1、立体几何(大题)热点一平行、垂直关系的证明热点二利用空间向量求空间角热点三空间几何体的体积问题热点四利用空间向量解决探索性问题1、平行关系：线线平行热点一平行、垂直关系的证明面面平行线面平行判定定理性质定理性质定理性质定理2、垂直关系：线线垂直线面垂直面面垂直性质定理性质定理判定定理判定定理判定定理例例1 1 如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=AB.又A
2、BCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE 平面PAD,因此,CE平面PAD.2121证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=AB.又CD=AB,所以AF=CD.又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF 平面PAD,AD平面PAD,所以CF平面PAD.因为E、F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又EF 平面PAD,PA平面PAD,所以EF平面PAD.又因为CFEF=F,CF平面CEF,EF平面CEF.故平面CEF平面PAD.又因为CE平面CEF,所以CE平面PAD.1212(2)因为E,
3、F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.热点二利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a a(a1，b1，c1)，b b(a2，b2，c2).平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角20(2)线面夹角(3)二面角设a的平面角为(0)，例例2 2(2018北京,16,14分)如图,在三棱柱
4、ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求证:AC平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.5证明：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1平面ABC,所以四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,所以ACEF.因为AB=BC,所以ACBE.又EFBE=E,所以AC平面BEF.设平面BCD的法向量为 =(x0,y0,z0),则 即令y0=-1,则x0=2,z0=-4.于是n=(2,-1,-4).又因为平面CC1D的一个法向量
5、为=(0,2,0),所以cos=-.由题知二面角B-CD-C1为钝角,所以其余弦值为-.BC0,BD0,nn00000 x2y0,x2yz0.EBEBEB|EB|nn2121(2)由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1.又CC1平面ABC,所以EF平面ABC.因为BE平面ABC,所以EFBE.如图建立空间直角坐标系E-xyz.由题意得E(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).所以=(-1,-2,0),=(1,-2,1).BCBD2121n例例2 2(2018北京,16,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面
6、ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求证:AC平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.5证明：(3)由(2)知平面BCD的一个法向量为n=(2,-1,-4),=(0,2,-1).因为n=20+(-1)2+(-4)(-1)=20,所以直线FG与平面BCD相交.FGFG例例3 3 (2018课标全国,18,12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平
7、面ABFD所成角的正弦值.证明：(1)由已知可得BFEF,又已知BFPF,且PF、EF平面PEF,PFEF=F,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEPF,可得PH=,EH=.则H(0,0,0),P ,33232HFBF30,0,231,02 HP且 =为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为,30,0,2|HP DPHP
8、DP则sin=34334.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34D热点三空间几何体的体积问题(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解例例4 4(2018课标全国,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.23证明:(1)由已知可得,BAC=ACM=90,则BAAC.又BAAD,ACAD=A,
9、所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.E解：(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QEAC,垂足为E,则QEDC,且QE=DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积V=QESABP=132sin 45=1.1313122(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.2231313213例例5 5 在四棱柱 中，底面 为正方形，1111DCBAABCDABCD,OBDAC.1ABCDOA平面./)1(111CDBOA平面.
10、,2)2(111的距离到平面求点若AABBCAAAB,)1(11111111COOCADBCA连接设连接证明：的中点，分别为四棱柱1111111,CAACOODCBAABCD,/,/11111111COOAOCOAOAOCOAOC为平行四边形，四边形./,111111111CDBOACDBCOCDBOA平面平面平面,2,)2(11111ABCDOAAAABBAABOB平面连接解：.2,211BAOAAOBO,32222123122221111ABOAABAOAABBOVVV,322432111211hAABBOSAABB的距离为到平面设点的中点，为ACOhh,36,322323111.3622
11、111hhAABBC的距离到平面点1O与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.热点四利用空间向量解决探索性问题例例6 6如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.(1)求异面直线NE和AM所成角的余弦值;(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.解析解
12、析(1)如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz.依题意得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E,所以=,=(-1,0,1),因为|cos|=,所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.1,1,02NE1,0,12AMNEAM|NE AMNEAM1252210101010(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES平面AMN.连接AE.=(0,1,1),可设=(0,),01,又=,所以=+=.ANASANEA1,1,02ESEAAS1,1,2由ES平面AMN,得即解得=,此时=,|AS|=.经检验,当|AS|=时,
13、ES平面AMN.故线段AN上存在点S,使得ES平面AMN,此时|AS|=.0,0,ES AMES AN10,210,12AS1 10,2 2222222例例7 7(2019临沂模拟)如图，平面ABCD平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE1，F为CE上的点，且BF平面ACE.（1）求证：AE平面BCE；证明（1）BF平面ACE，AE平面ACE，BFAE，四边形ABCD是正方形，BCAB，又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CB平面ABE，AE平面ABE，CBAE，BFBCB，BF，BC平面BCE，AE平面BCE.（2）线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为 ，若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由。43AE平面BCE，BE平面BCE，AEBE，在RtAEB中，AB2，AE1，ABE30，BAE60，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，设AMh，则0h2，AE1，BAE60，设平面MCE的一个法向量为n(x，y，z)，平面ABE的一个法向量为m(0，0，1)，平行、垂直关系的证明利用空间向量求空间角空间几何体的体积问题利用空间向量解决探索性问题课堂小结课堂小结课后作业课后作业本节小本习题
