1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， 2 |560Bx xx，则(AB ) A(,1) B( 6,1) C( 1,1) D(,6) 2 （5 分）设复数z满足|1| 1z ，则z在复平面内对应的点为( , )x y，则( ) A 22 (1)1xy B 22 (1)1
2、xy C 22 (1)1xy D 22 (1)1xy 3 （5 分）下列函数为奇函数的是( ) Asin|yx B|sin|yx Ccosyx D xx yee 4 （5 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20，40)，40，60)，60，80)，80，100，若低于 60 分的人数是 15 人，则该班 的学生人数是( ) A45 B50 C55 D60 5 （5 分）等差数列x，33x ，66x ，的第四项等于( ) A0 B9 C12 D18 6 （5 分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取 10
3、名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设 其回归直线方程为 ybxa，已知 10 1 225 i i x ， 10 1 1600 i i y ，4b ，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为( ) A160 B163 C166 D170 7 （5 分）已知l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm”是“/ /l”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 17 页） 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为( ) A0 B1 C2 D3 9 （5 分）函数( )sin()
4、f xx的部分图象如图所示，则( )f x的单调递增区间为( ) A 37 (2,2) 44 kk，kZ B 13 (2,2) 44 kk，kZ C 37 (2,2) 44 kk，kZ D 13 (2,2) 44 kk，kZ 10 （5 分）已知e为自然对数的底数，过原点与函数( ) x f xe图象相切的直线方程为( ) A x yex Byx Cyex D 1 yx e 11 （5 分）抛物线方程为 2 4xy，动点P的坐标为(1, ) t，若过P点可以作直线与抛物线交 于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 第 3 页（共 17
5、 页） 12 （5 分） 已知函数( )f x为定义域为R的偶函数， 且满足(1)(1)fxfx， 当 1x ，0 时( )f xx ，则函数 4 ( )( ) 12 x F xf x x 在区间 9，10上零点的个数为( ) A10 B12 C18 D20 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,2),(2, 2),(1, )abc，若(2)cab，则 14 （5 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 3 1a ， 3 3S ，则 1 a 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) x
6、y ab ab 的渐近线与圆 22 430xyx相切，则该 双曲线的离心率为 16 （5 分）在直四棱柱 1111 ABCDA B C D中，底面是边长为 4 的菱形，60ABC， ACBDO， 11 ACAO，则三棱锥 1 AABD的外接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 12 分 ） 已 知 在ABC中 ， 角A、B、C对 应 的 边 分 别 为a、b、c， sinsinsinsinbBaCaAcC （1）求角B； （2）若1c ，ABC的面积为 3 4 ，求C 18 （12 分）通过随机询问某地 1
7、00 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下22列 联表： 男生 女生 合计 挑同桌 30 40 70 不挑同桌 20 10 30 总计 50 50 100 （）从这 50 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，现从 这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的概率； （）根据以上22列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同 桌”有关？ 下面的临界值表供参考：6 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 第 4 页（共 17 页） 0 k 2.706 3.
8、841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD， 且1PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F （1）证明：/ /PA平面EDB； （2）求三棱锥BDEF的体积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设O是坐标原点，点A在直线2y 上，点B在椭圆上，且OAOB，求线段AB长度 的最小值
9、 21 （12 分）设函数 2 ( )2() () x f xexaaR，e为自然对数的底数 （1）若( )f x在0，)上单调递增，求a的取值范围； （2）证明：若0x，221lna ，则( ) 0f x 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt ，(t为
10、参数， 0)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 4 13cos （1）求l的普通方程和C的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为(1,2)，求直线l的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 5 页（共 17 页） 23设函数 1 ( ) |f xxax a ， （实数0)a （1）当1a ，求不等式( )3f x 的解集； （2）求证：( ) 2f x 第 6 页（共 17 页） 2020 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本
11、大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， 2 |560Bx xx，则(AB ) A(,1) B( 6,1) C( 1,1) D(,6) 【解答】解：集合 |10 |1Ax xx x ， 2 |560 | 16Bx xxxx ， 6(,6)ABx x 故选：D 2 （5 分）设复数z满足|1| 1z ，则z在复平面内对应的点为( , )x y，则( ) A 22 (1)1xy B 22 (1)1xy C
12、 22 (1)1xy D 22 (1)1xy 【解答】解：设( ,)zxyi x yR， 由|1| 1z ，得|(1)| 1xyi 22 (1)1xy 故选：B 3 （5 分）下列函数为奇函数的是( ) Asin|yx B|sin|yx Ccosyx D xx yee 【解答】解：由奇偶函数的定义可知，选项ABC显然是偶函数，选项D为奇函数 故选：D 4 （5 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20，40)，40，60)，60，80)，80，100，若低于 60 分的人数是 15 人，则该班 的学生人数是( ) 第 7 页（共 17 页） A45 B5
13、0 C55 D60 【解答】解：成绩低于 60 分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01， 每组数据的组距为 20 则成绩低于 60 分的频率(0.0050.010)200.3P ， 又低于 60 分的人数是 15 人， 则该班的学生人数是 15 50 0.3 故选：B 5 （5 分）等差数列x，33x ，66x ，的第四项等于( ) A0 B9 C12 D18 【解答】解：等差数列: n ax，33x ，66x ， 2(33)66xxx， 解得0x 此数列的首项 1 0a ，公差3d 4 03 (41)9a 故选：B 6 （5 分）为了研究某班学生的
14、脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设 其回归直线方程为 ybxa，已知 10 1 225 i i x ， 10 1 1600 i i y ，4b ，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为( ) A160 B163 C166 D170 【解答】解：由线性回归方程为4yxa， 则 10 1 1 22.5 10 i i xx ， 10 1 1 160 10 i i yy ， 第 8 页（共 17 页） 则数据的样本中心点(22.5,160)， 由回归直线方程样本中心点，则4160422.570a
15、yx ， 回归直线方程为470yx， 当24x 时，42470166y ， 则估计其身高为 166， 故选：C 7 （5 分）已知l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm”是“/ /l”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若已知l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm” ，当l在平面内 时，推不出“/ /l” ， 若已知l，m是两条不同的直线， “/ /l” ，能推出m 平面，则“lm” ， 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm”是“/ /l”的必要而不充分条件， 故选：B 8
16、 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为( ) A0 B1 C2 D3 第 9 页（共 17 页） 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域 0 0 1 x y xy 内，目标还是2Sxy的最 大值， 画出可行域如图： 当 1 0 x y 时，2Sxy的值最大，且最大值为 2 故选：C 9 （5 分）函数( )sin()f xx的部分图象如图所示，则( )f x的单调递增区间为( ) A 37 (2,2) 44 kk，kZ B 13 (2,2) 44 kk，kZ C 37 (2,2) 44 kk，kZ D 13 (2,2) 44 kk，kZ 【解答】解
17、：根据函数( )sin()f xx的部分图象，可得 1 251 244 ， 再根据五点法作图，可得 1 4 ， 4 ，( )sin() 4 f xx 令22 242 kxk 剟，求得 13 22 44 kxk剟， 故函数的增区间为 1 2 4 k ， 3 2 4 k ，kZ， 第 10 页（共 17 页） 故选：D 10 （5 分）已知e为自然对数的底数，过原点与函数( ) x f xe图象相切的直线方程为( ) A x yex Byx Cyex D 1 yx e 【解答】解：设切点坐标为( ,) a a e， 又切线过(0,0)，得到切线的斜率 a e k a ， 又( ) x fxe，把x
18、a代入得：斜率kf（a） a e， 则 a a e e a ，由于0 a e ，则得到1a ， 即切点坐标为(1, ) e， 所以切线方程为：yex 故选：C 11 （5 分）抛物线方程为 2 4xy，动点P的坐标为(1, ) t，若过P点可以作直线与抛物线交 于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，两点代入抛物线的方程： 2 11 2 22 4 4 xy xy ，两式相减可 得 1212 12 4 yyxx xx ， 而由题意可得 12 2 12xx ，所以直线的
19、斜率 1212 12 21 442 yyxx k xx ， 故选：A 12 （5 分） 已知函数( )f x为定义域为R的偶函数， 且满足(1)(1)fxfx， 当 1x ，0 时( )f xx ，则函数 4 ( )( ) 12 x F xf x x 在区间 9，10上零点的个数为( ) A10 B12 C18 D20 【解答】解：条件等价于函数( )f x与 4 ( ) 12 x g x x 图象在 9，10上交点的个数， 因为(1)(1)fxfx，所以函数( )f x图象关于1x 对称， 又因为( )f x为偶函数且当 1x ，0时( )f xx ，所以当0x，1时( )f xx， 第 1
20、1 页（共 17 页） 4419 ( ) 1221242 xx g x xxx ， 作出函数( )f x与( )g x的图象如图： 由图可知，共 10 个交点， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,2),(2, 2),(1, )abc，若(2)cab，则 2 【解答】解：根据题意，(1,2)a ，(2, 2)b ，则2(4,2)ab， 若(2)cab，则(2)4 120cab ， 解可得：2 ； 故答案为：2 14 （5 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 3 1a ， 3 3S
21、，则 1 a 1或4 【解答】解：因为 3 1a ， 3 3S ， 1q 时，显然满足，此时 1 1a ， 1q 时， 2 1 3 1 1 (1) 3 1 a q aq q ，整理可得， 2 210qq ， 解可得，1q （舍)或 1 2 q ， 1 4a ， 故答案为：1 或4 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆 22 430xyx相切，则该 双曲线的离心率为 2 3 3 第 12 页（共 17 页） 【解答】解：化圆 22 430xyx为 22 (2)1xy，则圆心坐标为(2,0)，半径为 1 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab
22、ab 的一条渐近线方程为 b yx a ，即0bxay 由 22 |2 | 1 b ab ，得2bc，即 222 4()cac， 解得 2 3 3 c e a 故答案为： 2 3 3 16 （5 分）在直四棱柱 1111 ABCDA B C D中，底面是边长为 4 的菱形，60ABC， ACBDO， 11 ACAO，则三棱锥 1 AABD的外接球的表面积为 18 【解答】解：如图，在底面菱形ABCD中，由4ABBC，60ABC，可得 4ABACAD， 则C为ABD外接圆的圆心， 1 CC 底面ABD， 取 1 CC中点Q， 则Q为三棱锥 1 AABD外 接球的球心， 由 11 ACAO，可得
23、111 A ACC AC ， 设 1 AAa，由 111 A ACAOA ，得 111 tantanA ACAOA， 则 2 1 a a ，即2a 2 2 QC，则三棱锥 1 AABD的外接球的半径满足 222 29 2() 22 R 三棱锥 1 AABD的外接球的表面积为 2 9 4418 2 R 故答案为：18 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 12 分 ） 已 知 在ABC中 ， 角A、B、C对 应 的 边 分 别 为a、b、c， sinsinsinsinbBaCaAcC （1）求角B； 第 13 页（共 17
24、 页） （2）若1c ，ABC的面积为 3 4 ，求C 【解答】解： （1）由sinsinsinsinbBaCaAcC及正弦定理 可得 222 bacac， 由余弦定理可得 22222 1 cos 222 acbbacb B acac ， 又因为(0, )B， 所以 3 B （2）因为 1133 sin 2224 ABC SacBa ， 所以1a 又因为1, 3 acB ， 所以ABC是等边三角形， 所以 3 C 18 （12 分）通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下22列 联表： 男生 女生 合计 挑同桌 30 40 70 不挑同桌 20 10 30 总计 5
25、0 50 100 （）从这 50 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，现从 这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的概率； （）根据以上22列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同 桌”有关？ 下面的临界值表供参考：6 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 【解答
26、】解： （）根据分层抽样方法抽取容量为 5 的样本，挑同桌有 3 人，记为A、B、 第 14 页（共 17 页） C， 不挑同桌有 2 人，记为d、e； 从这 5 人中随机选取 3 人，基本事件为 ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde共 10 种； 这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的事件为概率为 ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共 7 种； 故所求的概率为 7 10 P ； （）根据以上22列联表，计算观测值 2 2 100(30 102040) 4.76193.841 70305050 K ， 对照临界值表知，有95%以
27、上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD， 且1PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F （1）证明：/ /PA平面EDB； （2）求三棱锥BDEF的体积 【解答】 （1）证明：连接AC交BD于G，则G是AC的中点，连接EG， 则EG是PAC的中位线，则/ /PAEG， 又PA面EDB，EG 面EDB， / /PA平面EDB； （2）解：PD 面ABCD，BC 面ABCD，PDBC， 又BCCD，CDPDD，BC面PCD， 又DE 面PCD，DEBC， PDCD，E是PC的中点，DEP
28、C， DE面PBC，得DE是三棱锥DBEF的高 第 15 页（共 17 页） 经计算得， 2 2 DE ，1,22,3BCPCPEPB， 由Rt BCP Rt EFP，得 PCBPBC PFEPEF ， 得 3 3 PC EP PF BP ， 6 6 BC EP EF BP ， 2 3 3 BF 1111 33218 B DEFD BEFBEF VVSDEBF EF DE 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设O是坐标原点，点A在直线2y 上，点B在椭圆上，且OAOB，求线段AB长度 的最小值 【解
29、答】解： （1）依题意可得 2 2, 2 c b a ，所以 2222 222 21 2 caba aaa ， 解得2a ， 所以椭圆的方程是 22 1 42 xy ； （2）依题意设( ,2)A t， 0 (B x， 0) y，其中 0 0x ， 因为OAOB，所以0OA OB ，即 00 20txy， 所以 0 0 2y t x ， 2 22222200 000000 2 00 24 |()(2)()(2)4 yy ABxtyxyxy xx ， 又 22 00 1 42 xy ，且 0 22x 剟， 所以 2222 2220000 000 222 000 442(4)8 |444 22 y
30、xxx ABxyx xxx ， 22 00 22 00 88 4 248 22 xx xx ，当且仅当 2 0 4x 时等号成立， 所以线段AB长度的最小值为2 2 第 16 页（共 17 页） 21 （12 分）设函数 2 ( )2() () x f xexaaR，e为自然对数的底数 （1）若( )f x在0，)上单调递增，求a的取值范围； （2）证明：若0x，221lna ，则( ) 0f x 【解答】解： （1）因为( )f x在0，)上单调递增， 所以( )22()2() 0 xx fxexaexa恒成立 令( ) x g xexa，问题转化为( ) 0g x 在0，)上恒成立， 当0
31、x，)时，( )1 0 x g xe ，( )g x在0，)上单调递增， 所以( )(0)10 min g xga ，得1a （2）由（1）可知，( )g x在0，)上单调递增， 当221lna 时，(0)10ga ，( 2)220g lnlna ， 由零点存在定理可知，存在 0 (0x ，2ln，使得 0 00 ()0 x g xexa，所以 0 0 x exa， 当 0 (0,)xx时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x在 0 (0,)x上单调递减， 当 0 (xx，)时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x在 0 (x，)上单调递增， 所以 00000 22
32、 00 ( )()2()2()(2) xxxxx min f xf xexaeeee， 因为 0 (0x ，2ln，所以 0 12 x e，所以 00 0,20 xx ee， 所以 0 () 0f x ，即( ) 0f x 成立，命题得证 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，作答时，请用请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos
33、 2sin xt yt ，(t为参数， 0)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 4 13cos （1）求l的普通方程和C的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为(1,2)，求直线l的斜率 【解答】解： （1）直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt ，(t为参数，0)转换为直角 坐标方程为2tan(1)yx 第 17 页（共 17 页） 曲线C的极坐标方程为 2 4 13cos 转换为直角坐标方程为 22 416xy，整理得 22 1 416 xy （ 2 ） 把 直 线 的 参 数 方 程 1cos 2sin xt y
34、t 代 入 22 416xy， 得 到 ： 22 4(1cos )(2sin )16tt， 整理得 22 (3cos1)(4sin8cos )80tt， 所以 12 2 (4sin8cos ) 3cos1 tt 由于曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为(1,2)， 所以 12 2 (4sin8cos ) 0 3cos1 tt ， 即：4sin8cos0， 解得tan2k 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 1 ( ) |f xxax a ， （实数0)a （1）当1a ，求不等式( )3f x 的解集； （2）求证：( ) 2f x 【解答】解： （1）当1a 时，( ) |1|1|f xxx，因为( )3f x ， 当1x时，可得113xx ， 3 2 x ； 当11x 时，可得113xx ，23不成立； 当1x时，可得113xx ， 3 2 x ； 综上所述，原不等式的解集为 33 | 22 x xx 或 （2） 111 ( ) |f xxaxaa aaa ， 当且仅当 1 ()() 0xa x a 时等号成立， 又 11 22aa aa ，当且仅当1a 的时等号成立， ( ) 2f x
