1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年山西省长治市高考数学一模试卷（理科）年山西省长治市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项正确一个选项正确 1 （5 分）i为虚数单位，复数 1 i z i 的共轭复数z在复平面内对应的点到点 1 ( 2 ， 1) 2 的 距离为( ) A 1 2 B1 C 2 2 D2 2 （5 分）已知函数 2 2 ( )log (2 )f xxx的定义域为A， | 22)Bxx ，则(AB ) AR B |2x
2、 x C |2x x D | 22xx 剟 3 （5 分）已知角的终边经过点( 4,3)，则cos(2)( ) A 7 25 B 7 25 C 3 5 D 4 5 4 （5 分）随着经济的发展，城市空气质量也越来越引起了人民的关注，如图是我国某大城 市 2018 年 1 月至 8 月份的空气质量检测结果，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一 级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面说法错误的是( ) A6 月的空气质量最差 B8 月是空气质量最好的一个月 C第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了 D1 月至 8 月空气质量合格天数超过 20 天的月份有 5 个 5 （5
3、 分）2022 年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人 参加 3 个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排 方案有( ) A24 B36 C48 D72 第 2 页（共 18 页） 6 （5 分）如图是某几何体的三视图，则它的表面积可能的值为( ) A1729 B172 211 C1728 D2 172 211 7 （5 分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的而这七 块板可拼成许多图形 如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一 块平行四边形组成的若向正方形内随机的抛 10000 颗小
4、米粒（大小忽略不计） ，则落在阴 影部分的小米粒大约为( ) A3750 B2500 C1875 D1250 8 （5 分）已知数列 n a满足 1 3 2 a ， 1 3 3 n n n a a a ，则 2019 (a ) A 3 2020 B 2020 3 C 2019 3 D 2021 3 9 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上，若3AB ，3AC ， 120BAC， 1 8AA ，则球O的表面积为( ) A25 B 625 3 C100 D 2500 3 10 （5 分）设F为抛物线 2 :3C xy的焦点，过F且倾斜角为60的直线交于C于A，
5、B两 点，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) A 9 4 B 3 3 4 C 9 3 8 D 63 32 11 （5 分）已知( )()(1) x f xea eax，若( ) 0()f xxR恒成立，则满足条件的a的个数有 ( ) A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线 第 3 页（共 18 页） 与E交于A，B两点(B在x轴的上方） ，且满足 11 1 7 AFFB若直线的倾斜角为120，则 双曲线的离心率为( ) A2 B 7 2 C 5 2 D 3 2 二、填空题：本题
6、共二、填空题：本题共 4 小题，毎题小题，毎题 5 分，共计分，共计 20 分请把正确答案填写在答题纸相应的位分请把正确答案填写在答题纸相应的位 置上置上 13 （5 分）已知 1 e， 2 e是相互垂直的两个单位向量，且 12 32aee， 12 bee，若 ()aba，则 14 （5 分） 5 (23 ) x x 的展开式中 2 x的系数是 （数字作答） 15 （5 分）若实数x，y满足|3|2| 1xy，则 y z x 的最小值是 16 （5 分）定义R在上的函数( )f x满足(1)(1)f xf x ，并且图象关于1x 对称；当 (0x，1时，( )93 x f x 若数列 n a满
7、足 2 (log (64)() n afnnN ；若50n时，当 12nn Saaa取的最大值时，n 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 5 小题，共计小题，共计 70 分分 17 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 点D是 边BC上 的 一 点 且 满 足sinsinBDBCDC， 22 2DCBD （1）求 AB AC 的值 （2）若2AD ，求ABC的面积 18 （12 分）一次考试共有 12 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一个是 正确的评分标准规定： “每题只选一个选项，答对得 5 分，不答或答错得零分” 某考 生已确定有 8 道题的答案是正确的，其余题中：有两道题
8、都可判断两个选项是错误的， 有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜请求出该考 生： （1）得 60 分的概率； （2）所得分数的分布列和数学期望 19 （12 分）如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为 4 2 3 （1）求半球的半径 第 4 页（共 18 页） （2）求平面SAD与平面SBC所成的二面角的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，O是坐标原点，点A，B分 别为椭圆C的左右顶点，| 4 2AB （1）求椭圆C的标准方程 （2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M
9、，N两点，/ /APOM， / /BPON，则OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由 21 （12 分）已知函数( )(1)(0)f xalnx a， 2 ( )1g xx （1）求( )f x在点(0，(0)f处的切线方程 （2）若( )( )( )h xf xg x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，求证： 1122 ( )()x f xxf x 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分解答时请写二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分解答时请写 清题号清题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数
10、方程 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线l的参数方程为 1cos ( sin xt t yt 为参数，0)， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立及坐标系，曲线 2 :sin4cosC （1）求l和C的直角坐标方程； （2）若l与C相交于A，B两点，且 16 | 3 AB ，求a的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |22|2 |f xxx的最大值m （1）求m的值 （2）若正实数a，b满足abm，求 22 11 ab ba 的最小值 第 5 页（共 18 页） 2020 年山西省长治市高考数学一模试卷（理科）年山西省长治市高考数学一模试卷（理科） 参
11、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项正确一个选项正确 1 （5 分）i为虚数单位，复数 1 i z i 的共轭复数z在复平面内对应的点到点 1 ( 2 ， 1) 2 的 距离为( ) A 1 2 B1 C 2 2 D2 【解答】解： (1)11 1(1)(1)22 iii zi iii ， 11 22 zi， z在 复 平 面 内 对 应 的 点 的 坐 标 为 1 ( 2 ， 1) 2 ， 到 点 1 ( 2 ， 1) 2 的
12、 距 离 为 22 1111 ()()2 2222 故选：D 2 （5 分）已知函数 2 2 ( )log (2 )f xxx的定义域为A， | 22)Bxx ，则(AB ) AR B |2x x C |2x x D | 22xx 剟 【解答】解： |0Ax x或者2x ， 所以ABR， 故选：A 3 （5 分）已知角的终边经过点( 4,3)，则cos(2)( ) A 7 25 B 7 25 C 3 5 D 4 5 【解答】解：角的终边经过点( 4,3)， 44 cos 5169 ， 则 2 167 cos(2)cos212cos12 2525 ， 故选：B 4 （5 分）随着经济的发展，城市
13、空气质量也越来越引起了人民的关注，如图是我国某大城 市 2018 年 1 月至 8 月份的空气质量检测结果，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一 级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面说法错误的是( ) 第 6 页（共 18 页） A6 月的空气质量最差 B8 月是空气质量最好的一个月 C第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了 D1 月至 8 月空气质量合格天数超过 20 天的月份有 5 个 【解答】解：选项A中，5 月份空气质量合格的天数只有 13 天，空气质量最差，所以错误， B选项 8 月份空气质量合格天数为 30 天，是最好的一个月，正确， C选项第一季度合格
14、天数比重为 222619 0.736 312931 ，同理第二季度比重 0.626，故正确， D选项 1 月至 8 月空气质量超过 20 天的月份为 1，2，6，7，8，故正确， 故选：A 5 （5 分）2022 年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人 参加 3 个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排 方案有( ) A24 B36 C48 D72 【解答】解：先把 4 人分成 3 组，然后把 3 组全排列有 23 43 36C A 种 故选：B 6 （5 分）如图是某几何体的三视图，则它的表面积可能的值为( ) A1729 B17
15、2 211 C1728 D2 172 211 【解答】解：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，且侧棱PA 底面ABCD， 第 7 页（共 18 页） 2 2CD ，2PA，13PD ，3PC ； 由余弦定理得 222 98132 cos 2623 2 2 PCCDPD PCD PC CD ， 所以 2 234 sin1() 66 PCD； 所以 1134 sin3 2 217 226 PCD SPC CDPCD ； 11 222 22 PAB SPA AB ； 11 233 22 PAD SPA AD ； 22 11 2212 22 PDC SPB BC ； 1 1324 2 ABCD S
16、 梯形 ； 所以该四棱锥的表面积为1723241729S 故选：A 7 （5 分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的而这七 块板可拼成许多图形 如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一 块平行四边形组成的若向正方形内随机的抛 10000 颗小米粒（大小忽略不计） ，则落在阴 影部分的小米粒大约为( ) A3750 B2500 C1875 D1250 【解答】解：设正方形的边长为 2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成， 则正方形的对角线长为2 2，则等腰直角三角形的边长为 2 22 42 ， 对应每个小等腰三角形的面积 1221 2224 S
17、 ， 则阴影部分的面积之和为 13 3 44 ，正方形的面积为 4， 第 8 页（共 18 页） 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 3 3 4 416 ， 向正方形内随机的抛 10000 颗小米粒（大小忽略不计） ，则落在阴影部分的小米粒大约为 3 100001875 16 ， 故选：C 8 （5 分）已知数列 n a满足 1 3 2 a ， 1 3 3 n n n a a a ，则 2019 (a ) A 3 2020 B 2020 3 C 2019 3 D 2021 3 【解答】解： 1 3 3 n n n a a a ， 1 3111 33 n nnn a aaa ，即
18、 1 111 3 nn aa ， 又 1 3 2 a ， 数列 1 n a 是以首项为 1 12 3a ，公差为 1 3 的等差数列， 2019 1212030 (20191) 333a ， 2019 3 2020 a 故选：A 9 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上，若3AB ，3AC ， 120BAC， 1 8AA ，则球O的表面积为( ) A25 B 625 3 C100 D 2500 3 【解答】解：ABC中，3AB ，3AC ，120BAC， ABC的外接圆的半径3r 直三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上，且 1 8AA
19、 ， 则球O的半径 22 345R 球O的表面积 2 4100R 故选：C 10 （5 分）设F为抛物线 2 :3C xy的焦点，过F且倾斜角为60的直线交于C于A，B两 点，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) 第 9 页（共 18 页） A 9 4 B 3 3 4 C 9 3 8 D 63 32 【解答】解：可得焦点 3 (0, ) 4 F， 过F且倾斜角为60的直线 3 3 4 yx 把直线方程代入 2 3xy， 可得 2 9 3 30 4 xx， 12 12 3 3 9 4 xx x x 则OAB的面积为 12 19 | | 24 SOFxx 故选：A 11 （5 分）已知( )()(
20、1) x f xea eax，若( ) 0()f xxR恒成立，则满足条件的a的个数有 ( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：( )()(1) x f xea eax，( ) 0()f xxR恒成立， ()(1) 0 x ea eax 在R上恒成立 当0a 时，0 x ea恒成立，而1 0eax 在R不成立，0a ， 当0a 时，( )0 x f xe成立； 当0a 时，由( ) 0f x 恒成立，有 0 1 0 x ea eax 或 0 1 0 x ea eax ， 由0 x ea，得xlna；由1eax ，得 1 x ea ， 设 1 ( )g alna ea ，则 2 11 1 (
21、 )g a ae a ， g（a）在 1 (0, ) e 上单调递减，在 1 ( ,) e 上单调递增， 111 ( )( )0 1 min g xgln ee e e ，方程 1 lna ea 有一个解， 即有一个a值使得( ) 0f x 恒成立， 第 10 页（共 18 页） 满足条件的a的解有 2 个 故选：B 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线 与E交于A，B两点(B在x轴的上方） ，且满足 11 1 7 AFFB若直线的倾斜角为120，则 双曲线的离心率为( ) A2 B 7 2 C 5
22、2 D 3 2 【解答】解：设 1 |AFk， 1 | 7BFk，根据双曲线定义 2 |2AFka， 2 | 72BFka， 在 12 AFF中，由余弦定理可得： 222 (2 )(2 )2 2cos60kackc k 在 12 bFF中，由余弦定理可得： 222 (7 )(7 )(2 )2 2 7 cos120kakcck， 可得 22 7 22 ace ace ，解得 3 2 e 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，毎题小题，毎题 5 分，共计分，共计 20 分请把正确答案填写在答题纸相应的位分请把正确答案填写在答题纸相应的位 置上置上 13 （5 分）已知 1 e，
23、 2 e是相互垂直的两个单位向量，且 12 32aee， 12 bee，若 ()aba，则 11 3 【解答】解： 1 e， 2 e是相互垂直的两个单位向量，且 12 32aee， 12 bee， (3,2)a ，( ,1)b，(3,1)ab， 第 11 页（共 18 页） ()aba， ()9320ab a， 解得 11 3 故答案为：11 3 14 （5 分） 5 (23 ) x x 的展开式中 2 x的系数是 1080 （数字作答） 【解答】解： 5 (23 ) x的展开式的通项为 152 r r T 5 r ( 3)r( 3) 2 rr x 5 r 5 rr x， 令3r ， 故展开式
24、中 2 x项的系数是： 3 ( 3) 2 23 5 1080 ； 故答案为：1080 15 （5 分）若实数x，y满足|3|2| 1xy，则 y z x 的最小值是 1 3 【解答】解：不等式|3|2| 1xy可表示为如图所示的平面区域 y z x 为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当3x ，1y 时， y z x 取得最小值 1 3 故答案为： 1 3 16 （5 分）定义R在上的函数( )f x满足(1)(1)f xf x ，并且图象关于1x 对称；当 (0x，1时，( )93 x f x 若数列 n a满足 2 (log (64)() n afnnN ；若50n时，当 12nn
25、Saaa取的最大值时，n 26 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：(1)(1)f xf x ，( )(2)f xf x ，(4)(2)( )f xf xf x 可得函数( )f x是周期为 4 的函数、 当(0x，1时，( )93 x f x 1 2 1 ( )930 2 f 由周期性和对称性可得： 13 (6,) 2 x时，( )0f x 13 ( 2 x， 15) 2 时，( )0f x 1315 ()()0 22 ff 又 22 6log (64)log 1147n 而 22 13 6log (64)64 2 2 nlog，可得：646464 290.496n 26n 时，0 n
26、 a 当2750n剟时， 22 13 log (64)log 1147 2 n0 n a 26n 故答案为：26 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 5 小题，共计小题，共计 70 分分 17 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 点D是 边BC上 的 一 点 且 满 足sinsinBDBCDC， 22 2DCBD （1）求 AB AC 的值 （2）若2AD ，求ABC的面积 【解答】解： （1）sinsinBDBCDC，且2DCBD， sin1 sin2 CBD BCD ， 根据正弦定理得， sin1 sin2 ABC ACB ； （2）如图，22 2DCBD，2AD ，2ACAB，则： 2
27、222 226 cos 2 224 2 ABAB ADB ， 第 13 页（共 18 页） 2222 2(2 2)462 cos 2 2 2 24 2 ABAB ADC ，且coscosADBADC ， 22 6(62)ABAB ，解得2AB ，4AC ， 222 42(3 2)1 cos 2 2 48 BAC ， 3 7 sin 8 BAC， 113 73 7 sin24 2282 ABC SAB ACBAC 18 （12 分）一次考试共有 12 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一个是 正确的评分标准规定： “每题只选一个选项，答对得 5 分，不答或答错得零分” 某考 生已
28、确定有 8 道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的， 有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜请求出该考 生： （1）得 60 分的概率； （2）所得分数的分布列和数学期望 【解答】解： （1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A， “有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B， “有一道题不理解题意”选对的为事件C， P（A） 1 2 ，P（B） 1 3 ，P（C） 1 4 ， 得 60 分的概率为 11111 223448 p （4 分） （2）可能的取值为 40，45，50，55，60（5 分） 11231 (40) 22
29、348 P；（6 分） 1 2 11231113112117 (45) 22342234223448 PC （7 分） 11 22 112311131121111117 (50) 223422342234223448 PCC；（8 分） 1 2 1111112111137 (55) 22342234223448 PC（9 分） 1111111111 (60) 223448223448 P， 的分布列： 40 45 50 55 60 第 14 页（共 18 页） ( )P 1 8 17 48 17 48 7 48 1 48 （10 分） 61771575 40(4550)5560 4848484
30、812 E（12 分） 19 （12 分）如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为 4 2 3 （1）求半球的半径 （2）求平面SAD与平面SBC所成的二面角的余弦值 【解答】解： （1）连接AC，BD交于点O，连接SO， 因为SABCD 为正四棱锥，所以SO 平面ABCD， 设求的半径为r，则 2 1 222 2 ABCD Srrr ， 23 124 2 2 333 s ABCD Vrrr ，得2r ； （2）以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， (A r，0，0)，(0B，r，0) (Cr，0，0)，(0D，r，0)，(0S，0，) r， (,
31、0),(,0, )ADrrASrr ，(,0),(0, ,)BCrrSBrr ， 设平面SAD的法向量为( , , )mx y z， 由 0 0 m ADrxry m ASrxrz ，得(1, 1,1)m ， 设平面SBC的法向量( , , )na b c， 由 0 0 n BCrarb n SBrbrc ，得( 1,1,1)n ， 由 1 ( 1)( 1) 1 11 cos, 333 m n ， 故平面SAD与平面SBC所成的二面角余弦值为 1 3 第 15 页（共 18 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，O是坐标原点，点A，
32、B分 别为椭圆C的左右顶点，| 4 2AB （1）求椭圆C的标准方程 （2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，/ /APOM， / /BPON，则OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由 【解答】解： （1）由24 2a ， 2 2 c e a ，解得2 2a ，2c ， 222 4bac，则椭 圆的方程为 22 1 84 xy ； （2） 由题意可得( 2 2A ，0)，(2 2B，0)， 设 0 (P x， 0) y， 可得 22 00 1 84 xy ， 即 22 00 28xy， 则 22 0000 22 00 00 1 8222 22 2
33、APBP yyyy kk xyxx ，则 1 2 ONOMAPBP kkkk ， 当直线l的斜率不存在时，设: l xm，联立椭圆方程可得 2 8 2 m y ， 由 1 2 ONOM kk ，可得 2 2 8 1 2 2 m m ，解得2m ，则 1 22 22 2 2 MNO S ； 当直线l的斜率存在时，设直线: l ykxn， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 联立直线ykxn和 22 28xy，可得 222 (12)4280kxknxn， 可得 12 2 4 12 kn xx k ， 2 12 2 28 12 n x x k ， 22 12121212 ()()
34、()y ykxn kxnk x xkn xxn， 2222 212 22 12 4(12)1 28282 ONOM y yk nnk kkk x xnn ，可得 22 24nk， 222 222222 1212 222 2 44(28)14 1 |1()41()64832 121212 12 knnkk MNkxxx xkkn kkk k ， 第 16 页（共 18 页） 点(0,0)到直线l的距离为 2 22 2(12)| 11 kn d kk ， 则 1 | 2 2 2 OMN Sd MN ， 所以OMN的面积为定值2 2 21 （12 分）已知函数( )(1)(0)f xalnx a，
35、2 ( )1g xx （1）求( )f x在点(0，(0)f处的切线方程 （2）若( )( )( )h xf xg x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，求证： 1122 ( )()x f xxf x 【解答】解； （1）( ) 1 a fx x ，(0)0f，(0)fa ， 故( )f x在(0，(0)f处的切线方程yax ； （2） 2 ( )(1)1h xalnxx，1x ， 由题意可得， 2 22 ( )20 11 axxa h xx xx 在1x 时有 2 个不同的实数根， 即 2 220xxa在1x 时有 2 个不同实根 1 x， 2 x， 所以480a，即 1 0 2
36、a， 12 12 1 1 0 2 xx x xa ， 12 1 01 2 xx， 所以要证明 1122 ( )()x f xxf x，即证明 12 21 ( )()f xf x xx ， 2 11112111 2222 ( )(1)12(1)(1)(1)f xalnxxx x lnxxx xxxx ， 111 2(1)(1)xlnxx， 同理 2 222 1 () 2(1)(1) f x x lnxx x ， 12 111222112221 21 ( )() 2(1)(1)2(1)(1)2(1)2(1) f xf x xlnxxx lnxxxlnxx lnxxx xx ， 22222 212(
37、1)2(1)xx lnxx lnx ， 令( )212(1)2(1)m xxx lnxxlnx ， 1 ( ,1) 2 x， 第 17 页（共 18 页） 2 122 ( )222 (1)2 ()0 11 xxx m xlnxlnxln xx xxxx 在 1 ( ,1) 2 上恒成立， 故( )m x在 1 ( ,1) 2 上单调递增， 1 ( )( )0 2 m xm， 故 12 21 ( )() 0 f xf x xx ， 即 1122 ( )()x f xxf x 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分解答时请写二题中任选一题作答，如果多做
38、，则按所做的第一题记分解答时请写 清题号清题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线l的参数方程为 1cos ( sin xt t yt 为参数，0)， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立及坐标系，曲线 2 :sin4cosC （1）求l和C的直角坐标方程； （2）若l与C相交于A，B两点，且 16 | 3 AB ，求a的值 【解答】解： （1）曲线l的参数方程为 1cos ( sin xt t yt 为参数，0)， 当 2 时，直线的直角坐标方程为1x 当 2 时，直线的直角坐标方程为tan(1)yx 曲线 2 :sin4co
39、sC转换为直角坐标方程为 2 4yx （2）把参数方程为 1cos sin xt yt ，代入 2 4yx， 得到 22 sin4cos40tt， 所以 12 2 4cos sin tt ， 1 2 2 4 sin t t ， 所以 21 2 416 | | sin3 ABtt ， 整理得 2 3 sin 4 ， 所以 3 sin(0) 2 ， 所以 2 33 或 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 18 页（共 18 页） 23设函数( ) |22|2 |f xxx的最大值m （1）求m的值 （2）若正实数a，b满足abm，求 22 11 ab ba 的最小值 【解答】解： （1）( ) |22|2 |2 | 2 |2 |2f xxxxx 剟， 故2m ； （2） ，由2abm，正实数a，b， 由柯西不等式 22 2 ()(11) ()4 11 ab baab ba ， 当且仅当ab时，成立， 所以 22 1 11 ab ba ， 故最小值为 1
