1、高考数学（理）必考热点新题精选练习：高考数学（理）必考热点新题精选练习： 圆锥曲线（解答题）圆锥曲线（解答题） 考向考向 1 1 圆锥曲线中求值与证明问题圆锥曲线中求值与证明问题 1.已知椭圆 C:+=1(ab0)过点,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1,F2, 过 F1的直线交椭圆于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程. (2)当F2AB 的面积为时,求直线的方程. 2.如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T(2,0),与 y 轴正半轴相交于两点 M,N(点 M 在点 N 的下方),且|MN|=3. (1)求圆 C 的方程. (2)过点 M 任作一条直线与椭圆+=1 相交于两点 A,B,
2、连接 AN,BN,求证: ANM=BNM. 考向考向 2 2 圆锥曲线的最值与范围问题圆锥曲线的最值与范围问题 1.已知椭圆 C:+=1(ab0)的焦距为 4,且过点(,-2). (1)求椭圆 C 的方程. (2)过椭圆上焦点的直线 l 与椭圆 C 分别交于点 E,F,求的取值范围. 2.已知椭圆+y 2=1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. (1)求实数 m 的取值范围. (2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 老乡老乡 3 3 圆锥曲线中的定点与定值问题圆锥曲线中的定点与定值问题 1.已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P
3、为椭 圆 C 上一点,且F1PF2的周长为 4+2. (1)求椭圆 C 的方程. (2)过点 A(4,0)作关于 x 轴对称的两条不同的直线 l1,l2,若直线 l1交椭圆 C 于一 点 M(x1,y1),直线 l2交椭圆 C 于一点 N(x2,y2),x1x2,证明:直线 MN 过定点. 2.已知 A(-2,0),B(2,0),点 C 是动点,且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为- . (1)求动点 C 的轨迹方程. (2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P,与直线 x=4 相交于点Q,判断以 PQ 为直径的 圆是否过 x 轴上一定点. 考向考向 4 4 圆锥曲线中的探究性问题圆锥曲线中
4、的探究性问题 1.已知椭圆 C:+=1(ab0)过点(-,1),离心率为,直线 l:kx-y+2=0 与椭 圆 C 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)是否存在实数 k,使得|+|=|-|(其中 O 为坐标原点)成立?若存在, 求出实数 k 的值;若不存在,请说明理由. 2.椭圆 E:+=1(ab0)的右顶点为 A,右焦点为 F,上、 下顶点分别是 B,C,|AB| =,直线 CF 交线段 AB 于点 D,且|BD|=2|DA|. (1)求 E 的标准方程. (2)是否存在直线 l,使得 l 交 E 于 M,N 两点,且 F 恰是BMN 的垂心?若存在,求 l 的方程;
5、若不存在,说明理由. 答案与解析答案与解析 考向考向 1 1 圆锥曲线中求值与证明问题圆锥曲线中求值与证明问题 1.【解析】(1)因为椭圆 C:+=1(ab0)过点, 所以+=1. 又因为离心率为 ,所以 = , 所以= . 解得 a 2=4,b2=3. 所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)当直线的倾斜角为 时, 不妨取 A,B, = |AB|F1F2|= 32=3. 当直线的倾斜角不为 时,设直线方程为 y=k(x+1), 代入+=1 得(4k 2+3)x2+8k2x+4k2-12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-,x1x2=, 所以= |y1-y2|F1
6、F2| =|k| =|k| =, 所以 17k 4+k2-18=0, 解得 k 2=1 . 所以 k=1, 所以所求直线的方程为 x-y+1=0 或 x+y+1=0. 2.【解析】(1)设圆 C 的半径为 r(r0),依题意,圆心 C 的坐标为(2,r). 因为|MN|=3,所以 r 2= +2 2= . 所以 r= ,圆 C 的方程为(x-2) 2+ =. (2)把 x=0 代入方程(x-2) 2+ =, 解得 y=1 或 y=4,即点 M(0,1),N(0,4). 当 ABx 轴时,可知ANM=BNM=0. 当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y=kx+1. 联立方程
7、消去 y 得,(1+2k 2)x2+4kx-6=0. 设直线 AB 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 x1+x2=,x1x2=. 所以 kAN+kBN=+=+ = =0. 所以ANM=BNM. 综合知ANM=BNM. 考向考向 2 2 圆圆锥曲线的最值与范围问题锥曲线的最值与范围问题 1.【解析】(1)由椭圆 C:+=1(ab0)的焦距为 4.得曲线 C 的焦点 F1(0,-2),F2(0,2). 又点(,-2)在椭圆 C 上,2a=+=4, 所以 a=2,b=2,即椭圆 C 的方程是+=1. (2)若直线 l 垂直于 x 轴,则取点 E(0,2),F(0,-2),=-8
8、. 若直线 l 不垂直于 x 轴, 设 l 的方程为 y=kx+2,点 E(x1,y1),F(x2,y2),将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程得 到:(2+k 2)x2+4kx-4=0, 则 x1+x2=,x1x2=, 所以=x1x2+y1y2 =(1+k 2)x 1x2+2k(x1+x2)+4 =+4=-8. 因为 00,即 k 或 k0 得,- m. x1+x2=-,x1x2=. 因为 MFBN,所以=0. 因为=(1-x1,-y1),=(x2,y2-), 所以(1-x1)x2-y1(y2-)=0, 即(1-x1)x2-+=0, 整理得(x1+x2)- x1x2-m 2+ m=0, 所以- -m 2+ m=0, 整理得 21m 2-5 m-48=0,解得 m=或 m=-. 当 m=时,M 或 N 与 B 重合,不符合题意,舍去; 当 m=-时,满足-m. 所以存在直线 l,使得 F 是BMN 的垂心,l 的方程为 y=x-.
