1、 多元函数的极值的概念多元函数的极值的概念 定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于于该邻域内异于(x0,y0)的点的点(x,y)，如果都适合，如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点则称函数在点(x0,y0)处有处有极小值极小值。极大值、极小值统称为。极大值、极小值统称为极值极值。使得函数取得极值的点称为使得函数取得极值的点称为极值点极值点。二元函数的极值图例二元函数的极值图例 2234zxy有极小值有极小值 (0,0)0z22zxy 有极大值有极大值 (0,0)0zzxy在原点没有极值在原点没有极值
2、二元函数的极值图例二元函数的极值图例 极值存在的必要极值存在的必要、充分条件充分条件 极值存在的必要条件极值存在的必要条件各偏导存在的极值点一定是各偏导存在的极值点一定是驻点驻点。驻点驻点使各偏导数均为零的点。使各偏导数均为零的点。极值存在的充分条件极值存在的充分条件（以二元函数为例）（以二元函数为例）设函数设函数,zfx y在点在点00,xy的某个邻域内连续且的某个邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又有直到二阶的连续偏导数，又00,xy是驻点，令是驻点，令000000,xxxyyyAfxyBfxyCfxy则：（则：（1）当）当AC-B2 0 时，函数时，函数取到极值取到极值，且当，且当A
3、0 时取时取极小值，当极小值，当A 0 时取极大值。时取极大值。（2）当）当AC-B2 0 时，函数时，函数取不到极值取不到极值。（3）当）当AC-B2=0 时，函数可能时，函数可能取到取到也可能也可能取不到取不到极值。极值。例例1 求函数求函数3322339zxyxyx的极值。的极值。解：解：解方程组解方程组223690360 xyzxxzyy 得驻点：得驻点：1,0,1,2,3,0,3,2求出二阶偏导：求出二阶偏导：66,0,66xxxyyyAzxBzCzy 在点在点 处，处，1,020,0ACBA又又所以所以1,05z 是极小值。是极小值。在点在点 处，处，1,220ACB所以函数在该点
4、没在极值。所以函数在该点没在极值。在点在点 处，处，3,020ACB所以函数在该点没在极值。所以函数在该点没在极值。在点在点 处，处，3,220,0ACBA又又所以所以3,231z 是极大值。是极大值。最大最小值问题最大最小值问题 若函数在某区域若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。极值点或边界上取得。在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在内部取到最值，而函数在 D 内又只有内又只有唯一的驻点唯一的驻点，则，则可判定函数在该驻点即取得最值。可判定函数在该驻点即取得
5、最值。例例2 要做一个容积等于要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？水池的尺寸，方可使它的表面积最小？xyz22Sxyxzyz解解 设长方体的长宽高分别为设长方体的长宽高分别为x,y,zxyzk22kkxyyx220 xkSyx220ykSxy解方程组：解方程组：得：得：32xyk从而从而3122zk由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：323 4Sk则则 xyz=K 以上问题可以看成是表面积以上问题可以看成是表面积22Sxyxzyz在条件在条件xyzk下的极值（最值）问题
6、下的极值（最值）问题条件极值。条件极值。求求条件极值条件极值的的拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：例如：求函数例如：求函数,uf x y z满足条件满足条件 的极值。的极值。,0 x y z作函数：作函数：,F x y zf x y zx y z其中其中 是常数，称为是常数，称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数。（拉格朗日函数）（拉格朗日函数）解方程组：解方程组：,0 xFx y z,0yFx y z,0zFx y z,0Fx y z所得点所得点,x y z是是可能的极值点。可能的极值点。例例2 要做一个容积等于要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，
7、方可使它的表面积最小？水池的尺寸，方可使它的表面积最小？xyz22Sxyxzyz解解 表面积表面积得：得：32,xyk3122zk由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：323 4Skxyzk约束条件：约束条件：令：令：,22F x y zxyxzyzxyzk解方程组：解方程组：,20 xFx y zyzyz,20yFx y zxzxz,220zFx y zxyxyxyzk例例3 从斜边长为从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。的所有直角三角形中求面积最大者。4xy解解：三角形面积：三角形面积1,2S x yxy约束条件：约束条件：2216
8、xy令令221,162F x yxyxy解方程组解方程组1,202xFx yyx1,202yFx yxy2216xy得得2 2xy由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：max4S例例3 从斜边长为从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。的所有直角三角形中求面积最大者。4xy解解：三角形面积：三角形面积1,2S x yxy约束条件：约束条件：2216xy 可将约束条件代入把问题化为求可将约束条件代入把问题化为求一元函数无条件极值的问题。一元函数无条件极值的问题。21162S xxx 2221160216xSxxx令令得：得：2 2x
9、条件极值可转化成无条件极值条件极值可转化成无条件极值 二重积分的引入二重积分的引入曲顶柱体的体积（演示）曲顶柱体的体积（演示）zxy,zf x y,zf.,VfdV 0lim,Vf 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积max记记用平顶柱体体积用平顶柱体体积作近似替换作近似替换（1）细分）细分 （2）近似替换）近似替换 （3）作和）作和（4）取极限）取极限设平面薄片的面密度是：设平面薄片的面密度是：,x y求平面薄片的质量求平面薄片的质量D,MdM 0lim,Mx ymax记记 二重积分的引入二重积分的引入平面薄片的质量平面薄片的质量 二重积分的概念二重积分的概念 设函数设函数 是有界闭区域是有界闭
10、区域 D 上的有界函数。上的有界函数。,zf x y将闭区域将闭区域 D 任意分成任意分成 个小闭区域个小闭区域12,.,nni其中其中 表示第表示第 个小闭区域，同时也表示它的面积。个小闭区域，同时也表示它的面积。i在每个小闭区域在每个小闭区域 上任取一点上任取一点,ii i令令maxi若无论若无论 D 如何划分和如何划分和 如何选取，如何选取，,ii 01lim,niiiif 都存在，则称此极限为函数都存在，则称此极限为函数 在在 D 上的二重积分，上的二重积分，,zf x y记作：记作：01,lim,niiiiDf x y df 由于二重积分值与分割无关，故在直角坐由于二重积分值与分割无
11、关，故在直角坐标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分割区域割区域D，从而有，从而有ddxdy即即,DDf x y df x y dxdy 二重积分的概念二重积分的概念所以在直角坐标系下，二重积分常表示为所以在直角坐标系下，二重积分常表示为 引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为 0lim,Vf 0lim,Mx y(,)Df x y d(,)Dx y d平面薄片的质量为平面薄片的质量为 二重积分的性质二重积分的性质 1,DDkf x y dkf x y dk是常数。是常数。2,Df x yg x yd,DDf x y dg
12、x y d 123,DDDf x y df x y df x y d 41DDdS（D 的面积）的面积）二重积分可计算平面图形的面积二重积分可计算平面图形的面积 其中：其中：、是是 的一个完全分割。的一个完全分割。1D2DD 二重积分的性质二重积分的性质 5,DDf x yg x yf x y dg x y d 6,DDDmf x yMm Sf x y dM S 00007,DDxyDf x y df xyS使使积分中值定理（定性研究）积分中值定理（定性研究）二重积分的估值二重积分的估值 二重积分的比较二重积分的比较 oyxzab 二重积分的计算二重积分的计算化二重积分为二次积分化二重积分为二
13、次积分预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）baVA x dxA(x)x如右图所示立体：介于平面如右图所示立体：介于平面x=a与与x=b之间之间 在区间在区间a,b内任取一点内任取一点x，过该点，过该点作作x轴的垂直平面，若该平面的面轴的垂直平面，若该平面的面积为积为A(x)，则由定积分的元素法可，则由定积分的元素法可知立体体积为知立体体积为 baVA x dx21()(),byxayxf x y dy dx 21()(),yxyxA xf x y dy如果积分区域如果积分区域D可表示为：可表示为：,axb12()()y xyyxa
14、by=y2(x)y=y1(x)oxy-型区域型区域 用平行于用平行于yoz面的平面去截立体，面的平面去截立体，则截面面积为：则截面面积为：21()(),byxayxDf x y dxdyf x y dy dx 于是，立体体积为于是，立体体积为 直角坐标系下化二重积分为二次积分直角坐标系下化二重积分为二次积分 dcVA y dy21()(),dycyf x y dx dy 21()(),yyA yf x y dx如果积分区域如果积分区域D可表示为：可表示为：,cyd12()()yxy-型区域型区域 用平行于用平行于xoz面的平面去截立体，面的平面去截立体，则截面面积为：则截面面积为：21()()
15、,dycyDf x y dxdyf x y dx dy 于是，立体体积为于是，立体体积为 直角坐标系下化二重积分为二次积分直角坐标系下化二重积分为二次积分oxcdyx=2 2(y)(y)x=1 1(y)(y)直角坐标系下交换二次积分的积分次序直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域如果积分区域D既可表示为既可表示为-型区域型区域：,axb12()()y xyyx又可表示为又可表示为-型区域型区域：,cyd12()()yxy2211()()()(),byxdyayxcyf x y dy dxf x y dx dy 则有如下交换积分次序公式：则有如下交换积分次序公式：-型区域型区域 -型区域
16、型区域 例例4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）化下列二重积分为二次积分（两种次序）,Df x y d420,xxf x y dy dx 2404,yyf x y dx dy 由由2,4yyxx围成。围成。1D420,xxdxf x y dy或记为或记为,Df x y d故故或记为或记为2404,yydyf x y dx解解 D可表示为：可表示为：04,2xxyxD又可表示为：又可表示为：204,4yyxyo44xy=x y2=4x yxy 2222:,0Dxyry,Df x y d220,rrxrf x y dy dx 22220,rryryf x y dx dy 例例4 化下列二重积分
17、为二次积分（两种次序）化下列二重积分为二次积分（两种次序）,Df x y d或或或记为或记为220,rrxrdxf x y dy或记为或记为22220,rryrydyf x y dxoxy-rrx2+y2=r2 例例4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）化下列二重积分为二次积分（两种次序）,31,2yDxxxy由由围成。围成。,Df x y d211,xxf x y dy dx 12221112,yyf x y dx dyf x y dx dy ,Df x y d或或或记为或记为211,xxdxf x y dy或记为或记为12221112,yydyf x y dxdyf x y dx补充题补充题 1、求由方程、求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数确定的函数z=f(x,y)的极值。的极值。2、求二元函数、求二元函数f(x,y)=x2y(4-x-y)在直线在直线x+y=6，x轴和轴和 y轴所围成轴所围成 的闭区域的闭区域D上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。3、求、求 的最大值和最小值。的最大值和最小值。221xyzxy4、将证数、将证数12分成三个正数分成三个正数x,y,z之和，使得之和，使得u=x3y2z为最大。为最大。5、改变积分、改变积分 的次序。的次序。1100(,)xdxf x y dy返回返回 返回返回
