1、无穷小与无穷大无穷小与无穷大本节要点本节要点 本节讨论论在极限理论中起着重要作用的两类变量本节讨论论在极限理论中起着重要作用的两类变量无穷小和无穷大无穷小和无穷大.一、无穷小的概念和性质一、无穷小的概念和性质二、无穷小的比较二、无穷小的比较三、无穷大三、无穷大一、无穷小的概念和性质一、无穷小的概念和性质 定义定义1.5 在自变量在自变量 的某个变化过程中的某个变化过程中,若函数若函数x x的极限为零的极限为零,那么那么 叫作该变化过程中的叫作该变化过程中的无穷小无穷小.x注注 变量变量 是否为无穷小既与变量的表达式有关是否为无穷小既与变量的表达式有关,也也 x与自变量的变化过程有关与自变量的变
2、化过程有关.例如变量例如变量2,sinxx是是 时的无穷小时的无穷小.而而0 x 1x1x 时的无穷小时的无穷小.是是注注 无穷小是以零为极限的变量无穷小是以零为极限的变量,不能把它等同于一个不能把它等同于一个很小的量很小的量.定理定理1.1 在自变量的某一变化过程中在自变量的某一变化过程中,函数函数 有极限有极限 f x 的充分必要条件是的充分必要条件是A ,f xAx其中其中 是无是无 x穷小穷小.证证 设设 lim,f xA令令 ,xf xA则则 limlim0,xf xAAA即即 是是 的同一变化过程中的无穷小的同一变化过程中的无穷小.xx 反之反之,若若 ,f xAx lim0,x其
3、中其中 则则 limlim0,f xxAAA即即 的极限为的极限为 f x.A定理定理1.2 有限个无穷小之和是无穷小有限个无穷小之和是无穷小;无穷小的运算性质无穷小的运算性质证证 由极限的运算法则容易得到由极限的运算法则容易得到和和,今证今证.设设有界函数与无穷小之积是无穷小有界函数与无穷小之积是无穷小.有限个无穷小之积是无穷小有限个无穷小之积是无穷小;考虑当考虑当 时的情况时的情况.0 xx uu x在在 的某个空心邻域中有界的某个空心邻域中有界,即存在即存在0 x,M使得在该邻域中总有使得在该邻域中总有 .u xM由于在该邻域中总有由于在该邻域中总有 0,u xxMx再设再设 0lim0
4、,xxx又又 00limlim0,xxxxMxMx由夹逼定理得由夹逼定理得 0lim0,xxu xx即即 0lim0,xxu xx此说明此说明 u xx是是 时的无穷小时的无穷小.0 xx例例1.28 求极限求极限01lim sin.xxx解解 因因 ，故由定理故由定理1得得1sin10 xx0lim0,xx01lim sin0.xxx 下图是函数的图形下图是函数的图形,从图中可以看出从图中可以看出,当当 时时,0 x 对应的函数值虽然交替地取正负值但是却无限接近于对应的函数值虽然交替地取正负值但是却无限接近于0.-0.1-0.050.050.1X-0.1-0.075-0.05-0.0250.
5、0250.050.0750.1Y1sinyxx例例1.29 求极限求极限2sinlim.32arctanxxxxx解解 因因2sin/2sin,32arctan32 arctan/xxxxxxxx又又:sinarctanlim0,lim0.xxxxxx所以所以:2sin2lim.32arctan3xxxxx有界量与无穷小乘积有界量与无穷小乘积二、无穷小的比较二、无穷小的比较 我们知道我们知道,若若 是两个数是两个数,则比较两数的大小的方则比较两数的大小的方,法是计算法是计算 若设若设 是无穷小是无穷小,因因 仍然是仍然是.,lim0.即上面的方法没有什么意义即上面的方法没有什么意义.那么是否说
6、明无穷小之间那么是否说明无穷小之间无穷小无穷小,即即不存在不存在“大小大小”关系呢？通过下面的图示关系呢？通过下面的图示,我们来观察我们来观察当当2,sinx xx0 x 时函数时函数 的变化趋势的变化趋势.三条曲线的比较三条曲线的比较 在上图中可以看到在上图中可以看到:当当 时时,几乎以相同几乎以相同0 x,sinxx观察观察,我们发现我们发现 则以比则以比 更快的速度趋更快的速度趋 tansinxx2x02x0.的速度趋于的速度趋于 ,而而 则以较快的速度趋于则以较快的速度趋于 进一步地进一步地0.于于 从中我们可以看出从中我们可以看出,在无穷小之间也存在一个在无穷小之间也存在一个“大小大
7、小”limlim0,xx我们考察极限我们考察极限 lim,xx关系关系.而这个关系不能用它们的差值来刻画而这个关系不能用它们的差值来刻画,我们考虑我们考虑是否能用它们的商来刻画是否能用它们的商来刻画,即通过比值来确定即通过比值来确定,并且这并且这个比值用自变量的某个变化过程来做进一步的描述个比值用自变量的某个变化过程来做进一步的描述.具具体地说体地说,若变量若变量 是自变量在某个变化过程是自变量在某个变化过程 ,xx中的无穷小中的无穷小,即即为此为此,我们引入我们引入:定义定义1.6 设设 是自变量是自变量 在某个变化过程中在某个变化过程中x ,xx若若 lim0,xx ;xox则称则称 是是
8、 的高阶无穷小的高阶无穷小,x x若若若若 lim0,xcx的两个无穷的两个无穷小小记作记作则称则称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小;x x lim1,xx则称则称 是是 的等价无穷小的等价无穷小,记记 x x .xx作作例例1.30 证明当证明当 时，时，为为 的等价无的等价无0 x11xxx证明证明 因因 011limxxxx即即 为为 的等价无穷小的等价无穷小.11xxx02lim1,11xxx02lim11xxxxx穷小穷小.211 cos.2xx熟记这些常用的等价无穷小是有益的熟记这些常用的等价无穷小是有益的.sin,tan,arcsin,xx xx xx当当 时时,0 x arct
9、an,e1,ln(1);xxx xxx常见的一些等价无穷小常见的一些等价无穷小:定理定理1.3 设设 ,xxxx limxx limlim.xxxx证证 limlimlim.xxxxxxxx 此定理又称为等价无穷小的此定理又称为等价无穷小的替换准则替换准则.,xxxx为无穷小为无穷小,且且又又存在存在,则则例例1.31 求极限求极限30tan2lim.3xxxx解解 当当 时时,0 x 3tan22,33,xx xxx所以所以300tan222limlim.333xxxxxxx例例1.32 求求220ln 1lim.arctanxxx22arctan,xx222200ln 1limlim1.a
10、rctanxxxxxx 2arctan0,x 解解 当当 时时,0 x 又又22ln 1,xx所以所以所以所以 例例1.33 求求011lim0.xxx解解 令令11uxln 1ln 1,xu注意到由注意到由00,xu所以所以 011limxxx等价无穷小替换等价无穷小替换011limln 1xxx0lim,ln 1/uuu 上例表明上例表明:当当0 x 时时,11.xx 特殊的特殊的,当当 时时,有有12111.2xx 值得注意的是值得注意的是:等价无穷小替换只能用于乘除法等价无穷小替换只能用于乘除法,而而3300sin1costansin1limlim,cos2xxxxxxxxx 但如用等
11、价无穷小替换但如用等价无穷小替换,则会导出则会导出3300tansinlimlim0 xxxxxxxx这一错误的结论这一错误的结论.不能用于加减法不能用于加减法.例如极限例如极限:三、无穷大三、无穷大 若在若在 的某个变化过程中的某个变化过程中,变量变量 的绝对值的绝对值x f x f x无限增大无限增大,则称则称 是该变化过程中的是该变化过程中的无穷大无穷大,记为记为 f x lim.f x 1yx例如例如 是是 时的无穷大时的无穷大,即即0 x 01lim,xx 而而 是是 时的无穷大时的无穷大,即即2yxx 2lim.xx 若若 大于零而绝对值无限增大大于零而绝对值无限增大,则称则称 为
12、为正无正无 f x f x穷大穷大;若若 小于零而绝对值无限增大小于零而绝对值无限增大,则称则称 为为 f x f x负无穷大负无穷大,分别记为分别记为 lim f x lim.f x 和和例如例如2lim tanxx 而而0limln.xx 函数图形见下图函数图形见下图:tanyxlnyx 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 在自变量同一过程中在自变量同一过程中,1()f x若若 是无穷小是无穷小,且且 则则 是无穷大是无穷大.f x 0,f x 1()f x f x若若 是无穷大是无穷大,则则 是无穷小是无穷小;例例1.34 求极限求极限4232321lim.324xxxxxx解解
13、考虑极限考虑极限:3242324lim,321xxxxxx容易得到该极限为容易得到该极限为 4232321lim.324xxxxxx 0,由此得由此得联系前面关于有理函数在无穷远点的极限关系联系前面关于有理函数在无穷远点的极限关系,我们有我们有10111011()limlim()mmmmmnnxxnnnP xa xa xaxaP xb xb xbxb00 ,anmb0 ,mn .mn 与水平渐近线求法相似的有与水平渐近线求法相似的有:若若 0limxxf x 或或 0lim,xxf x 则直线则直线 是是0 xx函数函数 的图形的的图形的铅直渐近线铅直渐近线.yf xxyO0 x f xyxO0 x f x垂直渐近线垂直渐近线
