的长度等于 1 2 2 BBAC选项 B 正确 对于选项 C，在选项 A 的基础上，0 0 2 a A , , ， 3 00 2 Ba ,，0,0,0D， 1 2 0 22 a Ca , ,，所以 0 0 2 a DA , ,， 1 32 222 a BCaa ,-,， 因为 2 1 1 1 62 cos, 6| 6 22 a BCDA BC DA BCDAa a ，所以异面直线 1, BC DA所成角的余弦值为 6 6 ， 选项 C 正确 对于选项 D，
27、设点 E 在底面 ABC 的射影为1E，作1E F垂直于AC，垂足为 F，若点 E 到平面 11 ACC A的距 离等于 3 2 EB，即有 3 1 2 E FEB，又因为在1CE F中， 3 11 2 E FE C，得1EBE C，其中1E C 等于点 E 到直线1CC的距离，故点 E 满足抛物线的定义，另外点 E 为四边形 11 BCC B内（包含边界）的动 点，所以动点 E 的轨迹为抛物线的一部分,故 D 正确. 故选：BCD 18已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD平面ABCD，2 3BC ， 2 6CDPCPD .若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（ ） ABM
28、平面PCD B/ /PA面MBD C四棱锥MABCD外接球的表面积为36 D四棱锥MABCD的体积为 6 【答案】BC 【解析】作图在四棱锥PABCD中： 由题：侧面PCD平面ABCD，交线为CD，底面ABCD为矩形，BCCD，则 BC平面PCD，过点 B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项 A 错误； 连接AC交BD于O，连接MO，PAC中，OMPA，MO 面MBD， PA面MBD，所以/ /PA面MBD，所以选项 B 正确； 四棱锥MABCD的体积是四棱锥PABCD的体积的一半，取CD中点N，连接PN， PNCD，则PN 平面ABCD， 3 2PN ，四棱锥MABCD的体积 11 2
29、32 63 212 23 MABCD V 所以选项 D 错误. 矩形ABCD中，易得6,3,3ACOCON， PCD中求得： 1 6, 2 NMPC在Rt MNO中 22 3MOONMN 即： OMOAOB OCOD，所以 O 为四棱锥MABCD外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36，所以选项 C 正确 故选：BC 19正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，已知平面 1 AC，则关于截此正方体所得截面的判断正确 的是（ ） A截面形状可能为正三角形 B截面形状可能为正方形 C截面形状可能为正六访形 D截面面积最大值为3 3 【答案】ACD 【解析】如图，显然 A,C 成立，下面说明 D 成立， 如图设截面为多边形GMEFNH， 设 1 AGx，则0 1x， 则2 ,2(2),2 2,GHMENFx MGHNEFx MN 所以多边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和， 所以 12 11 ()() 22 SGHMNhMNEFh 因为 2222 1 2 22133 2(2)()(2 2)(2)(2) 2222 x hxxxx ， 2 22 2 2(2)2 23 ( 2 ) 22 xx hx ， 所以 22 1313 ( 22 2)(2)2 22(2) 2222 Sxxxx 2 32 32 3xx 当1x 时， max 3 3S，故 D 成立。 故选：ACD
