1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质【提问提问1 1】根据以前研究函数的经验，根据以前研究函数的经验，都有哪些性质可以研究？定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(极值)等等另外，三角函数是刻画“周而复始”现角的数模型，所以三角函数还要研究周期性定义域都是R，值域都是-1，1正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？一、周期性 在图像上，横坐标每隔2个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.xkxsin)2sin(由诱导公式可得，即自变量 的值加上2的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.，都有，
2、使得对每一个存在一个非零常数定义域为一般地，设函数D,)(TxDxTDxf),()(xfTxf且叫做这个函数的周期常数就叫做周期函数，非零那么函数Txf)(都是正弦函数的周期。，以及，个，例如周期函数的周期不止一6-4-2-642的最小正期就叫做小正数小的正数，那么这个最所有周期中存在一个最如果在周期函数)()(xfxf2)0(2周期为都是它的周期，最小正且正弦函数是周期函数，kzkk2)0(2周期为都是它的周期，最小正且余弦函数是周期函数，kzkk附：今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，都是指最小正周期课本第203页第1题xysin312）（、求下列函数的周期例xy2cos)2()62
3、1sin(2)3(xy2TT4T 思考：你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？前的系数有关与自变量x2)sin()(TxAxf的周期为函数2)cos()(TxAxf的周期为函数课本第203页第2题RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin()4(),32cos(21)3(,4cos)2(,43sin)1(.2求下列函数的周期：38432,431T）解：（242,42T）（22,23T）（6312,314T）（课本第203页第4题.)27(),3(.)1()(2,02)(.42的值求时，数，且当为最小正周期的周期函是以设函数ffxxfxRxxf0)11()1()21()3(2fff
4、解：41)123()23()223()27(2fff二、奇偶性正弦函数的图象关于原点对称)(sin)sin()(xfxxxf是奇函数xxfsin)(余弦函数的图象关于y轴对称)(cos)cos()(xfxxxf是偶函数xxfcos)(课本第203页第3题xxyxxyxyxycossin)4(sin)3(cos1)2(sin2)1(.3函数？哪些是偶函数？下列函数中，哪些是奇奇偶奇奇三、单调性xy0从最低到最高：23,252,225,23正弦函数的增区间：)(22,22zkkk其值从-1增大到1xysin三、单调性xy0从最高到最低：2,2323,2正弦函数的减区间：)(223,22zkkk其值
5、从1减少到-1xysin三、单调性xy0从最低到最高：2,30,2,余弦函数的增区间：)(2,2zkkk其值从-1增大到1从最高到最低：,2,03,2余弦函数的减区间：)(2,2zkkk其值从1减小到-1xycos三、单调性课本P205xy0 xycosxxcos220-1010-1.11_11_,cos减小到上单调递减，其值从；在区间增大到上单调递增，其值从在区间函数xxy0,0由余弦函数的周期性可得.11_11_cos减小到上单调递减，其值从每一个闭区间；增大到上单调递增，其值从每一个闭区间余弦函数xy)(2,2Zkkk)(2,2Zkkk四、最大值与最小值xy0123有最大值时，当yx12
6、有最大值时，当yx125有最大值时，当yx1_,sin时，取得最大值当且仅当正弦函数xxy125有最小值时，当yx12有最小值时，当yx123有最小值时，当yx1_时，取得最小值当且仅当xxysinZkk,22Zkk,22四、最大值与最小值xycosxy010有最大值时，当yx 1_,cos时，取得最大值当且仅当余弦函数xxy1有最小值时，当yx1_时，取得最小值当且仅当xZkk,2Zkk,2.,2sin3)2(;,1cos)1(.3RxxyRxxyx、最小值的集合，并求出最大值最小值时自变量出取最大值、小值吗？如果有，请写下列函数有最大值、最例，有最大值时，（解：当1cos)2)1(xzkk
7、x21cos有最大值此时，xy，有最小值时，当1cos)(2xzkkx01cos有最小值此时，xy21cos,2|有最大值所以，当xyzkkxxx01cos,2|有最小值当xyzkkxxx.,2sin3)2(;,1cos)1(.3RxxyRxxyx、最小值的集合，并求出最大值最小值时自变量出取最大值、小值吗？如果有，请写下列函数有最大值、最例，有最大值时，（即解：当12sin)4,222)2(xzkkxkx32sin3有最大值此时，xy3-2sin3有最小值此时，xy32sin3,4|有最小值所以，当xyzkkxxx32sin3,24|有最大值当xyzkkxxx，有最小值时，（即当12sin)
8、4,222xzkkxkx课本P207练习第2题课本P207练习第2题.,3cos2)2(;,sin2)1(.2RxxyRxxy求出最大值、最小值集合，并值、最小值的自变量的求使下列函数取得最大；时，函数取得最大值当2,22|)1(Zkkxxx.2,22|时，函数取得最小值当Zkkxxx，有最大值时，（即当13cos)6,23)2(xzkkxkx课本P207练习第2题.,3cos2)2(;,sin2)1(.2RxxyRxxy求出最大值、最小值集合，并值、最小值的自变量的求使下列函数取得最大，有最大值时，（即当13cos)6,23)2(xzkkxkx，有最小值时，（即当13cos)63,23xzk
9、kxkx；有最小值时，13cos2,6|xyZkkxxx.33cos2,63|有最大值时，xyZkkxxx课本P213练习第4题课本P206 例4).417cos()523cos()2()10sin()18sin()1(.4与；与各组数的大小：不通过求值，比较下列例分析：1、同一函数可以利用单调比较大小。2、必须化在同一单调区间比较018102是单调递增在区间解：0,2sin)1(xy)10sin()18in(s课本P206 例4).417cos()523cos()2()10sin()18sin()1(.4与；与各组数的大小：不通过求值，比较下列例53cos)534cos(523cos523c
10、os2）解：（4cos)44cos(417cos417cos5340且,0cos上单调递减，在区间xy)417cos()523cos(53cos4cos即课本P207练习第4题.260sin250sin)2()53cos(72cos)1(.400与；与的大小：各组中两个三角函数值不通过求值，比较下列课本P207练习第4题53cos)53cos()1(53720,53cos72cos.260sin250sin)2()53cos(72cos)1(.400与；与的大小：各组中两个三角函数值不通过求值，比较下列,0cos上单调递减，在区间xy)53cos(72cos即.260sin250sin)2()
11、53cos(72cos)1(.400与；与的大小：各组中两个三角函数值不通过求值，比较下列课本P207练习第4题0000270260250180)2(.260sin250sin00单调递减在270,180sin00 xy 课本P206 例5.2,2),321sin(.5的单调递增区间求函数例xxyZkkxk,2232122解：由Zkkxk,4343522x335x3,35所求增区间为课本P207练习第5题课本P207练习第5题.,0),42sin(3.5的单调递减区间求函数xxyZkkxk,2234222解：由Zkkxk,858得 x0858x85,8所求减区间为课本P207练习第1题0cos
12、)4(0cos)3(0sin)2(0sin)1(.1xxxxx所在的区间：的线，写出满足下列条件观察正弦曲线和余弦曲xy0 x0Zkkxk,22Zkkk),2,2)(1(0 xZkkxk,22Zkkk),2,2)(2(课本P207练习第1题0cos)4(0cos)3(0sin)2(0sin)1(.1xxxxx所在的区间：的线，写出满足下列条件观察正弦曲线和余弦曲22xZkkxk,2222Zkkk),22,22)(3(xy0课本P207练习第1题0cos)4(0cos)3(0sin)2(0sin)1(.1xxxxx所在的区间：的线，写出满足下列条件观察正弦曲线和余弦曲232 xZkkxk,22322Zkkk),223,22)(4(xy0课本P207练习第3题）正确的是（的单调性的叙述，下列关于函数2,0,sin4.3xxyxy0C课本P207练习第4题xy0
