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1、第 1 页（共 22 页） 2020 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A，2，3，4，5，0B ，2，4，6，则集合AB的子集共有( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 2 （5 分）若复数 2 1 ai z i 的实部为 0，其中a为实数，则| (z ) A2 B2 C1 D 2 2 3 （5 分）已知向量(

2、1, )OAk ，(1,2)OB ，(2,0)OCk，且实数0k ，若A、B、C 三点共线，则(k ) A0 B1 C2 D3 4 （5 分）意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 * 12( 3,) nnn aaannN ，其中 1 1a ， 2 1a 若从该数列的前 100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为( ) A 1 3 B 33 10

3、0 C 1 2 D 67 100 5 （5 分）设 2 0.3a ， 0.3 ( 2)b ， 0.3 log2c ，则下列正确的是( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单位：分）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为( ) A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2 5，且渐近线经过点(1, 2)，则此双曲线的方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 2

4、 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( ) A12 B16 C24 D32 9 （5 分）已知函数( )sin()(0) 3 f xAxb A 的最大值、最小值分别为 3 和1，关于函数( )f x有如下四个结论： 2A ，1b ；函数( )f x的图象C关于直线 5 6 x 对称；函数( )f x的图象C关于点 2 (,0) 3 对称；函数( )f x在区间 5 (,) 66 内是减函数其中，正确的结论个数是( ) A1

5、B2 C3 D4 10 （5 分）函数 2 ( )cos(1)f xx lnxx 的图象大致为( ) 第 3 页（共 22 页） A B C D 11 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC，90ABC， 1 2ABBCAA， 1 BB和 11 BC的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为( ) A 3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 12 （ 5 分）函数( )f x是定义在(0,)上的可导函数，( )fx为其导函数，若 ( )( )(1) x xfxf xx e，且f（2）0，则( )0f x 的解集为( ) A(0,1) B(0

6、,2) C(1,2) D(1,4) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分第 4 页（共 22 页） 13 （5 分）已知 1 sin() 43 ，则sin2 14 （ 5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 () ( s i ns i n)() s i nabABacC，2b ，则ABC的外接圆面积为 15 （5 分）已知一圆柱内接于一个半径为3的球内，则该圆柱的最大体积为 16 （5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，其焦距为2c

7、，O为坐标原点，点P满足| 2OPa，点A是椭圆C上的动点，且 112 |3|PAAFFF恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a， 1 4a ， * 1 (1)4(1)() nn nanannN （1）求数列 n a的通项公式；（2）

8、若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b前n项和为 n T 18 （12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 i y和月销售单价 (1 i x i ，2，3，6)数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量y（万件） 89 83 82 79 74 67 （1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4105yx ，453yx和3104yx ，其中有且仅有一位实习员工的

9、计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（ 2 ）若用 2 yaxbxc模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为 2 0.3750.87590.25yxx ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 2 R分别为 0.9702 和 0.9524，请用 2 R说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售第 5 页（共 22 页）单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01) 参考数据：654780.91

10、 19 （12 分）如图，四边形ABCD为长方形，24ABBC，E、F分别为AB、CD的中点，将ADF沿AF折到AD F的位置，将BCE沿CE折到B CE的位置，使得平面 AD F底面AECF，平面B CE底面AECF，连接B D （1）求证：/ /B D 平面AECF；（2）求三棱锥BAD F的体积 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点(2,0)F的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程；（2）过点(2,4)A的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线M

11、N与C是否有其它公共点？说明理由 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1)(1)1f xxlnxaxa x （1）当1a 时，判断函数的单调性；（2）讨论( )f x零点的个数（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，的题目如果多做，则按所做的第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为倾斜角

12、），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin （1）求 2 C的直角坐标方程；第 6 页（共 22 页）（2）直线 1 C与 2 C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2 3, )，若 2 | |EFPEPF，求直线 1 C的普通方程选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc证明：（1） 111 9 abc ；（2） 8 27 acbcababc 第 7 页（共 22 页） 2020 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试

13、题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A，2，3，4，5，0B ，2，4，6，则集合AB的子集共有( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个【解答】解：已知集合1A，2，3，4，5，0B ，2，4，6，则集合2AB ，4 则子集共有2，4，2，4，4 个故选：B 2 （5 分）若复数 2 1 ai z i 的实部为 0，其中a为实数，则| (z ) A2 B2 C1 D 2 2 【解答】

14、解： 2(2 )(1)22 1(1)(1)22 aiaiiaa zi iii 的实部为 0， 2a，则2zi，则| 2z 故选：A 3 （5 分）已知向量( 1, )OAk ，(1,2)OB ，(2,0)OCk，且实数0k ，若A、B、C 三点共线，则(k ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：向量( 1, )OAk ，(1,2)OB ，(2,0)OCk，且实数0k ， (2,2)ABOBOAk，(1, 2)BCOCOBk， A、B、C三点共线，/ /ABBC， 12 22 k k ，由0k ，解得3k 故选：D 第 8 页（共 22 页） 4 （5 分）意大利数学家斐波那契的算经中记载

15、了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 * 12( 3,) nnn aaannN ，其中 1 1a ， 2 1a 若从该数列的前 100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为( ) A 1 3 B 33 100 C 1 2 D 67 100 【解答】解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前

16、100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率 33 100 故选：B 5 （5 分）设 2 0.3a ， 0.3 ( 2)b ， 0.3 log2c ，则下列正确的是( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 【解答】解：10bac ， bac，故选：D 6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单位：分）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为( ) A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 【解答】解：由所有选项可知0x ，9y ，再由茎叶图可知：甲队的数据中位数为：16 20 18 2 ，乙

17、队的数据中位数为：19 10 2 y ，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，第 9 页（共 22 页）即 1910 16 2 y ，解得7y ， 1 71216202031 6 xx 甲， 1 8919172728 6 x 乙， xx 乙甲，解得2x ，故选：C 7 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2 5，且渐近线经过点(1, 2)，则此双曲线的方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 【解答】解：依题意可得 222 5abc，渐近线经过点(1,

18、2)，(1, 2)在直线 b yx a 上 2ba 由可得 1 2 a b ，则此双曲线的方程为： 2 2 1 4 y x 故选：B 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( ) A12 B16 C24 D32 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：请旋转一下角度再看第 10 页（共 22 页）所以 11 344434416 32 V 故选：B 9 （5 分）已知函数( )sin()(0) 3 f xAxb A 的最大值、最小值分别为 3 和1，关于函数( )f x有如下四个结论： 2

19、A ，1b ；函数( )f x的图象C关于直线 5 6 x 对称；函数( )f x的图象C关于点 2 (,0) 3 对称；函数( )f x在区间 5 (,) 66 内是减函数其中，正确的结论个数是( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：由于函数( )sin() 3 f xAxb 的最大值为 3，最小值为1，可得 3 1 Ab Ab ； 2A，1b ，故( )2sin()1 3 f xx 故正确；直线 5 6 x 代入 32 x ，故函数( )f x的图象C关于直线 5 6 x 对称；正确；点 2 (,0) 3 代入，得()2sin11 3 f x ；故函数( )f x的

20、图象C不关于点 2 (,0) 3 对称；不正确；当 5 (,) 66 x 时，( 32 x ， 7 ) 6 故函数( )f x在区间 5 (,) 66 内是减函数正确；正确的结论个数是：3 个；故选：C 10 （5 分）函数 2 ( )cos(1)f xx lnxx 的图象大致为( ) 第 11 页（共 22 页） A B C D 【解答】解： 22 ()cos()(1)cos(1)( )fxx lnxxx lnxxf x ，函数( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AD；当x时， 22 ( )cos(1)(1)0flnln ，故排除C 故选：B 11 （5 分）已知直三

21、棱柱 111 ABCABC，90ABC， 1 2ABBCAA， 1 BB和 11 BC的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为( ) A 3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 第 12 页（共 22 页）【解答】解：分别以直线BA，BC， 1 BB为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则： (2A，0，0)，(0E，0，1)，(0C，2，0)，(0F，1，2)， ( 2,0,1),(0, 1,2)AECF ， 22 cos, 5|55 AE CF AE CF AE CF ， AE与CF夹角的余弦值为 2 5 故选：B 12 （ 5 分）函数( )f x是定

22、义在(0,)上的可导函数，( )fx为其导函数，若 ( )( )(1) x xfxf xx e，且f（2）0，则( )0f x 的解集为( ) A(0,1) B(0,2) C(1,2) D(1,4) 【解答】解：令( )( )g xxf x，则( )( )( )(1) x g xxfxf xx e，当(0,1)x时，( )0g x，( )g x单调递增，当(1,)x时，( )0g x，函数单调递减，又因为f（2）0，所以g（2）2f（2）0，(0)0g，由( )0f x 可得，( )0xf x 即( )0g x ，所以02x 故选：B 二、填空题：本大题共二、

23、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 1 sin() 43 ，则sin2 7 9 第 13 页（共 22 页）【解答】解： 1 sin() 43 ， 2 7 sin2cos(2)cos2()2sin ()1 2449 ，故答案为 7 9 14 （ 5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 () ( s i ns i n)() s i nabABacC，2b ，则ABC的外接圆面积为 4 3 【解答】解：ABC中，由()(sinsin )()sin0abABacC，利用正弦定理可得：()()(

24、)0ab abac c，即 222 acba， 222 1 cos 22 acb B ac ， 3 B 2b ，设ABC的外接圆半径为R，可得 2 2 sin3 2 b R B ，可得 2 3 3 R ，可得ABC的外接圆面积 2 4 3 SR 故答案为： 4 3 15 （5 分）已知一圆柱内接于一个半径为3的球内，则该圆柱的最大体积为 4 【解答】解：作出轴截面如右设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，则 2 3dr，则圆柱的高为 2 2 3hr，则圆柱的体积 222 222222223 62 232622(62)2()4 3 rrr Vr hrrr

26、仅当P， 2 F，A三点共线时，取等号， 2 F在线段PA上，又点P的轨迹是以O圆心，半径为2r的圆上，所以点P到圆内点 2 F的最大距离为半径与 2 |OF的和，即 2 |2PFac，所以 12 | 2224PAAFPFaacaac剟，所以64cac，即54ca，所以可得离心率 4 5 c e a ，又1e ，所以离心率的范围： 4 5 ，1) 故答案为： 4 5 ，1) 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2

27、2、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a， 1 4a ， * 1 (1)4(1)() nn nanannN （1）求数列 n a的通项公式；第 15 页（共 22 页）（2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b前n项和为 n T 【解答】解：（1）依题意，由 * 1 (1)4(1)() nn nanannN ，可得 21 28aa， 32 3212aa， 1 (1)4 nn nanan 各项相加，可得 1 8124 n naan， (44 ) 48124 2 n

28、nn nan ， 22 n an， * nN （2）由（1）知， 1 11111 () (22)(24)412 n nn b a annnn 故 12nn Tbbb 1 111 11111 ()()() 4 234 34412nn 1 111111 () 4 233412nn 1 11 () 4 22n 8(2) n n 18 （12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 i y和月销售单价 (1 i x i ，2，3，6)数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元

29、/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量y（万件） 89 83 82 79 74 67 （1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直第 16 页（共 22 页）线方程分别为：4105yx ，453yx和3104yx ，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（ 2 ）若用 2 yaxbxc模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为 2 0.3750.87590.25yxx ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 2 R分别

30、为 0.9702 和 0.9524，请用 2 R说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01) 参考数据：654780.91 【解答】解：（1）已知变量x，y具有负相关关系，故乙不对 456789 6.5 6 x ， 898382797467 79 6 y ，代入甲和丙的回归方程验证甲正确；（2）0.97020.9524，且 2 R越大，残差平方和越小，拟合效果越好，选用 2 0.3750.87590.25yxx 更好；（3）由题意可知， 32 0.37

31、50.87590.25zxyxxx ，即 32 37361 884 zxxx ，则 2 97361 844 zxx 令0z ，解得 65477 9 x （舍去）或 65477 9 x 令 0 65477 9 x ，当 0 (0,)xx时，z单调递增，当 0 (xx，)时，z单调递减当 0 xx时，商品的月销售额预报值最大， 654780.91，9.77x 当9.77x 时，商品的月销售额最大 19 （12 分）如图，四边形ABCD为长方形，24ABBC，E、F分别为AB、CD的中点，将ADF沿AF折到AD F的位置，将BCE沿CE折到B CE的位置，使得平面 AD F底面AECF，平面B

32、 CE底面AECF，连接B D （1）求证：/ /B D 平面AECF；（2）求三棱锥BAD F的体积第 17 页（共 22 页）【解答】解：（1）证明：作D MAF于M，作B NEC于点N， 2ADD F ，2B CB E，90AD FCB E ， M，N为AF，CE的中点，且2D MB N，平面AD F底面AECF，平面AD F底面AECFAF， D MAF，D M平面F，D M底面AECF，同理：B N底面AECF，/ /D MB N，四边形D B NM 是平行四边形，/ /B DMN ， B D 平面AECF，MN 平面AECF，/ /B D 平面AECF （2）解：设点

33、B到平面AD F的距离为h，连结NF， / /D MB N，D M平面AD F，B N平面AD F， / /B N 平面AD F， B 到平面AD F的距离与点N到平面AD F的距离相等， N为CE中点，2EF ，NFCE， / /AFCE，NFAF，平面AD F底面AECFAF，NF 底面AECF， NF平面AD F，点N到平面AD F的距离为2NF ，点B到平面AD F的距离2h ， 1 222 2 AD F S ，三棱锥BAD F的体积 112 2 22 333 BAD FAD F VSh 第 18 页（共 22 页） 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点(2,0)F

34、的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程；（2）过点(2,4)A的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由【解答】解：（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线2x 于 P ，设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得22PHr，所以| 2222PPrr ，又| 2PFr，所以| |PF PP ，由抛物线的定义知，点P是以(2,0)F为焦点，以直线2x 为准线的抛物线，所以曲

35、线C的方程为： 2 8yx；（2）由(2,4)A可得A在求出C上， (i当直线l的斜率存在时，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 21 )(2)yx ，则 2 11 8yx，第 19 页（共 22 页） AM的中点 1 2 ( 2 x B ， 1 4) 2 y ，即 1 (1 2 x B， 1 2) 2 y ，在方程 2 8yx中，令 1 2 2 y y ，得 21 1 (2) 8 2 y x ，所以 21 1 ( (2) 8 2 y D， 1 2) 2 y ，设 2 (N x， 2) y，由中点坐标公式可得 211 2 21 (2) 4 22 yx x ，又 2 11

36、8yx，代入化简 1 2 2 y x ，所以 1 ( 2 y N， 1 2) 2 y ，直线MN的斜率为： 11 1 2 1 111 1 (2)2 4 22 2 82 yy y y yy y x ，所以直线MN的方程为： 11 1 4 ()yxxy y ，将 2 1 1 8 y x 代入化简可得： 1 1 4 2 y yx y ，将 2 8 y x 代入式整理可得 22 11 20yy yy， 22 11 440yy，所以直线MN与抛物线相切，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点 ( )ii当直线MN的斜率不存在时(2, 4)M，(2,0)B，(0,0)D，( 2,0)N

37、，直线MN的方程为：2yx 代入抛物线的方程可得 2 440xx， 2 4440 ，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1)(1)1f xxlnxaxa x （1）当1a 时，判断函数的单调性；第 20 页（共 22 页）（2）讨论( )f x零点的个数【解答】解：（1）1a 时， 2 ( )(1)21f xxlnxxx， 1 ( )23fxlnxx x ，令 1 ( )( )23h xfxlnxx x ，则 22 11(21)(1) ( )2 xx h x xxx ，易得函数( )

38、h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，故( )h xh（1）0即( ) 0fx，所以( )f x在(0,)上单调递减；（2）由 2 ( ) (1 )( 1)1f xxl n x a xax 可得f（1）0，即1x 为函数( )f x的一个零点，设( )1g xlnxax，则( )f x的零点个数即为( )g x的不为 1 的零点个数加上 1， ( ) i当1a 时，由（1）知( )f x单调递减，且1x 是( )f x的零点，故( )f x有且只有 1 个零点 1； ( )ii当0a时，( )g x单调递增且g（1）0， 2 2(1)(3)1 ( )11 11 xa

39、xax g xlnxaxax xx ，01x，因为 22 (3)1(4)(3)1(4)1(1)axaxaxaxaxx ，所以 1 ()0 4 g a ，综上可知，( )g x在(0,)上有 1 个零点且g（1）9，所以( )f x有 2 个零点 ()iii又 1 ( ) ax g x x ，所以当10a 时，( )g x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (,) a 上单调递减，故( )g x的最大值 11 ()()0gln aa ，又 2(1)2(1) ( )110 11 xx g xax xx ，且 1 ( )0 3 g， 1 ( )0 a g ee ，所以( )g

40、x在 1 (0,) a 上有 1 个零点，在 1 (,) a 上有 1 个零点且0x 也是零点，此时( )f x共有 3 个零点， ( )iv又 1 ( ) ax g x x ，所以当1a 时，( )g x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (,) a 上单调递减，故( )g x的最大值 11 ()()0gln aa ，第 21 页（共 22 页）故( )g x没有零点，此时( )f x只有 1 个零点，综上可得，当1a时，( )f x有 1 个零点；当10a 时，( )f x有 3 个零点，当0a时， ( )f x有 2 个零点（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请

41、考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，的题目如果多做，则按所做的第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin （1）求 2 C的直角坐标方程；（2）直线 1 C与 2 C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2 3, )，若 2 | |EF

42、PEPF，求直线 1 C的普通方程【解答】解：（1）曲线 2 C的极坐标方程为4sin即 2 4 sin，可得普通方程： 22 4xyy （2）点P的极坐标为(2 3, )，可得直角坐标为( 2 3，0) 把直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为倾斜角），代入 2 C方程可得： 2 (4 3cos4sin)120tt， 2 (4 3cos4sin)480，可得： 3 sin() 32 ，或 3 sin() 32 ，由为锐角可得： 3 sin() 32 ，解得： 0 3 则 12 4 3cos4sintt， 1 2 12t t 22 121

43、2 |()44 4()3 3 EFttt tsin ， 1212 | | | 8|sin()| 3 PEPFtttt ， 2 8 4()38|sin()| 33 sin ，第 22 页（共 22 页）化为：sin()1 3 ，2 6 k ，kZ 满足0 3 可得 6 直线 1 C的参数方程为： 3 2 3 2 1 2 xt yt ，可得普通方程：32 30xy 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc证明：（1） 111 9 abc ；（2） 8 27 acbcababc 【解答】证明：（1） 111111 ()()332229 abcabca bc ab c abc abcabcbaaccbb aa cc b ，当且仅当 1 3 abc时，等号成立；（2）a，b，c为正数，且满足1abc， 1cab ，10a，10b，10c， 3 (1)(1)(1)8 ()()(

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