1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年百校联盟年百校联盟 TOP20 高考数学模拟试卷 （理科）（高考数学模拟试卷 （理科）（3 月份）（全月份）（全 国国 II 卷）卷） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |23 0Axx ， | (2)0Bx x x，则(AB ) A 3 | 2 x x B 3 |2 2 xx C |02rx D 3 |0 2 xx 2 （5 分）设复数z满足 2 1 i i z 则|z等
2、于( ) A 3 2 B 10 2 C 2 2 D2 3 （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是( ) A 2 ( )1f xx B 1 ( )f xx x C 1 2 ( )log |f xx D | | ( )2 x f x 4 （5 分）已知双曲线 2 2 :1 3 y C x ，F为双曲线C的右焦点，过点F作与渐近线垂直的 直线与另一条渐近线交点M则| (FM ) A2 3 B3 C2 2 D4 5 （5 分）如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成该几何体的各面中，直角 三角形的个数为( ) A1 B2 C3 D4 6 （5 分）如图，在平面直角坐标系x
3、Oy中，扇形AOB的圆心角为 3 4 ，半径为 1，P是AB 上一点，其横坐标为 2 2 3 ，则sin(BOP ) 第 2 页（共 20 页） A 2 3 B 3 3 C 42 6 D 32 6 7 （5 分）正六面体有 6 个面，8 个顶点；正八面体有 8 个面，6 个顶点我们称它们互相 对偶如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体，在正六面体内随机取一 点，则此点取自正八面体内的概率是( ) A 1 6 B 1 5 C 1 4 D 1 3 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为 4 3 ，则输入a的值为( ) A4 B10 C79 D93 9 （5 分）设x，y
4、满足不等式组 2 0 xy y xa y 且 4 y x 的最大值为 1 2 ，则实数a的值为( ) A1 B2 C3 D4 第 3 页（共 20 页） 10 （5 分）设 1 0,tan()tan 2cos a ，则( ) A2 2 B2 2 C2 2 a D2 2 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，点A、B是椭圆C上关于原 点O对称的两个点，且| |AOAF，0FA FB 则椭圆C的离心率为( ) A31 B23 C 2 2 D 2 3 12 （5 分）若函数( ) x f xalnxe有极值点，则实数a的取值范围是( ) A(,)e B(
5、1, ) e C(1,) D(0,) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）在 26 1 ()x x 的展开式中，含 3 x项的系数为 （用数字填写答案） 14 （5 分）甲、乙，丙、丁 4 人站在一栋房子前 甲说： “我没进过房子“：乙说： “丙进去 过“：丙说： “丁进去过“：丁说： “我没进过房子“这四人中只有一人进过房子，且只有 一人说了真话则进过这栋房子的人是 15 （5 分）在ABC中，60A，3AB ， 24 , 33 BDBC AD BC ，则AC 16 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(c
6、oscos )b caBC 若 ABC的周长的最大值为44 2，则a 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， * 2 1 1 ,21( 3 n n n a aanN a 且2)n （）证明： 1 n a 为等差数列： （）求数列 3 n n a 的前n项和 n T 18 （12 分） 如图， 四棱锥ABCDE中， 底面BCDE为直角梯形，/ /EDBC，90EDC， 2 2EBEC，2ABAEED，F为AB的中点 （）证明：/ /EF平面ACD； （）若2 3AC ，求直线BC与平面ACD所
7、成角的正弦值 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等 级标准，统一使用综合指标值FL进行衡量如表所示，某花卉生产基地准备购进一套新型 的生产线现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取 30 个样品进行等级 评定，整理成如图所示的茎叶图 综合指标FL 10，19 20，39 40，59 质量等级 三级 二级 一级 ( ) I根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结 论即可） ； ()II若从等级为三级的样品中随机选取 3 个进行生产流程调查， 其中来自新型生产线的样品 个数
8、为X，求X的分布列； （）根据该花卉生产基地的生产记录原有生产线加T的产品的单件平均利润为 4 元产 品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如表： 三级花 二级花 一级花 销售率 2 5 2 3 8 9 单件销售 12 元 16 元 20 元 预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为 10 元 日产量 3000 件 因为鲜切花产品 的保鲜特点未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完如果仅从单件产品利润的角 度考虑该生产基地是否需要引进该新型生产线？ 20 （12 分）已知抛物线 2 :4C xy，直线:1l ykx与抛物线交于A、B两点 第 5 页（共 20 页） （）若
9、1 2 k ，求以AB为直径的圆被x轴所截得的弦长； （）分别过点A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点E，求EAB面积的最小值 21 （12 分）已知函数( ) x f xeax （）若 1 2 a ，讨论函数( )f x的单调性； （）若方程( )0f xx没有实数解，求实数a的取值范围 请考生从第请考生从第 22，23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧 方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不
10、涂，按本选 考题的首题进行评分考题的首题进行评分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 2cos ( sin xt t yt 为参数） ，以 坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1: 2C与x轴的正、负半轴分别交 于A，B两点 （）P为 1 C上的动点求线段AP中点的轨迹 2 C的直角坐标方程： （）直线l与 2 C分别交于点M，N，且M在N的左侧，BMO的面积是NMO面积的 2 倍求tan的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( ) |f xxax （）若1a 求不等式(
11、 ) 1f x 的解集； （）若不等式 2 ( )2(1)f xx至少有一个负数解，求实数a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年百校联盟年百校联盟 TOP20 高考数学模拟试卷 （理科）（高考数学模拟试卷 （理科）（3 月份）（全月份）（全 国国 II 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |23 0Axx ， | (2)0Bx x x，则(AB ) A
12、3 | 2 x x B 3 |2 2 xx C |02rx D 3 |0 2 xx 【解答】解： 3 | 2 Ax x， |02Bxx， 3 |2 2 ABxx 故选：B 2 （5 分）设复数z满足 2 1 i i z 则|z等于( ) A 3 2 B 10 2 C 2 2 D2 【解答】解：因为 213 122 i zi i ，所以 13 22 zi ， 所以 22 1310 |()( ) 222 z ， 故选：B 3 （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是( ) A 2 ( )1f xx B 1 ( )f xx x C 1 2 ( )log |f xx D | | (
13、 )2 x f x 【解答】解： 2 :( )1A f xx 在(0,)单调递减，不符合题意； 1 :( )B f xx x 为奇函数，不符合题意； 1 2 :( )log |Cf xx在(0,)单调递减，不符合题意； | | :( )2 x D f x 为偶函数且在单调递增，符合题意； 故选：D 4 （5 分）已知双曲线 2 2 :1 3 y C x ，F为双曲线C的右焦点，过点F作与渐近线垂直的 直线与另一条渐近线交点M则| (FM ) 第 7 页（共 20 页） A2 3 B3 C2 2 D4 【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：3yx， 则过点F作与渐近线垂直的直线为： 3
14、(2) 3 yx ， 所以它们的交点( 1, 3)M ， (2,0)F，所以| 2 3FM 故选：A 5 （5 分）如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成该几何体的各面中，直角 三角形的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为三棱锥，其中PA 底面ABC， ABBC，可得该几何体的各面中，直角三角形的个数为 4 个 故选：D 6 （5 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的圆心角为 3 4 ，半径为 1，P是AB 上一点，其横坐标为 2 2 3 ，则sin(BOP ) 第 8 页（共 20 页） A 2 3 B 3 3 C
15、 42 6 D 32 6 【解答】解：由题意知，点 2 2 ( 3 P， 1) 3 ， 根据三角函数的定义知， 1 sin 3 POA， 2 2 cos 3 POA， 所以 3 sinsin() 4 BOPPOA 33 sincoscossin 44 POAPOA 22 221 () 2323 42 6 故选：C 7 （5 分）正六面体有 6 个面，8 个顶点；正八面体有 8 个面，6 个顶点我们称它们互相 对偶如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体，在正六面体内随机取一 点，则此点取自正八面体内的概率是( ) A 1 6 B 1 5 C 1 4 D 1 3 【解答】解：设正方体
16、的棱长为 2，则正方体的体积为 8； 正八面体是由两个全等的正四棱锥组成，且棱长为2； 第 9 页（共 20 页） 故其底面积为 2，高为 1；体积为 12 1 2 33 ； 正八面体的体积为 24 2 33 ； 所求概率为： 4 1 3 86 P ； 故选：A 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为 4 3 ，则输入a的值为( ) A4 B10 C79 D93 【解答】解：程序运行如下： 41 3,1;,2;,3 32 SkSkSk； 2S ，4k ；3S ，5k ；此程序的S值 4 个一循环，若输出S的值为 4 3 ，则相应k 的值为 11 42()kkN，因为ka时，输出S
17、，则输入a的值为 11 41()kkN 故选：D 9 （5 分）设x，y满足不等式组 2 0 xy y xa y 且 4 y x 的最大值为 1 2 ，则实数a的值为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 可知2a， 4 y x 的几何意义是可行域内的点与( 4,0)Q 连线的斜率， 直线20xy与直线yxa的交点为(1 2 a A，1) 2 a ， 当1 2 a x ，1 2 a y 时， 4 y x 的最大值为 1 2 ，解得2a ，所以实数a的值为 2 故选：B 第 10 页（共 20 页） 10 （5 分）设 1 0,tan()tan 2cos a
18、 ，则( ) A2 2 B2 2 C2 2 a D2 2 【解答】解：由题意知， 1 tan()tan cos ， 即 sin()sin1 cos()coscos ， 等式两边同乘以cos()cos， 得sin()coscos()sincos()， 所以sincos()， 即cos()cos() 2 ； 又0 2 ， 所以(0,) 22 ， 0 2 ， 所以 2 ， 所以2 2 故选：B 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，点A、B是椭圆C上关于原 点O对称的两个点，且| |AOAF，0FA FB 则椭圆C的离心率为( ) A31 B23 C 2
19、 2 D 2 3 【解答】解：因为0FA FB ，所以90AFB，因为| |AOAF，所以| 2|ABAF，故 第 11 页（共 20 页） 30ABF，设椭圆的左焦点为 1 F， 由椭圆的性质可得， 四边形 1 AFBF为矩形， 且 1 30AFFABF ， 1 |3AFc，|AFc， 由题意的定义 12 | 2AFAFa，即32cca， 所以离心率 2 31 31 c e a ， 故选：A 12 （5 分）若函数( ) x f xalnxe有极值点，则实数a的取值范围是( ) A(,)e B(1, ) e C(1,) D(0,) 【解答】解：函数( ) x f xalnxe，(0,)x，
20、( ) x a fxe x ， 当0a时，( )0fx，函数( )f x在(0,)上单调递减，无极值点， 当0a 时，根据 a y x 与 x ye的图象，如图所示： ， 设两个函数在第一象限的交点的横坐标为 0 x， 当 0 (0,)xx时， x a e x ，( )0fx， 函数( )f x在区间 0 (0,)x上单调递增； 当 0 (xx，)时， 第 12 页（共 20 页） x a e x ，( )0fx，函数( )f x在 0 (x，)上单调递减， 所以当0a 时，函数( )f x有一个极大值点， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
21、分分. 13 （5 分）在 26 1 ()x x 的展开式中，含 3 x项的系数为 20 （用数字填写答案） 【解答】解：由于 26 1 ()x x 的展开式的通项公式为 12 3 16 rr r TCx ， 令1233r，解得3r ，故展开式中 3 x的系数是 3 6 20C ， 故答案为：20 14 （5 分）甲、乙，丙、丁 4 人站在一栋房子前 甲说： “我没进过房子“：乙说： “丙进去 过“：丙说： “丁进去过“：丁说： “我没进过房子“这四人中只有一人进过房子，且只有 一人说了真话则进过这栋房子的人是 甲 【解答】解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必
22、是 假话，矛盾； 若丁说了真话，则甲说的假话，故甲是进过房子的那个人 故答案为：甲 15 （5 分）在ABC中，60A，3AB ， 24 , 33 BDBC AD BC ，则AC 2 【解答】解：因为 2212 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC； BCACAB； 22121124 () () 333333 AD BCABACACABABAB ACAC ； 设ACx； 则 2 124 32 233 xxx （负值舍） ； 即AC长为 2； 故答案为：2 第 13 页（共 20 页） 16 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(coscos )b ca
23、BC 若 ABC的周长的最大值为44 2，则a 4 【解答】解：因为(coscos)bcaBC， 由正弦定理可得，sinsinsincossincosBCABAC， 所以sincossincossincossincossincossincosACCAABBAABAC， 即cos (sinsin)0ABC， 所以cos0A ，即 2 A ， 故cossin12sin() 4 abcaaBaBaB ， 当 4 B 时，abc取得最大值(12)4(12)a， 所以4a 故答案为：4 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为
24、 n S， 1 1a ， * 2 1 1 ,21( 3 n n n a aanN a 且2)n （）证明： 1 n a 为等差数列： （）求数列 3 n n a 的前n项和 n T 【解答】 （）证明：依题意，由 1 21 n n n a a a ，可得 11 2 nnnn aa aa ， 即 11 2 nnnn aaa a 两边同时除以 1nn a a ，可得 1 11 2(2) nn n aa 21 11 3 12 aa ，也满足上式 数列 1 n a 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 （）解：由（）得， 1 12(1)21 n nn a ， 则 3 (21) 3 n n n n a
25、 第 14 页（共 20 页） 2 1 33 3(21) 3n n Tn ， 231 31 33 3(23) 3(21) 3 nn n Tnn ， 两式相减，可得 231 232 32 32 3(21) 3 nn n Tn ， 221 3 18 (1333)(21) 3 nn n 1 1 13 318(21) 3 13 n n n 1 2(1) 36 n n 1 (1) 33 n n Tn 18 （12 分） 如图， 四棱锥ABCDE中， 底面BCDE为直角梯形，/ /EDBC，90EDC， 2 2EBEC，2ABAEED，F为AB的中点 （）证明：/ /EF平面ACD； （）若2 3AC ，
26、求直线BC与平面ACD所成角的正弦值 【解答】 （）证明：取BC的中点G，连接FG，EG，则EDGC， 又/ /EDGC，四边形EGCD为平行四边形， 故/ /EGCD，则/ /EG平面ACD 又F为AB的中点，/ /FGAC，则/ /FG平面ACD 又FGEGG，平面/ /EFG平面ACD， EF 平面EFG，/ /EF平面ACD； （）解：/ /EDBC，90EDC，2 2EBEC，2ED ， 224BCEDDC，可得BEEC 又2ABAE， 222 BEABAE，得BAAE 第 15 页（共 20 页） 取BE的中点H，连接AH，HC，可得2AH ，10HC ， 又2 3AC ， 222
27、 ACAHHC，即AHHC， 又AHBE，AH平面BCDE 以H为坐标原点，以过点H且平行于CD的直线为x轴，以过点H且平行于BC的直线为y 轴， HA所在直线为z轴建立空间直角坐标系 可得(1C，3，0)，( 1D ，3，0)，(0A，0，2)，(1B，1，0)， ( 2,0,0)CD ，( 1, 3,2)CA 设( , , )nx y z为平面ACD的一个法向量， 则 20 320 n CDx n CAxyz ，取2z ，得 2 (0, 2) 3 n 直线BC的方向向量(0m ，1，0)， 设BC与平面ACD所成角为，则 2 22 3 sin|cos,| 114 21 9 n m 直线BC
28、与平面ACD所成角的正弦值为 22 11 19 （12 分）近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等 级标准，统一使用综合指标值FL进行衡量如表所示，某花卉生产基地准备购进一套新型 的生产线现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取 30 个样品进行等级 评定，整理成如图所示的茎叶图 第 16 页（共 20 页） 综合指标FL 10，19 20，39 40，59 质量等级 三级 二级 一级 ( ) I根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结 论即可） ； ()II若从等级为三级的样品中随机选取 3 个进行生产流程调查，
29、其中来自新型生产线的样品 个数为X，求X的分布列； （）根据该花卉生产基地的生产记录原有生产线加T的产品的单件平均利润为 4 元产 品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如表： 三级花 二级花 一级花 销售率 2 5 2 3 8 9 单件销售 12 元 16 元 20 元 预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为 10 元 日产量 3000 件 因为鲜切花产品 的保鲜特点未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完如果仅从单件产品利润的角 度考虑该生产基地是否需要引进该新型生产线？ 【解答】解： （）由茎叶图得新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值， 旧生产线的综合指
30、标值相对来说更为集中 （）由题意得等级为三级的样品共有 8 个，其中来自旧生产线的 5 个，新生产线的 3 个， 随机变量X的取值为 0，1，2，3， 3 5 3 8 5 (0) 28 C P X C ， 12 35 3 8 15 (1) 28 C C P X C ， 21 35 3 8 15 (2) 56 C C P X C ， 第 17 页（共 20 页） 3 3 3 8 1 (3) 56 C P X C ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 （）由茎叶图知该新型生产线加工的产品为三等品的概率为 1 31 3010 P ， 二等品的概率为
31、 2 16 30 P ，一等品的概率 3 11 30 P ， 30000件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为 300 件，1600 件，1100 件， 三等品日销售总利润为 23 30023004480 55 （元)， 二等品日销售总利润为 2116000 1600616002 333 元， 一等品日销售量总利润为 888000 110010 99 （元)， 1600088000 ( 480)30004.88 39 （元)， 产品的单件平均利润的估计值为 4.88 元，高于 4 元， 综上，该生产基地需要引进新型生产线 20 （12 分）已知抛物线 2 :4C xy，直线:1l
32、 ykx与抛物线交于A、B两点 （）若 1 2 k ，求以AB为直径的圆被x轴所截得的弦长； （）分别过点A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点E，求EAB面积的最小值 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立直线1ykx和抛物线的方程 2 4xy，可得 2 440xkx， 12 4xxk， 12 4x x ， （）若 1 2 k ， 12 2xx，可得 12 123yy ， 222 1212 1 |1()4124( 4)5 4 ABkxxx x ， 设AB的 中 点 为M， 3 (1, ) 2 M， 所 以 以AB为 直 径 的 圆 被x轴 所 截 得 的
33、弦 长 为 22 53 2 ( )( )4 22 m ； 第 18 页（共 20 页） （）对 2 4 x y 求导，可得 2 x y ，可得 1 2 AE x k，直线AE的方程为 1 1 (1) 2 x yyx，即 2 11 24 xx yx， 同理可得直线BE的方程为 2 22 24 xx yx，设 0 (E x， 0) y，联立直线AE，BE的方程，可得 12 0 2 2 xx xk ， 12 0 1 2 x x y ，即(2 , 1)Ek ， E到直线AB的距离 2 2 2 |22| 2 1 1 k dk k ， 22222 1212 |1()4116164(1)ABkxxx xkk
34、k， 所以 3 222 2 11 |4(1)2 14(1)4 22 ABE SAB dkkk ，当且仅当0k 时取得等号， 综上可得，ABE的面积的最小值为 4 21 （12 分）已知函数( ) x f xeax （）若 1 2 a ，讨论函数( )f x的单调性； （）若方程( )0f xx没有实数解，求实数a的取值范围 【解答】解：( ) I当 1 2 a 时， 1 ( ) 2 x f xex ， 12 ( ) 22 x x x e fxe e ， 当(,2)xln 时，( )0fx， 函数单调递减， 当( 2,)xln时，( )0fx， 函数单调递增， ()II方程( )0f xx没有实
35、数解，即(1)0 x ea x 没有实数解， 令( )(1) x g xea x ，则 (1)1 ( )1 x x x a e g xea e 当1a 时，( )0 x g xe，( )g x没有零点； 当1a 时，( )g x单调递减， 1 1 1 ()10 1 a ge a 且(0)10g ，( )g x有零点； 当1a 时，令 (1)1 ( )0 x x a e g x e 可得(1)xlna ， 当(x ，(1)lna时，( )0g x， 函数单调递减， 当(1)xlna ，)时，( )0g x， 函数单调递增， 故当(1)xlna 时，函数取得最小值(1)(1)1(1)0glnaal
36、na， 解可得，11ea，即函数没有零点， 综上，若( )g x没有零点，即方程(1)0 x ea x 没有实数解， 第 19 页（共 20 页） 故a的范围(1e，1 请考生从第请考生从第 22，23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧目对应的题号右侧 方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选 考题的首题进行评分考题的首题进行评分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在
37、平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 2cos ( sin xt t yt 为参数） ，以 坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1: 2C与x轴的正、负半轴分别交 于A，B两点 （）P为 1 C上的动点求线段AP中点的轨迹 2 C的直角坐标方程： （）直线l与 2 C分别交于点M，N，且M在N的左侧，BMO的面积是NMO面积的 2 倍求tan的值 【解答】解： （）设AP的中点为C，OA的中点的坐标为D， 所以 1 | 1 2 DCOP， 所以点C的轨迹为以(1,0)D为圆心，1 为半径的圆 所以轨迹方程为 22 20xyx （）把直线l的参数方程是 2cos ( sin
38、xt t yt 为参数） ，代入 22 20xyx， 得到 2 6cos80tt，其中( 2,0)B ， 所以 12 6costt， 1 2 8t t ， 由于2 BMOMNO SS ，所以2BMMN， 21 3 2 tt， 所以 12 1 2 21 6cos 8 3 2 tt t t tt ，解得 2 25 cos 27 ， 2 2 sin 27 ， 所以 2 2 tan 25 ，解得 2 tan 5 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 20 页（共 20 页） 23已知函数 2 ( ) |f xxax （）若1a 求不等式( ) 1f x 的解集； （）若不等式 2 ( )2(1
39、)f xx至少有一个负数解，求实数a的取值范围 【解答】解： （）当1a 时， 2 ( ) |1|f xxx ( ) 1f x ， 2 1 11 x xx 或 2 1 11 x xx ， 10x 剟， 不等式的解集为 | 10xx 剟 （） 2 ( )2(1)f xx，即 22 |2(1)xaxx， 2 | 2xax 设( ) |g xxa， 2 ( )2h xx， 当0a 时，( )g x的图象如折线所示， 由 2 2 yxa yx ，得 2 20xxa， 若yxa与 2 2yx相切，则14(2)0a ， 9 4 a ， 当 9 4 a时，不等式无负数解， 9 0 4 a； 当0a 时，显然满足不等式 2 ( )2(1)f xx至少有一个负数解； 当0a 时，( )g x的图象如折线所示，当2a 时，恰好无负数解， 当2a时，不等式无负数解，02a， 综上，实数a的取值范围为 9 (,2) 4
