1、 - 1 - 数数 学学 (本试卷分第卷和第卷两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 参考公式：球的表面积公式SR 2 4（其中 R 为球的半径） 。 一、一、 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题小题，每小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每
2、小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1.已知集合, , ,A 1 2 3 4， Bx xx 2 20，则AB ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. , 1 2 2.已知命题:,pxR xx 2 230，那么p是( ) A. ,xR xx 2 000 230 B. ,xR xx 2 230 C. ,xR xx 2 000 230 D. ,xR xx 2 230 3. x 3是x 2的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数( )()()f xxx3 1的定义域为( ) A. (, ,
3、) 13 B. , 1 3 C. , 3 1 D. (, ,) 31 5.甲,乙,丙三名学生随机站成一排,则甲站在中间的概率为( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 6.如果ab0,那么下列不等式一定成立的是 ( ) A. cacb B. ab 11 C. ( )( ) ab 11 22 D. lnlnab 7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 780 人、高三n人中,抽取 35 人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为 13 人,则n等于( ) A. 660 B. 720 C.780 D. 800 8.已知sin 2 5
4、 5 ,是第三象限的角,则tan 2的值为( ) A. 4 3 B. 4 3 C. 4 5 D. 4 5 9.函数( )( )log x f xx 3 1 3 的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10.设M是ABC边BC的中点，若AMABAC,则的值为( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 1 D. 2 11.如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是( ) A. 3 B. 3 C. 4 3 D. 12 - 2 - 12.如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图,用下列哪个函数模型拟合红豆生长时 间与枝数的关系最好( ) A.
5、 指数函数: t y 2 B. 对数函数: logyt 2 C. 幂函数:yt 3 D. 二次函数:yt 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1212 分分。 13.计算: lglg 5 22 2 = . 14.已知向量( , ),(, ) 2 411ab，则a b= . 15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若 sin 3 5 , 则sin= . 16.设, x y为正数，则()()xy xy 14 的最小值为 . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 52
6、52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知向量( , ),( , ).axb22 4 （）若/ab，求实数x的值； （）若ab6，求实数x的值. - 3 - 18. (本小题满分 10 分) 在ABC中,角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且abc，sincbC320. （）求角B的大小; （）若,ba32,求c. 19. (本小题满分 10 分) 如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交 于点O，E为PB的中点. （）求证：EO平面PDC; （）求
7、证：ACDE. - 4 - 20. (本小题满分 10 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方 图 ( 如 图 ) . 已 知 上 学 所 需 时 间 的 范 围 是 0,100, 样 本 数 据 分 组 为 0,20),20,40),40,60), 60,80), 80,100 . （）求直方图中x的值; （）如果上学所需时间在 60 ,100的学生可申请在学校住宿,请估计该校 800 名新生中有多 少名学生可以申请住宿. 21. (本小题满分 12 分) 如图,某市拟在长为 8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线
8、段 OSM,该曲线段为函数sin(,)yAx A00, , x 0 4的图象,且图象的最高点为 ( ,)S 3 2 3;赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定MNP120. （）求点M的坐标; （）应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长? - 5 - - 6 - 数数 学（三）答案学（三）答案 一、选择题 BCACBDBABCDA 二、填空题 13.1 14.2 15. 3 5 16.9 三、解答题 17.解： （）因为/ab， 所以x 44， 所以x 1.5 分 （）因为(, )abx2 6， 所以()abx 2 236， 所以()x 2 2366， 解得 x2.10 分
9、 18.解： （） 因为c-2bsin C=0, 所以sin C-2sin Bsin C=0. 因为 0c, 所以 B= .5 分 （）因为 b=,a=2, 所以由余弦定理 b 2=a2+c2-2accos B, 得() 2= c 2+4-2 c2 ,即 c 2-2 c +1=0. 所以 c=1.10 分 19.（）证明： ， 点分别是，中点， ， 平面PDC，平面PDC， EO平面PDC.5 分 （）证明：四边形是正方形， ， 又底面，底面， ， ，平面， 平面， DE 平面， - 7 - ACDE.10 分 20.解： （）由直方图可得到 20x+0.02520+0.006520+0.00
10、3220=1. 所以x=0.012 5.5 分 （）由直方图可知,新生上学所需时间在 60 ,100的频率为 0.003220=0.12. 所以估计全校新生上学所需时间在 60 ,100的概率为 0.12. 因为 8000.12=96. 所以 800名新生中估计有 96 名学生可以申请住宿. 10 分 21.解： （）由题意知 A=2, =3, T=,= , y=2sin x. 当 x=4时,y=2sin=3, M(4,3). 6 分 （）连接 MP,如图所示. 又P(8,0),MP=5. 解法一:在 MNP 中,MNP=120 ,MP=5. 设PMN=,则 0 60 , . NP=sin,M
11、N=sin(60 -). NP+MN=sin+sin(60 -) =sin(+60 ). 0 60 , 60 +60 120 , 5sin(+60 ) . 当 =30 时,折线段赛道 MNP 最长. 所以将PMN 设计为 30 时,折线段赛道 MNP 最长. 12 分 解法二:. 在 MNP 中,MNP=120 ,MP=5, 由余弦定理知 cosMNP= , 即 MN 2+NP2+MN NP=25. 所以(MN+NP) 2-25=MN NP , 所以 (MN+NP) 225,即 MN+NP ,当且仅当 MN=NP时取等号. 所以将赛道设计为 MN=NP 时,折线段赛道 MNP 最长. 12 分
