1、 1 2019 年 12 月湖湘教育三新探索协作体联考试卷 高二数学参考答案解析及给分细则 一、选择题（本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分） 1-5：ABBAC 6-10:DDBCA 11-12:AD 1、解析：由0Bx x，得0ABx x 故选 A 2、解析：由 2 (2)( 3)log (9)17f ffaa.故选 B 3、解析： 2 ( )32fxax，又(1)tan 4 f，故 3a-2=1,得 a=1.故选 B 4、解析：安全区域为图中阴影部分，其面积 2 2 214S 故概率 4 1 44 P，故选 A 5、解析：由 579 25aaa有 19 95 9() 945
2、2 aa Sa。故选 C 6、解析： 1 2 2 sin()sin(2) 22 Cyxyx 横坐标缩短为原来的 曲线化为 8 右移 个单位 sin 2()sin(2) 824 yxx 1 C即为曲线,故选 D 7、 解析：建系如图，设拱桥所在抛物线为 2 (0)xay a 点 A（2,-2）在抛物线上，得 a= -2 抛物线方程为 2 2xy 当水面宽为2 5时，设拱顶高于水面 hm, 由点( 5,)h在抛物线上，得 5 2 h，故水面下降了 1 2 m。故选 D 8、解析：由题意， 222 ()Axayb圆 为,与渐近线 b yx a 交于 M、N 两点， 0 090 ,AM ANMAN由知
3、故圆心 A 到渐近线距离为 2 2 b 22 22 2 22 aba be c ba 即，故选 B 9、解析：如图，四边形 PACB 的面积为22 PAC SSPA 故当 PA 最小时，S 有最小值 记圆心到直线距离2 2,2 2dPC则 22 6PA= PCCA又 262 3S,故选 C 10、解析： 414 2224 444 xxyx yy xyxy 由 2 3414mmm知，故选 A 11、解析：如图，过点 M 作 MHl 于 H， 由题意3PFMF 224 333 MHPM MHp KFPF 12 3 233 MMM p MHxxy由定义 12 32 3 2 233 MFK S，故选
4、A 2 12、解析：如图，当0x时，( )1f xx与( )g x有 1 个交点， 故0x时( )logaf xx与( )g x有且仅有 5 个交点， 必有1a且 (5)1 57 (7)1 f a f ，故选 D 二、填空题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分） 13、e 14、 63 64 15、9 16、2（a-m） 答案解析答案解析： 13、解析： ( )2(1)1(1)2(1)(1) x fxfexffefe由令有 14、解析：法一：可求得 12366 2366 1111163 ,1 2222264 aaaaS 法二：记 21 123 222 2 n nn n Taaaa
5、则 22 11231 1 222(2) 2 n nn n Taaaan 两式相减得 1 11 2(2) 22 n nn n aan 由 1 1 2 a也适合上式，有 1 2 n n a，故 6 6 163 1 264 S 15、解析：几何体的直观图是正四棱锥（如图所示） ，且高 CA 和底面边长为 2，在 RtOAB 中， 由 22 (2)2RR有 3 2 R， 故 2 49SR 16、解析： 由已知,如图光线从出发,若先经过双曲线上一点反射,则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到 ;同理,若先出发经过椭圆上一点反射,则光线沿着直线方向到达双曲线上一点 反射后回到,则可知,光
6、线从出发,无论 经由那条路线,经过两次反射后必然返回,则讨论光线反射两次后返回的过程,如图, 所以光线经过 2 次反射后回到左焦点所经过的路径长为 2（a-m） 3 三、解答题 17、解： （1） 2 000 :,10qxR mxmx (或写为： 2 ,10)xR mxmx4 分 （2）由 p 有：(m+2)(m-1)0m1 5 分 由 q 有：若 m=0,化为 10 成立 6 分 若 m0,则有 0 04 0 m m 7 分 0,4)m8 分 “pq”为假命题，“ q”为假命题 p 假 q 真9 分 2,1 0,4)0,1m10 分 18、解： （1）由正弦定理有： 222 2acacb 2
7、 分 由余弦定理 cosB= 222 2 22 acb ac 4 分 又(0, )B 4 B 5 分 （2）由（1） 11 tan22aBa 6 分 又 22 428111 (3 )()(7 )aa aadad ad 1 1 02 add dda 7 分 2 n an 8 分 1 44111 22(1)(1)1 nn a annn nnn 从而 10 分 1111111 (1) () ()() 223341 n S nn 1 1 11 n nn 12 分 19、解： （1）各小组的频率依次为 0.1, 0.2, 0.25, 200a, 0.1, 0.05 由 0.1+0.2+0.25+200a
8、+0.1+0.05=1 有 a=0.00153 分 （2）平均金额300 0.1 500 0.2 700 0.25 900 (200 0.0015) 1100 0.1 1300 0.05x 750()元7 分 （3）选择方案一：优惠力度为 750 （1-80）=150 元9 分 选择方案二：优惠力度为30 0.1 50 0.2 140 0.25 160 0.3 280 0.1 320 0.05 140 （元） 11 分 故，方案一的优惠力度更大. 12 分 20、（1）证明： 取 AC 的中点 O，连接 OS,OB, SA=SC,AB=BC ACSO 且 ACBO. AC面 SBO 又 SB面
9、 SBO ACSB5 分 (2)解：由面 SAC面 ABC,SOAC 可得 SO面 ABC 6 分 故以 O 为坐标原点，分别以 OA,OB,OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则 A(2,0，0),B(O,2 3,0),C(-2,0,0) ,S(0,0,2) E(1,3,0),F(0,3,1) (3, 3,0),(2, 3,1)CECF 4 设( , , )nx y z为平面 EFC 的一个法向量 由 0330 0230 n CExy n CFxyz 1,3,1.(1,3,1)xyzn取则9 分 又(0,0,2)OS为面 ABC 的一个法向量 由 25
10、cos, 552 n OS 如图知二面角 B-CE-F 的余弦值为 5 5 12 分 21、解： （1）由图可知函数 2 ( )(1)4f xa x的图象过点 F（-3,0） ( 3)4401faa 3 分 （2）由（1）知 2 ( )(1)4f xx 当 x=0 时，f(0)=3 OC=3,又 CD=3 在 RtOCD 中， 6 COD 3 DOE 6 分 （3）由（2）可知 22 2 3ODOCCD 易知矩形草坪面积最大时，Q 在 OD 上. 如图：(0) 3 POE 2 3sin2 3cosQMPNON 3 2sin 3 OMQM又 2 3cos2sinMNONOM8 分 矩形草坪的面积
11、为： 2 2 3sin (2 3cos2sin ) 12sincos4 3sin 6sin22 3cos22 3 SQM MN 4 3sin(2) 2 3 6 10 分 又 5 02 3666 故，当2 62 即 6 时，有 max 2 3S 综上所述，当 6 时，矩形草坪面积最大12 分 22、解： （1）由题意知 12 (2,0),( 2,0)FF 2c 又离心率 2 2 c e a 2,2ab故 椭圆 C 的方程为 22 1 42 xy 2 分 5 （2）证明：设 P(x0,y0)，则 22 00 2xy 由此 2 000 12 2 0 1 222 yyy K K xxx （定值）5 分
12、 （3）由（2）知 12 1K K 设直线 AB 的方程为(2)yk x，则直线 CD 方程为 1 (2)yx k 联立 22 (2) 1 42 yk x xy 消去 y，得： 2222 (1 2)4 2440kxk xk 记 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 22 1212 22 4 244 , 1 21 2 kk xxx x kk 7 分 2 22 1212 2 4(1) 1()4 1 2 k ABkxxx x k 同理 2 2 4(1) 2 k CD k 9 分 222 222 111 223 33 4(1)4(1)4(1)4 kkk ABCDkkk 由题意： 12 3 23 2 cos 44 ABCDAB CDAB CDFPF 故 12 411432 cos() 423 23 23 2 4 ABCD FPF ABCD AB CD o 12 45FPF 12 分
