1、4.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算一、原函数与不定积分的概念上页下页铃结束返回首页一、原函数与不定积分的概念原函数的概念 如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.原函数举例所以sin x是cos x的原函数.因为(sin x)cos x,提问：因为xx21)(,所以xx21)(,所以x是x21的原函数.c
2、os x 和x21还有其它原函数吗？下页上页下页铃结束返回首页问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI 都有F(x)f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数上页下页铃结束返回首页说明：1.如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.下页2.函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一
3、个常数,即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C (C为某个常数).上页下页铃结束返回首页证证:1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF)()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF即上页下页铃结束返回首页不定积分中各部分的名称：-称为积分号,f(x)-称为被积函数,f(x)dx-称为被积表达式,x-称为积分变量.不定积分的概念 在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx
4、)在区间I上的不定积分,记作 dxxf)(.下页上页下页铃结束返回首页根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即 在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作 不定积分的概念dxxf)(.CxFdxxf)()(.下页C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!上页下页铃结束返回首页 例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数,则CxFdxxf)()(.Cxxdxsincos.下页 因为x是x21的原函数,所以 Cxdxx21.上页下页铃结束返回
5、首页解：当 x0 时,(ln x)x1,例 2.求函数xxf1)(的不定积分.例2 合并上面两式,得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数,则CxFdxxf)()(.Cxdxxln 1(x0)当 x0 时,ln(x)xx1)1(1,Cxdxx)ln(1(x0).Cxdxx|ln 1(x0).下页上页下页铃结束返回首页 例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为yf(x)2x,即f(x)是2x 的一个原函数.故必有某个常数C使f(x)x2C,即曲线方程为yx2C.因所求曲
6、线通过点(1,2),故21C,C1.于是所求曲线方程为yx21.因为Cxxdx22,下页yxo)2,1(上页下页铃结束返回首页 函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.下页2x的积分曲线上页下页铃结束返回首页ox例3.质点在距地面0 x处以初速0v力,求它的运动规律.解解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,)0(0 xx)(txx 质点抛出时刻为,0t此时质点位置为初速为,0 x设时刻 t 质点所在位置为,)(txx 则)(ddtvtx(运动速度)t
7、vtxdddd22g(加速度).0v垂直上抛,不计阻 先由此求)(tv 再由此求)(tx上页下页铃结束返回首页先求.)(tv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttvg再求.)(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知故ox)0(0 xx)(txx 上页下页铃结束返回首页微分与积分的关系 从不定积分的定义可知又由于F(x)是F(x)的原函数,所以 由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.)()(xfdxxf
8、dxd,或)()(xfdxxfdxd 或dxxfdxxfd)()(CxFdxxF)()(,或记作 或记作CxFxdF)()(.首页上页下页铃结束返回首页二、基本积分表(1)Ckxkdx(2)Cxdxx111(3)Cxdxx|ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc(14)Cxdxxch sh(15)Cxdxxsh ch Ck
9、xkdx(k 是常数),Cxdxx111,Cxdxx|ln1,Cedxexx,Caadxaxxln,Cxxdxsincos,Cxxdxcossin,Cxxdxtansec2,Cxxdxcotcsc2,Cxdxxarctan112,Cxdxxarcsin112,Cxxdxxsectansec,Cxdxxcsccotcsc,Cxdxxch sh,Cxdxxsh ch.下页上页下页铃结束返回首页例 5 dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772 例5 例4 例6 例 4 dxxdxx331CxCx21321131Cxx372.例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33d
10、xxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131.dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772.dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33.(2)Cxdxx111,首页积分表上页下页铃结束返回首页三、不定积分的性质 这是因为,f(x)g(
11、x).dxxgdxxfdxxgxf)()()()(.)()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf)()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf性质1 下页上页下页铃结束返回首页三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()()(.dxxfkdxxkf)()(k 是常数,k 0).性质1 性质2 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5()5(Cxxdxxdxx23272125325725 例7 例8 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5()5(dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5()5(Cxxdxxdxx23272125325725.
12、例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323 Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322.下页积分表上页下页铃结束返回首页例 11 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1()1()1(122222 例10 三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()()(.dxxfkdxxkf)()(k 是常数,k 0).性质1 性质2 例9 例 9 xdxd
13、xedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3例 10 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 例11 Cxxdxxdxx|lnarctan1112xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3.CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2.Cxxdxxdxx|lnarctan1112.下页dxxxdxxxxxdxxxxx)11
14、1()1()1()1(122222dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1()1()1(122222 积分表上页下页铃结束返回首页例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111 例12 dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313.例13 例 13 dxxdxdxxdxx222sec)1(sectantan xxC.dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111 dxxdxdxxdxxx222211)111(dxxdxdxxdxx222sec)1(se
15、ctandxxdxdxxdxx222sec)1(sectan 例 14 dxxdxxdxx)cos1(212cos1 2sin2 例14 例15 Cxx)sin(21.例 15 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222dxxdxxdxx)cos1(212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1(212cos1 2sin2 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222.结束积分表上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P
16、186)2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1.若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221上页下页铃结束返回首页2.若)(xf是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10上页下页铃结束返回首页3.若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx上页下页铃结束返回首页4.已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA上页下页铃结束返回首页作业作业P192 2 (17),(19),(21),(23),(25)5;
