1、xyzo1 2 定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA 0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直已知直线，这个向量称为这条直线的线的方向向量方向向量sL0M M,LM ),(zyxMsMM0/二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程,),(0000LzyxM 设设pzznyymx
2、x000 直线的对称式方程直线的对称式方程,pnms ,0000zzyyxxMM 当当 时，直线可理解为时，直线可理解为0 m pzznyyxx000 00yyxx0 nm时，时，直线可理解为直线可理解为 当当 ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程tpzznyymxx 000令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线方向向量的余弦称为直线的的方向余弦方向余弦.例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得
3、解得2,000 zy因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3,1,4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx点坐标点坐标),2,0,1(解解所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ,4,0,2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx定义定义两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角则两直线夹角则两直线夹角满足满足21,LL设直线设直线的方向向量分别为的方向向量分别为),(,),(22221111pn
4、mspnms 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL ,0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0,4,11 s,1,0,02 s,021 ss,21ss 例如例如，.21LL 即即例例3.3.求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解:直线直线直线直线13411:1 zyxL 0202:2zxyxL的方向向量为的方向向量为1L的方向向量为的方向向量为2L 1,2,2 )1,4,1(1 s2010112kjis 二直线夹角二直线夹角 的余弦
5、为的余弦为 cos 22 从而从而4 )1(1)2()4(21 2221)4(1 222)1()2(2 解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns ,1,3,4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程解解0)3()1(2)2(3 zyxM先作一过点先作一过点 且与已知直线垂直且与已知直线垂直的平面的平面 M再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N N,令令tzyx 12131.1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72(NMN取所求直线的方向向量为取所
6、求直线的方向向量为MNMN373,1713,272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyxMN定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角为直线与平面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx,pnms ,CBAn 四、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式 .cos 2 cossin2 2),(ns 2),(ns直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm解解,2,1
7、,1 n,2,1,2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角五、平面束方程五、平面束方程L设直线设直线由方程组由方程组所确定所确定 0022221111DzCyBxADzCyBxA其中系数其中系数111C,B,A与与222C,B,A不成比例。不成比例。建立三元一次方程建立三元一次方程0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 其中其中为任意常数为任意常数0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 0)()()()(21212121 DDzCCyBBxAA 由于系数由于系数2121
8、21,CCBBAA 不全为零不全为零，因此上述方程表示一个平面。因此上述方程表示一个平面。方程表示经过直线方程表示经过直线L的不同的平面。的不同的平面。称为经过直线称为经过直线的平面束方程的平面束方程L0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 且对于不同的且对于不同的 值，值，该平面经过直线该平面经过直线L，例例6 6求直线求直线在平面在平面 0101zyxzyx0 zyx上的上的投影直线方程投影直线方程.解解 设过直线设过直线 0101zyxzyx的平面束方程为的平面束方程为0)1()1(zyxzyx 即即0)1()1()1()1(zyx这平面与这平面与0 zyx垂直的条件是
9、垂直的条件是0)1(1)1(1)1(即即01 得得1 代入平面束方程得代入平面束方程得01 zy所以投影直线方程为所以投影直线方程为 001zyxzy六、点到直线的距离六、点到直线的距离设设是直线是直线上一点，上一点，0ML直线直线L的方向向量为的方向向量为s在在L上任取一点上任取一点M，为邻边作一平行四边形，为邻边作一平行四边形，则该平行四边形的面积则该平行四边形的面积sMMsdA 0ssMMd 00MMdLs以以0MM,S空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直
10、线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）七、小结七、小结平面束方程平面束方程点到直线的距离点到直线的距离思考题思考题 在直线方程在直线方程pznymx 6224中，中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行都平行.思考题解答思考题解答,6,2pnms 且有且有.0 s,0 ks,0 is 0206mp,0,6 mp,0 s,0 n故当故当 时结论成立时结论成立,0 m6 p,0 n练练 习习 题题)0,2,1(012 zyx4、点、点在平面在平面 _；上的投影为上的投影为 003zyxzyx01
11、zyx3、直线、直线和平面和平面的夹角为的夹角为_；723zyx 8723 zyx5、直线、直线和平面和平面的关系是的关系是_；0 z)1,1,1(AL 001xzy五、设一平面垂直于平面五、设一平面垂直于平面,并通过从点并通过从点到直线到直线：的垂线，求此平面的方程的垂线，求此平面的方程 .1L13523zyx 2L147510zyx 3L137182 zyxL六、求与已知直线六、求与已知直线：及及：都相交且和都相交且和：平行的直线平行的直线.1L1101zyx 2L0212 zyxL七、求两直线七、求两直线：和和：的公垂线的公垂线的方程，及公垂线段的长的方程，及公垂线段的长.一、一、1 1、531124 zyx；2 2、0 0；3 3、0 0；4 4、)32,32,35(；5 5、垂直；、垂直；6 6、直线在平面上、直线在平面上.二、二、311121 zyx,tztytx31121.三、三、592298 zyx.四、四、014117373117zyxzyx.练习题答案练习题答案五、五、2257265828 zyx或或1755872zyx .六、六、012 yx.七、七、11x234234 zy或或 010542044zyxzyx,1 d.八、八、28419161 zyx.九、九、223.
