1、空间向量与立体几何空间向量与立体几何主干知识整合主干知识整合高考热点讲练高考热点讲练向量法证明垂直与平行向量法证明垂直与平行如图，在六面体如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四中，四边形边形ABCD是边长为是边长为2的正方形，四边形的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为是边长为1的正方形，的正方形，DD1平面平面A1B1C1D1，DD1平面平面ABCD，DD12.求证：求证：(1)A1C1与与AC共面，共面，B1D1与与BD共面；共面；(2)平面平面A1ACC1平面平面B1BDD1.【证明证明】(1)以以D为原点，以为原点，以DA，DC，DD1所所在直线分别为在直线分别为x轴，轴，y轴
2、，轴，z轴，建立空间直角坐轴，建立空间直角坐标系标系Dxyz.如图，则有如图，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，即即DD1AC，DBAC.又又DD1与与DB是平面是平面B1BDD1内的两条相交直线，内的两条相交直线，AC平面平面B1BDD1.又又AC平面平面A1ACC1，平面平面A1ACC1平面平面B1BDD1.【归纳拓展归纳拓展】用向量法证明平行、垂直问题用向量法证明平行、垂直问题的步骤：的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空可
3、以建立空间直角坐标系，也可以不建系间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题根据运算结果解释相关问题变式训练变式训练1在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别是分别是BB1，DC的中点的中点(1)求证：求证：D1F平面平面ADE；(2)设正方形设正方形ADD1A1的中心为的中心为M，B1C1的中点为的中点为N，求证：求证：MN平面平面ADE.如图，在直三如图，在直三棱柱棱柱ABCA1B1C1中，中，BAC
4、90，ABACAA11，延长，延长A1C1至点至点P，使，使C1PA1C1，连接连接AP交棱交棱CC1于点于点D.(1)求证：求证：PB1平面平面BDA1；(2)求二面角求二面角AA1DB的平面角的余弦值的平面角的余弦值向量法求线线角和线面角向量法求线线角和线面角 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：求证：BD平面平面PAC；(2)若若PAAB，求，求PB与与AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)当平面当平面PBC与平面与平面PDC垂直时，求垂直时，求PA的长的长【解解】(1)证明：因为四边形
5、证明：因为四边形ABCD是菱形，是菱形，所以所以ACBD.又因为又因为PA平面平面ABCD，所以，所以PABD.所以所以BD平面平面PAC.(2)设设ACBDO，因为因为BAD60，PAAB2，【归纳拓展归纳拓展】(1)运用空间向量坐标运算求空运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：间角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系建立恰当的空间直角坐标系求出相关点求出相关点的坐标的坐标写出向量坐标写出向量坐标结合公式进行论结合公式进行论证、计算证、计算转化为几何结论转化为几何结论(2)几个常见空间角的求法：几个常见空间角的求法：异面直线所成的角异面直线所成的角可通过直线的方向向量夹可通过直线的方向
6、向量夹角角求得，即求得，即cos|cos|.直线与平面所成的角直线与平面所成的角主要通过直线的方向向主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角量与平面的法向量的夹角求得，即求得，即sin|cos|.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角或其补角)求求得；也可以通过二面角的两个半平面的法向量得；也可以通过二面角的两个半平面的法向量的夹角来求，它等于两个法向量的夹角或其补的夹角来求，它等于两个法向量的夹角或其补角角变式训练变式训练2如图所示，在棱长为如图所示，在棱长为a的正方体的正方体ABC
7、D A1B1C1D1中，中，E是是BC的中点，平面的中点，平面B1EDF交交A1D1于点于点F.(1)指出指出F在在A1D1上的位置，并说明理由；上的位置，并说明理由；(2)求直线求直线A1C与与DE所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)求直线求直线AD与平面与平面B1EDF所成角的正弦值所成角的正弦值向量法解决探索性问题向量法解决探索性问题【解解】(1)当点当点E为为BC的中点时，的中点时，EF与平面与平面PAC平行平行在在PBC中，中，E、F分别为分别为BC、PB的中点，的中点，EFPC.又又EF 平面平面PAC，而，而PC平面平面PAC，EF平面平面PAC.【归纳拓展归纳拓展】空间向量最
8、适合于解决这类立空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把列方程或方程组，把“是否存在是否存在”问题转化为问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题运用这一方法解题变式训练变式训练3已知在四棱柱已知在四棱柱ABCDA1B1C1
9、D1中，中，侧棱侧棱AA1底面底面ABCD，ABAD，BCAD，且且AB2，AD4，BC1，侧棱，侧棱AA14.(1)若若E为为AA1上一点，试确定上一点，试确定E点的位置，使点的位置，使EB平面平面A1CD；(2)在在(1)的条件下，求二面角的条件下，求二面角EBDA的余弦的余弦值值考题解答技法考题解答技法 (本题满分本题满分12分分)在如图所示的几何体中，在如图所示的几何体中，四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ACB90，EA平面平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.(1)若若M是线段是线段AD的中点，求证：的中点，求证：GM平面平面ABFE；(2)若若AC
10、BC2AE，求二面角，求二面角ABFC的大的大小小【解解】(1)证明：因为证明：因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90.所以所以EGF90，ABCEFG.由于由于AB2EF，2分分因此因此BC2FG.(2)因为因为ACB90，所以，所以CAD90.又又EA平面平面ABCD，所以所以AC，AD，AE两两垂直两两垂直分别以分别以AC，AD，AE所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴和轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设不妨设ACBC2AE2，则由题意得，则由题意得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，7分分【得分技巧得分技巧】第第(1)问中的得分点是先证明问中的得分点是先证明BC2FG，再进一步推导，再进一步推导AM与与GF的平行与相等的平行与相等关系；第关系；第(2)问的得分点：一是建立空间坐标系，问的得分点：一是建立空间坐标系，写出一些点的坐标，二是求平面写出一些点的坐标，二是求平面BFC和平面和平面ABF的法向量的法向量【失分溯源失分溯源】解答本题的失分点有：解答本题的失分点有：(1)步骤步骤不规范，如不规范，如FA面面ABFE，GM 平面平面ABFE，这两个条件易漏；这两个条件易漏；(2)计算出错，求解法向量出计算出错，求解法向量出错，造成失分错，造成失分
