2020年湖南省a佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷(理科)(3月份).docx

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1、 第 1 页(共 20 页) 2020 年湖南省年湖南省 A 佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷(理科) (佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷(理科) (3 月份)月份) 一、选择题:共一、选择题:共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)若集合 |1Ax x,则满足ABA的集合B可以是( ) A |0x x B |2x x C |0x x D |2x x 2 (5 分)若(4)() 0mi mi ,其中i为虚数单位,则实数m的值为( ) A2 B4 C4

2、D2 3 (5 分)已知向量(2,2)AB ,(1, )ACa,若| 1BC ,则(AB AC ) A2 B4 C6 D8 4 (5 分)已知函数( )2sin(1)f xx,若对于任意的xR,都有 12 ()( )()f xf xf x剟成立, 则 12 |xx的最小值为( ) A2 B1 C4 D 1 2 5(5 分) 在圆 22 :4410M xyxy 中, 过点(0,1)E的最长弦和最短弦分别为AC和BD, 则四边形ABCD的面积为( ) A6 B12 C24 D36 6 (5 分) “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理” 三国时期,吴国的数学家赵爽创 制了一幅“勾股圆方图” ,用

3、数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾 股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若直角三角形 中较小的锐角 12 ,现在向该正方形区域内随机地投掷 100 枚飞镖,则估计飞镖落在区 域 1 的枚数最有可能是( ) A30 B40 C50 D60 7 (5 分)已知抛物线 2 4xy 的准线与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线围成一 第 2 页(共 20 页) 个等腰直角三角形,则该双曲线的离心率是( ) A5 B5 C2 D2 8 (5 分) 已知二进制数 (2) 1010化为十进制数为n, 若()nxa的展开式中, 7

4、x的系数为 15, 则实数a的值为( ) A 1 2 B 1 5 C1 D2 9 (5 分)若两个等差数列 n a, n b的前n项和分别为 n A、 n B,且满足 21 31 n n An Bn ,则 3711 59 aaa bb 的值为( ) A 39 44 B 5 8 C 15 16 D 13 22 10 (5 分) 已知倾斜角为的直线过定点(0, 2), 且与圆 22 (1)1xy相切, 则 1cos2 cos() 2 的值为( ) A 4 2 3 B 4 2 3 C 2 3 D 4 24 2 33 或 11 (5 分)已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD是正方

5、形且和球 心O在同一平面内,当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于22 3,则球O的体积 等于( ) A 4 3 B 8 3 C16 3 D 22 3 12 (5 分) 已知函数( )f xaxlnx,1x, e的最小值为 3, 若存在 1 x, 2 1 n xx, e, 使得 121 ()()()() nn f xf xf xf x ,则正整数n的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每题小题,每题 5 分,满分分,满分 20 分分. 13(5 分) 已知实数x,y满足不等式组 1 0 24 0 0 xy xy y , 则 2 l o g(

6、1 )zx y 的最大值为 14 (5 分)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积” , 设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公 式为 222 222 1 () 42 acb Sa c ,若 2 sin5sinaCA, 22 ()16acb则用“三斜求积” 第 3 页(共 20 页) 公式求得ABC的面积为 15 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,且图中的三个三角形均为直角三角形,则xy的 最大值为 16 (5 分)已知曲线 1: ( )2 x Cf xex ,曲线 2: ( ) cosCg xaxx, (1)若曲线 1

7、C在0x 处的切线与 2 C在 2 x 处的切线平行,则实数a (2) 若曲线 1 C上任意一点处的切线为 1 l, 总存在 2 C上一点处的切线 2 l, 使得 12 ll则实数a 的取值范围为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:60 分分 17 (12 分)设数列 n a满足: 1 1a ,且 11 2(2) nnn

8、aaan , 34 12aa (1)求 n a的通项公式; (2)求数列 2 1 nn a a 的前n项和 18 (12 分) 如图, 在四棱锥PABCD中, 底面ABCD为直角梯形,/ /ABCD,ABAD, PA 平面ABCD,E是棱PC上的一点 (1)证明:平面ADE 平面PAB; (2) 若P EE C,F是PB的中点,3AD ,22ABAPCD, 且二面角FADE 的正弦值为 10 10 ,求的值 第 4 页(共 20 页) 19 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,直线:20l xy与以原 点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相

9、切 (1)求椭圆C的方程; ( 2 ) 是 否 存 在 直 线 与 椭 圆C交 于A,B两 点 , 交y轴 于 点(0,)Mm, 使 |2|2|O AO BO AO B成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由 20 (12 分)甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目,答题分两轮,第一轮为“选题答 题环节” ,第二轮为“轮流坐庄答题环节” 首先进行第一轮“选题答题环节” ,答题规则 是:每位同学各自从备选的 5 道不同题中随机抽出 3 道题进行答题,答对一题加 10 分,答 错一题(不答视为答错)减 5 分,已知甲能答对备选 5 道题中的每道题的概率都是 2 3 ,乙 恰能答对备

10、选 5 道题中的其中 3 道题: 第一轮答题完毕后进行第二轮 “轮流坐庄答题环节” , 答题规则是:先确定一人坐庄答题,若答对,继续答下一题,直到答错,则换人(换庄) 答下一题以此类推例如若甲首先坐庄,则他答第 1 题,若答对继续答第 2 题,如果第 2 题也答对,继续答第 3 题,直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题,直到乙答错再换成 甲坐庄答题,依此类推当两人共计答完 20 道题游戏结束,假设由第一轮答题得分期 望高的同学在第二轮环节中最先开始作答,且记第n道题也由该同学(最先答题的同学)作 答的概率为(120) n Pn剟,其中 1 1P ,已知供甲乙回答的 20 道题中,甲,乙两人答对其

11、中 每道题的概率都是 1 3 ,如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加 10 分,答错 (不答视为答错)则减 5 分,甲乙答题相互独立:两轮答题完毕总得分高者胜出回答下列 问题 (1)请预测第二轮最先开始作答的是谁?并说明理由 (2)求第二轮答题中 2 P, 3 P; 求证 1 2 n P 为等比数列,并求(120) n Pn剟的表达式 第 5 页(共 20 页) 21 ( 12分 ) 已 知 对 数 函 数( )f x过 定 点 1 (, ) 2 Pe( 其 中2.71828)e 函 数 ()()()g xnm fxfx(其中( )fx为( )f x的导函数,n,m为常数) (1)

12、讨论( )g x的单调性 (2)若对(0,)x 有( )g xnm恒成立,且( )( )2h xg xxn在 1 xx, 212 ()x xx处 的导数相等,求证: 12 ( )()72 2h xh xln (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(10 分)分) 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线 12cos :( 2sin x C y 为参数) ,以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立

13、极坐标系,直线l的极坐标方程为sin()2 4 (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)已知点( 2,0)P ,直线 1 交曲线C于A,B两点,求 11 |PAPB 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知函数( ) |4|1|f xxx,xR (1)解不等式:( ) 5f x ; (2)记( )f x的最小值为M,若实数ab满足 22 abM,试证明: 22 112 213ab 第 6 页(共 20 页) 2020 年湖南省年湖南省 A 佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷(理科) (佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷(理科) (3 月份)月份) 参考答

14、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:共一、选择题:共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)若集合 |1Ax x,则满足ABA的集合B可以是( ) A |0x x B |2x x C |0x x D |2x x 【解答】解:满足ABA,AB, 根据选项,B成立, 故选:B 2 (5 分)若(4)() 0mi mi ,其中i为虚数单位,则实数m的值为( ) A2 B4 C4 D2 【解答】解: 2 (4)()5(4)0mi mimm i, 2

15、0 40 m m ,即2m 故选:D 3 (5 分)已知向量(2,2)AB ,(1, )ACa,若| 1BC ,则(AB AC ) A2 B4 C6 D8 【解答】解:( 1,2)BCACABa , 由| 1BC ,可得 22 ( 1)(2)1a,可得2a 则2 1226AB AC 故选:C 4 (5 分)已知函数( )2sin(1)f xx,若对于任意的xR,都有 12 ()( )()f xf xf x剟成立, 则 12 |xx的最小值为( ) A2 B1 C4 D 1 2 【解答】解:由于函数( )2sin(1)f xx的周期为 2 2 , 第 7 页(共 20 页) 对于任意xR,都有

16、12 ()( )()f xf xf x剟成立, 可知 1 ()f x是函数的最小值, 2 ()f x是函数的最大值, 12 |xx的最小值就是函数的半周期 2 1 2 , 故选:B 5(5 分) 在圆 22 :4410M xyxy 中, 过点(0,1)E的最长弦和最短弦分别为AC和BD, 则四边形ABCD的面积为( ) A6 B12 C24 D36 【解答】 解: 根据题意, 圆 22 :4410M xyxy 即 22 (2)(2)9xy, 其圆心为(2,2), 半径3r , 过点(0,1)E的最长弦AC为圆M的直径,则| 6AC , 最短的弦为过E与直径AC垂直的弦,且 22 |(20)(2

17、 1)5ME 则有 22 | 2|4BDrME, 又由ACBD, 则四边形ABCD的面积 1 22()12 2 ABC SSACBE ; 故选:B 6 (5 分) “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理” 三国时期,吴国的数学家赵爽创 制了一幅“勾股圆方图” ,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾 股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若直角三角形 中较小的锐角 12 ,现在向该正方形区域内随机地投掷 100 枚飞镖,则估计飞镖落在区 域 1 的枚数最有可能是( ) A30 B40 C50 D60 【解答】解:观察这个图可知: 设大正方形的边长

18、为 1, 总面积为 1, 区域 2 的直角三角形的边长分别为a,b,c;()abc 第 8 页(共 20 页) 则1 sin 12 a ,1 cos12b ; 中间小正方形的边长为cossin 1212 ba ; 中间小正方形的面积为: 2 (cossin)12sincos1sin0.5 121212126 ; 小正方形的面积与大正方形的面积之比为: 0.51 12 ; 现在向该正方形区域内随机地投掷 100 枚飞镖,则估计飞镖落在区域 1 的枚数最有可能是 1 10050 2 ; 故选:C 7 (5 分)已知抛物线 2 4xy 的准线与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两

19、条渐近线围成一 个等腰直角三角形,则该双曲线的离心率是( ) A5 B5 C2 D2 【解答】 解: 因为抛物线 2 4xy 的准线与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线围成 一个等腰直角三角形, 所以双曲线的两条渐近线互相垂直, 双曲线的渐近线为 b yx a ()1 bb aa 即 22 ab, 22 2caba 2 c e a 故选:C 8 (5 分) 已知二进制数 (2) 1010化为十进制数为n, 若()nxa的展开式中, 7 x的系数为 15, 则实数a的值为( ) A 1 2 B 1 5 C1 D2 【解答】解:根据二进制的数转化为十进制的方法可得:

20、31 (2) 10101 21 210 , 10 ()xa的展开式的通项公式为 10 110 rrr r TCxa , 第 9 页(共 20 页) 令107r,求得3r ,可得 7 x的系数为 333 10 12015a Ca, 可得: 1 2 a 故选:A 9 (5 分)若两个等差数列 n a, n b的前n项和分别为 n A、 n B,且满足 21 31 n n An Bn ,则 3711 59 aaa bb 的值为( ) A 39 44 B 5 8 C 15 16 D 13 22 【解答】解: 113 3711713 113 59713 13() 33332 13 115 2 13()

21、22223 13 116 2 aa aaaaA bb bbbB 故选:C 10 (5 分) 已知倾斜角为的直线过定点(0, 2), 且与圆 22 (1)1xy相切, 则 1cos2 cos() 2 的值为( ) A 4 2 3 B 4 2 3 C 2 3 D 4 24 2 33 或 【解答】解:由题意知90,则直线斜率tank, 直线方程为2ykx,即20kxy, 圆心坐标(0,1),圆心到直线的距离 22 | 12|3 1 11 d kk , 即 2 91k ,得 2 8k ,即 2 tan8,则 22 2 222 88 sin 1189 sintan sincostan , 则 82 2

22、sin 93 , 22 1cos21(12)24 2 2sin sinsin3 cos() 2 sinsin , 故选:D 11 (5 分)已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD是正方形且和球 心O在同一平面内,当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于22 3,则球O的体积 等于( ) A 4 3 B 8 3 C16 3 D 22 3 第 10 页(共 20 页) 【解答】解:由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥, 该四棱锥的表面积等于22 3, 设球O的半径为R,则2ACR,SOR,如图, 该四棱锥的底面边长为2ABR, 则有 222 12 ( 2 )42

23、()22 3 22 R RRR, 1R,得球O的体积是 3 44 1 33 故选:A 12 (5 分) 已知函数( )f xaxlnx,1x, e的最小值为 3, 若存在 1 x, 2 1 n xx, e, 使得 121 ()()()() nn f xf xf xf x ,则正整数n的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解:求导, 11 ( ) ax fxa xx , 当0a或 1 0a e 时,( )0fx在1x, e恒成立, 从而( )f x在1, e单调递减,( )minf xf(e)13ae , 解得 41 (, a ee ,不合题意, 当 1 1a e 时,易得( )f

24、x在 1 (1,) a 单调递减,在 1 ( , ) e a 单调递增, 11 ( )( )13 min f xfln aa ,解得 2 1 ( ,1)ae e 不合题意, 当1a 时,( )f x在1, e单调递增,所以( )minf xf(1)31a,满足题意, 所以3a , 所以( )3f xxlnx,1x, e,所以( )minf xf(1)3,( )maxf xf(e)31e, 第 11 页(共 20 页) 依题意有(1) ( )( ) minmax nf xf x,即(1)3 31ne,得 2 3 n e,又因为*nN, 所以3n,所以n的最大值为 3, 故选:B 二、填空题:本题

25、共二、填空题:本题共 4 小题,每题小题,每题 5 分,满分分,满分 20 分分. 13(5 分) 已知实数x,y满足不等式组 1 0 24 0 0 xy xy y , 则 2 l o g(1 )zx y 的最大值为 2 【解答】解:作出 1 0 24 0 0 xy xy y 所对应的可行域(如图阴影) , 令1txy可得1yxt ,作出直线yx , 经平移直线知,当直线过点C时,1txy取最大值, 由 10 240 xy xy 1 2 x y ; (1,2)C 故1txy的最大值为:4; 2 log (1)zxy 的最大值为: 2 log 42 故答案为:2 14 (5 分)我国南宋著名数学

26、家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积” , 设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公 式为 222 222 1 () 42 acb Sa c ,若 2 sin5sinaCA, 22 ()16acb则用“三斜求积” 公式求得ABC的面积为 2 第 12 页(共 20 页) 【解答】解: 2 sin5sinaCA, 2 5a ca,即5ac 又 22 ()16acb, 222 6acb 用“三斜求积”公式求得ABC的面积 22 16 5( ) 2 42 S 故答案为:2 15 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,且图中的三个三角形均为直角三角形

27、,则xy的 最大值为 16 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为: 如图所示: 所以: 22 28100xy,整理得 22 128xy, 故 222 ()2()256xyxy, 解得16xy ,当且仅当8xy时等号成立 故答案为:16 16 (5 分)已知曲线 1: ( )2 x Cf xex ,曲线 2: ( ) cosCg xaxx, (1)若曲线 1 C在0x 处的切线与 2 C在 2 x 处的切线平行,则实数a 2 (2) 若曲线 1 C上任意一点处的切线为 1 l, 总存在 2 C上一点处的切线 2 l, 使得 12 ll则实数a 的取值范围为 【解答】解: (1)( )2

28、x fxe ,曲线 1 C在0x 处的切线的斜率 1 (0)3kf , 第 13 页(共 20 页) ( )sing xax,曲线 2 C在 2 x 处的切线的斜率 2 ()1 2 kga , 由题意,2a ; (2)曲线 1 C上任意一点处的切线的斜率 1 ( )2 x kfxe , 则与 1 l垂直的直线的斜率为 11 (0, ) 22 x e , 而过曲线 2 C上任意一点处的切线的斜率 2 ( )sin1kg xaxa,1a , 由题意, 1 0 1 1 2 a a ,解得 1 1 2 a剟 故答案为: (1)2; (2) 1 1 2 a剟 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应

29、写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:60 分分 17 (12 分)设数列 n a满足: 1 1a ,且 11 2(2) nnn aaan , 34 12aa (1)求 n a的通项公式; (2)求数列 2 1 nn a a 的前n项和 【解答】解: (1)依题意,由 11 2(2) nnn aaan 可知数列 n a是等差数列 设等差数列 n a的公差为d,则 341

30、1 (2 )(3 )2512aaadadd, 解得2d 12(1)21 n ann ,*nN (2)由(1)知, 2 11111 () (21)(23)4 2123 nn a annnn , 设数列 2 1 nn a a 的前n项和为 n T,则 1324352112 111111 n nnnnnn T a aa aa aaaaaa a 111 111 11111111111 (1)()()()()() 454 374 594 25214 23214 2123nnnnnn 111111111111 (1) 453759252123212123nnnnnn 1111 (1) 432123nn 第

31、 14 页(共 20 页) 11 3(21)(23) n nn 18 (12 分) 如图, 在四棱锥PABCD中, 底面ABCD为直角梯形,/ /ABCD,ABAD, PA 平面ABCD,E是棱PC上的一点 (1)证明:平面ADE 平面PAB; (2) 若P EE C,F是PB的中点,3AD ,22ABAPCD, 且二面角FADE 的正弦值为 10 10 ,求的值 【解答】解: (1)证明:由PA 平面ABCD,AD 平面ABCD, 所以PAAD,又ABAD,PAABA,所以AD 平面PAB, 又AD 平面ADE,所以平面ADE 平面PAB; (2)以A为原点,AD,AB,AP分别为x,y,z

32、轴建立空间直角坐标系, 则(0A,0,0),(0B,2,0),(0P,0,2),( 3C,1,0),( 3D,0,0),(0F,1, 1), 由(1)知,ADPB,又PBAF, 故PB 平面ADF,(0PB ,2,2), PEEC,所以 32 (,) 1111 PEPC , 所以 32 (,) 111 AEAPPE , 设平面ADE的法向量为( , , )mx y z, 由 30 32 0 111 m ADx xyz m AE ,得(0,1,) 2 m , 二面角FADE的正弦值为 10 10 , 第 15 页(共 20 页) 所以 3 10 |cos,| 10 PB n,即 2 23 10

33、2 21 4 , 得1或 4 19 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,直线:20l xy与以原 点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切 (1)求椭圆C的方程; ( 2 ) 是 否 存 在 直 线 与 椭 圆C交 于A,B两 点 , 交y轴 于 点(0,)Mm, 使 |2|2|O AO BO AO B成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由 【解答】解: (1)由已知得 222 2 3 2 b c a abc ,解得2 2a ,2b ,6c , 椭圆C的方程为 22 1 82 xy ; (2)假设存在这样的直线,由已知可知

34、直线的斜率存在,设直线方程为ykxm, 联立 22 1 82 ykxm xy ,得 222 (41)8480kxkmxm 22 16(82)0km, 设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y,则 12 2 8 41 km xx k , 2 12 2 48 41 m x x k , 第 16 页(共 20 页) 22 22 12121212 2 8 ()()() 41 mk y ykxm kxmk x xkm xxm k , 由|2| |2|OAOBOAOB,得OAOB,即0OA OB ,即 1212 0x xy y, 故 22 858 0km ,代入式解得 2 10 5 m 或

35、 2 10 5 m 20 (12 分)甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目,答题分两轮,第一轮为“选题答 题环节” ,第二轮为“轮流坐庄答题环节” 首先进行第一轮“选题答题环节” ,答题规则 是:每位同学各自从备选的 5 道不同题中随机抽出 3 道题进行答题,答对一题加 10 分,答 错一题(不答视为答错)减 5 分,已知甲能答对备选 5 道题中的每道题的概率都是 2 3 ,乙 恰能答对备选 5 道题中的其中 3 道题: 第一轮答题完毕后进行第二轮 “轮流坐庄答题环节” , 答题规则是:先确定一人坐庄答题,若答对,继续答下一题,直到答错,则换人(换庄) 答下一题以此类推例如若甲首先坐庄,则他

36、答第 1 题,若答对继续答第 2 题,如果第 2 题也答对,继续答第 3 题,直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题,直到乙答错再换成 甲坐庄答题,依此类推当两人共计答完 20 道题游戏结束,假设由第一轮答题得分期 望高的同学在第二轮环节中最先开始作答,且记第n道题也由该同学(最先答题的同学)作 答的概率为(120) n Pn剟,其中 1 1P ,已知供甲乙回答的 20 道题中,甲,乙两人答对其中 每道题的概率都是 1 3 ,如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加 10 分,答错 (不答视为答错)则减 5 分,甲乙答题相互独立:两轮答题完毕总得分高者胜出回答下列 问题 (1)请预测第二轮

37、最先开始作答的是谁?并说明理由 (2)求第二轮答题中 2 P, 3 P; 求证 1 2 n P 为等比数列,并求(120) n Pn剟的表达式 【解答】解: (1)设甲选出的 3 道题答对的道数为,则 2 (3, ) 3 , 设甲第一轮答题的总得分为x,则105(3)1515x, 2 151515 31515 3 ExE , 设乙第一轮得分为y,则y的所有可能取值为 30,15,0, 则 3 3 3 5 1 (30) 10 C P y C , 第 17 页(共 20 页) 21 32 3 5 6 (15) 10 C C P y C , 12 32 3 5 3 (0) 10 C C P y C

38、, y的分布列为: y 30 15 0 P 1 10 6 10 3 10 163 3015012 101010 Ey , ExEy,第二轮最先开始答题的是甲 (2)依题意得 1 1P , 2 1 3 P , 3 11225 33339 P 证明:依题意有 111 1212 (1)(2) 3333 nnnn PPPPn , 1 111 () 232 nn PP ,2n, 1 11 22 P , 1 2 n P是以 1 2 为首项,以 1 3 为公比的等比数列, 1 111 () 223 n n P , 1 111 () 223 n n P (120)n剟 21 ( 12分 ) 已 知 对 数 函

39、 数( )f x过 定 点 1 (, ) 2 Pe( 其 中2.71828)e 函 数 ()()()g xnm fxfx(其中( )fx为( )f x的导函数,n,m为常数) (1)讨论( )g x的单调性 (2)若对(0,)x 有( )g xnm恒成立,且( )( )2h xg xxn在 1 xx, 212 ()x xx处 的导数相等,求证: 12 ( )()72 2h xh xln 【解答】解: (1)令( )log(1 a f xx a且1)a ,将 1 (, ) 2 Pe代入得ae, 所以( )f xlnx, 得( ) m g xnlnx x ,求导, 22 1 ( )(0) mmx

40、g xx xxx , 当0m时,( )0g x在0x 时恒成立,即( )g x在(0,)单调递减; 第 18 页(共 20 页) 当0m 时,( )0g x,则0xm,( )0g x,则xm, 即( )g x在(0,)m单调递增,在( ,)m 单调递减; 综上,当0m时,( )g x在(0,)单调递减; 当0m 时,( )g x在(0,)m单调递增,在( ,)m 单调递减; (2)证明:因为g(1)nm,而(0,)x ,有( )g xnmg(1)恒成立知( )g x当 1x 时有最大值g(1) ,由(1)知必有1m , 所以 1 ( )g xnlnx x ,所以 1 ( )( )22h xg

41、xxnxlnx x , 依题意,设 12 ()()h xh xk ,即 2 11 2 22 11 20 11 20 k xx k xx ,所以 12 11 1 xx , 所以 121212 2xxx xx x,所以 12 4x x , 所以 1212121212 12 11 ( )()2()()()21h xh xxxlnxlnxx xlnx x xx , 令 12 4tx x,( )21ttlnt , 所以 1 ( )20(4)tt t ,所以( ) t在4t 单调递增, 所以( ) t(4)722ln 所以 12 ( )()72 2h xh xln (二)选考题:共(二)选考题:共 10

42、分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(10 分)分) 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线 12cos :( 2sin x C y 为参数) ,以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin()2 4 (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)已知点( 2,0)P ,直线 1 交曲线C于A,B两点,求 11 |PAPB 的值 【解答】解: (1)已知曲线 12cos :( 2sin x

43、 C y 为参数) ,转换为直角坐标方程为 22 (1)4xy 第 19 页(共 20 页) 直线l的极坐标方程为sin()2 4 转换为直角坐标方程为 22 2 22 yx,整理得 20xy (2)由于点( 2,0)P 在直线 1 上,所以转换为参数方程为 2 2 2 ( 2 2 xt t yt 为参数) ,代入 22 (1)4xy, 得到: 2 230tt, 所以: 12 2tt, 1 2 3t t , 所以 12 1 2 |1121214 |33 tt PAPBt t 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知函数( ) |4|1|f xxx,xR (1)解不等式:( ) 5f x ; (2)记( )f x的最小值为M,若实数ab满足 22 abM,试证明: 22 112 213ab 【解答】解: (1) 25,4 ( ) |

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