1、2020 年年高考模拟试卷高考模拟试卷高考数学一模试卷（文科）高考数学一模试卷（文科） 一、选择题一、选择题 1若集合若集合 A2，3，log216，Bx|x26x+50，则，则 AB（ ） A（1，5） B2，3 C2，3，4 D3，log216 2已知已知 i 是虚数单位，则是虚数单位，则的共轭复数是（的共轭复数是（ ） Ai B+i C+ i Di 3已知向量已知向量（1，4），），（m，1），若），若，则实数，则实数 m 的值为（的值为（ ） A B4 C4 D 4已知等差数列数列已知等差数列数列an满足满足 an+1+an4n，则，则 a1（ ） A1 B1 C2 D3 5若在区间（
2、若在区间（0，2上随机地取一个数上随机地取一个数 x，则“，则“1log2x1”的概率为（”的概率为（ ） A B C D 6若执行如图所示的程序框图，则输出若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（的值为（ ） A B C D 7若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A2 B3 C4 D5 8已知函数已知函数 f（x）则函数则函数 g（x）f（1x）的零点的个数为（）的零点的个数为（ ） ） A3 B2 C4 D1 9已知函数已知函数 f（x）sin（x+）（0，|）的最小正周期为）的最小正周期为 ，若，若 f（0），
3、则函数则函数 f（x）图象的对称轴方程为）图象的对称轴方程为 （ ） Axk+（kZ） Bx+（kZ） Cx+（kZ） Dxk+（kZ） 10函数函数 y2x2+e|x|在区间在区间2，2上的图象大致为（上的图象大致为（ ） A B C D 11已知双曲线已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别是）的左、右焦点分别是 F1，F2，若双曲线，若双曲线 C 上存在点上存在点 P 使使 0，PF1F2PF2F1，则双曲线，则双曲线 C 的离心率为（的离心率为（ ） A+1 B C+1 D 12设定义在（设定义在（0，+）上的单调函数）上的单调函数 f（x）对任意的）对任意的 x（0，+）都有
4、）都有 f（f（x）log3x） 4，则不等式，则不等式 f（a2+2a）4 的解集为（的解集为（ ） Aa|a3 或或 a1 Ba|a1 Ca|3x1 Da|a3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 已知 已知 Sn为数列为数列an的前的前 n 项和， 若项和， 若 a11， an+12Sn+3， 则数列， 则数列an的通项公式为的通项公式为 14若直线若直线 l：xa0 交抛物线交抛物线 yx2+1、函数、函数 ylnx 的图象分别于的图象分别于 M，N 两点，则线段两点，则线段 MN 长的最小值是长的最小值是 15若
5、实数若实数 x，y 满足不等式组满足不等式组，则，则 22x+y的最大值是的最大值是 16已知抛物线已知抛物线 y28x 的焦点为的焦点为 F，其准线交，其准线交 x 轴于点轴于点 C，过点，过点 F 的直线交该抛物线于的直线交该抛物线于 A， B 两点，若两点，若CBF90，则，则|AF|BF| 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)
6、必考题：共必考题：共 60 分。分。 17已知在已知在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，cosA，asinA+bsinBcsinC asinB （1）求）求 B 的值；的值； （2）若）若 b10，求，求ABC 外接圆的半径外接圆的半径 18如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形中，底面四边形 ABCD 是菱形，是菱形，DAB60，PD平面平面 ABCD，PDAD2，E，F 分别为分别为 AB，PD 的中点的中点 （1）求证：）求证：AF平面平面 PEC； （2）求点）求点 D 到平面到平面 PEC 的距离的距离 19已知某大学有男生已知
7、某大学有男生 14000 人，女生人，女生 10000 人，大学行政主管部门想了解该大学学生的人，大学行政主管部门想了解该大学学生的 运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人，统计他们平均每天运人，统计他们平均每天运 动的时间（单动的时间（单位：小时）如表：位：小时）如表： 男生平均每天运动的时男生平均每天运动的时 间间 0，0.5） 0.5，1） 1，1.5） 1.5，2） 2， ，2.5） 2.5，3） 人数人数 2 12 23 18 10 x 女生平均每天运动的时女生平均每天运动的时 间间 0，0.5） 0.5，1）
8、 1，1.5） 1.5，2） 2， ，2.5） 2.5，3） 人数人数 5 12 18 10 3 y （1）求实数）求实数 x，y 的值；的值； （2）若从被抽取的）若从被抽取的 120 人平均每天运动时间（单位：小时）在范围人平均每天运动时间（单位：小时）在范围0，0.5）的人中随机）的人中随机 抽取抽取 2 人，求“被抽取的人，求“被抽取的 2 人性别不相同”的概率人性别不相同”的概率 20已知已知圆圆 C 的圆心坐标为（的圆心坐标为（，0），直线），直线 l：xy0 被圆被圆 C 截得的弦长为截得的弦长为 4 （1）求圆）求圆 C 的方程；的方程； （2）若过点）若过点 M（1，0）作斜
9、率为）作斜率为 k 的直线的直线 n 交圆交圆 C 于于 A，B 两点，两点，O 为坐标原点，为坐标原点， 且直线且直线 OA，OB 的斜率乘积的斜率乘积 m 满足满足3，求直线，求直线 n 的方程的方程 21已知函数已知函数 f（x）axlnx4（aR） （1）若函数）若函数 f（x）在）在 xx0（x02）处取得极值，求实数）处取得极值，求实数 a 的取值范围；的取值范围； （2）当）当 a2 时，若存在时，若存在 m，n，+），且），且 mn，使得当，使得当 mxn 时时 f（x）的值）的值 域是域是，求实数，求实数 k 的最值的最值 (二二)选考题：共选考题：共 10 分。分。请考生在
10、第请考生在第 22、 、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为（ 是参数）是参数） （1）求曲线）求曲线 C 的普通方程；的普通方程； （2）以坐标原点）以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直 线线 l 的极坐标方程是的极坐标方程是 2sin（+）+30若点若点 P 在曲线
11、在曲线 C 上，点上，点 Q 在直线在直线 l 上，上， 求线段求线段 PQ 长的最小值长的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数已知函数 f（x）|x1|x2|（xR） （1）求不等式）求不等式 f（x）2 的解集的解集； （2）若关于）若关于 x 的方程的方程 f（x）m0 有无数个实数根，求实数有无数个实数根，求实数 m 的值的值 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1若集合
12、若集合 A2，3，log216，Bx|x26x+50，则，则 AB（ ） A（1，5） B2，3 C2，3，4 D3，log216 【分析】可以求出集合【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可，然后进行交集的运算即可 解：解：A2，3，4，Bx|1x5， AB2，3，4 故选：故选：C 2已已知知 i 是虚数单位，则是虚数单位，则的共轭复数是（的共轭复数是（ ） Ai B+i C+ i Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：解：， 的共轭复数是的共轭复数是 故选：故选：B 3已知向量已知向量（1，4），），（m，
13、1），若），若，则实数，则实数 m 的值为（的值为（ ） A B4 C4 D 【分析】先求出向量【分析】先求出向量，再根据共线定理列方程求出，再根据共线定理列方程求出 m 的值的值 解：解：向量向量（1，4），），（m，1），）， 所以所以+（1+m，3），）， 又又，所以，所以 134（1+m）0， 解得解得 m 故选：故选：D 4已知等差数列数列已知等差数列数列an满足满足 an+1+an4n，则，则 a1（ ） A1 B1 C2 D3 【分析】根据【分析】根据 an+1+an4n，写出，写出 a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出的值，两式作差可求出公差，从而可求出
14、首项首项 解：解：数列数列an是等差数列，且是等差数列，且 an+1+an4n， a2+a14，a3+a28， 两式相减得两式相减得 a3a1844， 数列数列an是等差数列是等差数列 2d4，即，即 d2， 则则 a2+a14 即即 2a1+d4 解得解得 a11 故选：故选：B 5若在区间（若在区间（0，2上随机地取一个数上随机地取一个数 x，则“，则“1log2x1”的概率为（”的概率为（ ） A B C D 【分析】由【分析】由1log2x1，解得：，解得：x 范围利用几何概率计算公式即可得出范围利用几何概率计算公式即可得出 解：解：由由1log2x1，解得：，解得：x2 “1log2
15、x1”的概率”的概率 故选：故选：B 6若执行如图所示的程序框图，则输出若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（的值为（ ） A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S +的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变 化情况，可得答案化情况，可得答案 解：解：由已知中由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S +的值，的值， 可得：可得
16、：S+ （ （1）+ （）+ （） 1 故选：故选：C 7若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可 解：解：由题意可知，几何体是球的由题意可知，几何体是球的， 球的半径为球的半径为 2， 所以几何体的表面积为：所以几何体的表面积为：5 故选：故选：D 8已知函数已知函数 f（x）则函数则函数 g（x）f（1x）的零点的个数为（）的零点的个数为（ ） ） A3 B2 C4 D1 【分析】根据数【分析】根据
17、数 f（1x）图象是将函数）图象是将函数 f（x）先关于）先关于 y 轴对称，再将图象向右移动一个轴对称，再将图象向右移动一个 单位得到的，数形结合即可得到答案单位得到的，数形结合即可得到答案 解：解：因为函数因为函数 f（1x）图象是将函数）图象是将函数 f（x）先关于）先关于 y 轴对称，再将图象向右移动一个单轴对称，再将图象向右移动一个单 位得到，位得到， 作出作出 f（1x）图象如图：）图象如图： 根据图象可知，共有根据图象可知，共有 3 个零点，个零点， 故选：故选：A 9已知函数已知函数 f（x）sin（x+）（）（0，|）的最小正周期为）的最小正周期为 ，若，若 f（0）， 则函
18、数则函数 f（x）图象的对称轴方程为）图象的对称轴方程为 （ ） Axk+（kZ） Bx+（kZ） Cx+（kZ） Dxk+（kZ） 【分析】根据已知，求出【分析】根据已知，求出 ， 的值，得到函数的解析式，结合正弦函数的对称性，可的值，得到函数的解析式，结合正弦函数的对称性，可 得答案得答案 解：解：函数函数 f（x）sin（x+）（）（|）的最小正周期为）的最小正周期为 ， 2， f（x）的图象经过点（）的图象经过点（0，）可得）可得 sin， 2k+，kZ，或，或 2k+，kZ， |， 故故 ， f（x）sin（2x+ ），）， 由由 2x+k，kZ，得：，得：x+k，kZ， 故选：故选
19、：C 10函数函数 y2x2+e|x|在区间在区间2，2上的图象大致为（上的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，求出【分析】根据题意，求出 f（2）的值，排除）的值，排除 A，进而可得，进而可得 f（0）1，f（）+ 1，f（1）2+e1，比较三个数值的大小可得答案，比较三个数值的大小可得答案 解：解：根据题意，函数根据题意，函数 yf（x）2x2+e|x|，有，有 f（2）8+e20，排除，排除 A， 又由又由 f（0）1，f（）+1，f（1）2+e1，排除，排除 C、D， 故选：故选：B 11已知双曲线已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别是）的左、右焦点分别是
20、F1，F2，若双曲线，若双曲线 C 上存在点上存在点 P 使使 0，PF1F2PF2F1，则双曲线，则双曲线 C 的离心率为（的离心率为（ ） A+1 B C+1 D 【分析】先设【分析】先设|F1F2|2c，由题意知，由题意知F1F2P 是直角三角形，利用是直角三角形，利用PF1F230，求出，求出 |PF1|、|PF2|，根据双曲线的定义求得，根据双曲线的定义求得 a， ，c 之间的关系，则双曲线的离心率可得之间的关系，则双曲线的离心率可得 解：解：设设|F1F2|2c， 由于由于 0，PF1F2PF2F1，则，则F1F2P 是直角三角形，是直角三角形，F1PF290， 由由 2PF1F2
21、PF2F1，则，则PF1F230， |PF2|c，|PF1|c， |PF2|PF1|cc2a， e 故选：故选：A 12设定义在（设定义在（0，+）上的单调函数）上的单调函数 f（x）对任意的）对任意的 x（0，+）都有）都有 f（f（x）log3x） 4，则不等式，则不等式 f（a2+2a）4 的解集为（的解集为（ ） Aa|a3 或或 a1 Ba|a1 Ca|3x1 Da|a3 【分析】设【分析】设 f（x0）4，则，则 f（x）log3xx0，于是，于是 f（x）log3x+x0，根据，根据 f（x0）4， 列方程解出列方程解出 x0得出得出 f（x）的解析式，根据）的解析式，根据 f（
22、x）的单调性列出不等式解出）的单调性列出不等式解出 a 解：解：设设 f（x0）4，则，则 f（x）log3xx0，f（x）log3x+x0， f（x0）4，log3x0+x04，解得，解得 x03 f（x）log3x+3， f（x）是增函数，）是增函数， f（a2+2a）4，f（a2+2a）f（3） a2+2a3，解得，解得 a3 或或 a1 故选：故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知已知 Sn为数列为数列an的前的前 n 项和，若项和，若 a11，an+12Sn+3，则数列，则数列an的通项公式为的通项公式
23、为 an 【分析】【分析】n2 时，时，an2Sn1+3，推导出，推导出3，从而数列，从而数列an是首项为是首项为 1，公比为，公比为 3 的等比数列，进而能求出数列的等比数列，进而能求出数列an的通项公式的通项公式 解：解：Sn为数列为数列an的前的前 n 项和，项和，a11，an+12Sn+3， n2 时，时，an2Sn1+3， ，得：，得：an+1an2an，an+13an，3， a22a1+35， 数列数列an的通项公式为的通项公式为 an 故答案为：故答案为：an 14若直线若直线 l：xa0 交抛物线交抛物线 yx2+1、函数、函数 ylnx 的图象分别于的图象分别于 M，N 两点
24、，则线段两点，则线段 MN 长的最小值是长的最小值是 ln 【分析】分别联立【分析】分别联立 xa0 与与 yx2+1、ylnx，分别求出，分别求出 M，N 坐标，则可表示坐标，则可表示 MN |a2+1lna|a2+1 lna，构造函数，利用导数即可求出最小值，构造函数，利用导数即可求出最小值 解：解：联立联立，得，得 M（a，a2+1）；联立）；联立，得，得 N（a，lna），）， 因为函数因为函数 yx2+1 图象始终在图象始终在 ylnx 图象上方，所以图象上方，所以 MN|a2+1lna|a2+1lna， 令令 f（a）a2+1lna，则，则 f（a）2a0，解得，解得 a， 且当且
25、当 0a时，时，f（a）单调递减，当）单调递减，当 a时，时，f（a）单调递增，）单调递增， 所以所以 f（a）最小值为）最小值为 f（）+1lnln 故答案为：故答案为：ln 15若实数若实数 x，y 满足不等式组满足不等式组，则，则 22x+y的最大值是的最大值是 64 【分析】由题意作出其平面区域，令【分析】由题意作出其平面区域，令 z2x+y 化为化为 y2x+z，z 相当于直线相当于直线 y2x+z 的纵截距，由几何意义可得的纵截距，由几何意义可得 z 的最大值；进而求出结论的最大值；进而求出结论 解：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）作出不等式组对应的平面区域如图：（
26、阴影部分） 令令 z2x+y 得得 y2x+z， 平移直线平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线由图象可知当直线 y2x+z 经过点经过点 A 时，直线时，直线 y2x+z 的截距最大，的截距最大， 此时此时 z 最大最大 由由，解得，解得，即，即 A（4，0），）， 代入代入 z2x+y 得得 z8 即目标函数即目标函数 22x+y的最大值是的最大值是 2864 故答故答案为：案为：64 16已知抛物线已知抛物线 y28x 的焦点为的焦点为 F，其准线交，其准线交 x 轴于点轴于点 C，过点，过点 F 的直线交该抛物线于的直线交该抛物线于 A， B 两点，若两点，若CBF90，则，则|AF
27、|BF| 8 【分析】设直线的方程与抛物线联立求出两根之积，若【分析】设直线的方程与抛物线联立求出两根之积，若CBF90，可得，可得0， 可得可得 B 的坐标，进而求出的坐标，进而求出 A 的坐标，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离的坐标，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离 可得结论可得结论 解：解：由抛物线的方程可得：焦点由抛物线的方程可得：焦点 F（2，0），准线方程为），准线方程为 x2，所以，所以 C 的坐标（的坐标（2， 0） 由抛物线的对称性，假设直线由抛物线的对称性，假设直线 AB 的斜率大于的斜率大于 0， 设直线设直线 AB 的方程为：的方程为：yk（x2
28、），设），设 A（x1，y1），），B（x2，y2），在），在 x 轴上方，即轴上方，即 x1x2， 联立直线与抛物线的方程可得：联立直线与抛物线的方程可得：， 整理可得：整理可得：k2x2（4k2+8）x+4k20，x1+x2，x1x24，* 若若CBF90，可得，可得0，即（，即（x2+2，y2）（）（x22，y2）0，即，即 x224+y220， 即即 x22+8x240，可得，可得 x24+2， 代入代入*可得可得 x12+4 由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：|AF|BF|（x1+2）（）（x2+2） x1x2（2+4
29、）（）（24）8； 故答案为：故答案为：8 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17已知在已知在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，cosA，asinA+bsinBcsinC asinB （1）求）求 B 的值；的值； （2）若）若 b10，求，求ABC 外接圆
30、的半径外接圆的半径 【 分 析 】 （【 分 析 】 （ 1 ） 因 为） 因 为asinA+bsinB csinC asinB ， 由 正 弦 定 理 得 ：， 由 正 弦 定 理 得 ： ，再利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出 cosC，进而求出，进而求出 sinC，又结合条件，又结合条件 cosA， 求出求出 sinA，再利用，再利用 cosBcos（A+C）求出）求出 cosB，从而求出，从而求出 B； （2）设）设ABC 外接圆的半径为外接圆的半径为 r，利用正弦定理，利用正弦定理，即可求出，即可求出ABC 外接圆的外接圆的 半径半径 解：解：（1）asinA+bsinBcsinC
31、asinB， 由正弦定理得：由正弦定理得：， cosC，sinC， 又又cosA，sinA， cosBcos（A+C）（）（cosAcosCsinAsinC） ，又，又 B（0，），）， B； （2）设）设ABC 外接圆的半径为外接圆的半径为 r， b10，B， 由正弦定理由正弦定理得：得：，r5， ABC 外接圆的半径为外接圆的半径为 5 18如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形中，底面四边形 ABCD 是菱形，是菱形，DAB60，PD平面平面 ABCD，PDAD2，E，F 分别为分别为 AB，PD 的中点的中点 （1）求证：）求证：AF平面平面 PEC； （2）求点）求
32、点 D 到平面到平面 PEC 的距离的距离 【分析】（【分析】（1）取）取 PC 中点中点 M，连结，连结 MF，ME，推导出四边形，推导出四边形 AEMF 是平行四边形，从是平行四边形，从 而而 AFEM，由此能证明，由此能证明 AF平面平面 PEC （2）设点）设点 D 到平面到平面 PEC 的距离为的距离为 h由由 VPCDEVDPEC，能求出点，能求出点 D 到平面到平面 PEC 的的 距离距离 解：解：（1）证明：取）证明：取 PC 中点中点 M，连结，连结 MF，ME， 底面四边形底面四边形 ABCD 是菱形，是菱形，DAB60，PD平面平面 ABCD， PDAD2，E，F 分别为
33、分别为 AB， ，PD 的中点的中点 MFAE，四边形，四边形 AEMF 是平行四边形，是平行四边形，AFEM， AF平面平面 PEC，ME平面平面 PEC， AF平面平面 PEC （2）解：底面四边形）解：底面四边形 ABCD 是菱形，是菱形，DAB60，PD平面平面 ABCD， PDAD2，E，F 分别为分别为 AB， ，PD 的中点的中点 DECD，DE，CE， PE，PC 2， S CDE， ， 设点设点 D 到平面到平面 PEC 的距离为的距离为 h VPCDEVDPEC， ， 解得解得 h 点点 D 到平面到平面 PEC 的距离为的距离为 19已知某大学有男生已知某大学有男生 14
34、000 人，女生人，女生 10000 人，大学行政主管部门想了解该大学学生的人，大学行政主管部门想了解该大学学生的 运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人，统计他们平均每天运人，统计他们平均每天运 动的时间（单位：小时）如表：动的时间（单位：小时）如表： 男生平均每天运动的时男生平均每天运动的时 间间 0，0.5） 0.5，1） 1，1.5） 1.5，2） 2， ，2.5） 2.5，3） 人数人数 2 12 23 18 10 x 女生平均每天运动的时女生平均每天运动的时 间间 0，0.5） 0.5，1） 1，1.5） 1
35、.5，2） 2， ，2.5） 2.5，3） 人数人数 5 12 18 10 3 y （1）求实数）求实数 x，y 的值；的值； （2）若从被抽取的）若从被抽取的 120 人平均每天运动时间（单位：小时）在范围人平均每天运动时间（单位：小时）在范围0，0.5）的人中随机）的人中随机 抽取抽取 2 人，求“被抽取的人，求“被抽取的 2 人性别不相同”的概率人性别不相同”的概率 【分析】（【分析】（1）利用分层抽样求出样本个数，再根据题意，求出）利用分层抽样求出样本个数，再根据题意，求出 x，y； （2）根据古典概型求出即可）根据古典概型求出即可 解：解：（1）男生）男生 14000 人，女生人，女
36、生 10000 人，男数：女数人，男数：女数7：5， 故男生抽取了故男生抽取了 120人，女生抽取了人，女生抽取了 50 人，由人，由 2+12+23+18+10+x70，x5， 5+12+18+10+3+y48+y50，y2； （2）从被抽取的）从被抽取的 120 人平均每天运动时间（单位：小时）在范围人平均每天运动时间（单位：小时）在范围0，0.5）的人中随机抽）的人中随机抽 取取 2 人，“被抽取的人，“被抽取的 2 人性别不相同”的事件为人性别不相同”的事件为 A， 共有共有 7 人，所以总共有人，所以总共有 21 种选法，种选法， 性别不同的有性别不同的有 10 种选法，种选法， 故
37、故 P（A） 20已知圆已知圆 C 的圆心坐标为（的圆心坐标为（，0），直线），直线 l：xy0 被圆被圆 C 截得的弦长为截得的弦长为 4 （1）求圆）求圆 C 的方程；的方程； （2）若过点）若过点 M（1，0）作斜率为）作斜率为 k 的直线的直线 n 交圆交圆 C 于于 A，B 两点，两点，O 为坐标原点，为坐标原点， 且直线且直线 OA，OB 的斜率乘积的斜率乘积 m 满足满足3，求直线，求直线 n 的方程的方程 【分析】（【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求得半径，）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求得半径， 则圆的方程可求；则
38、圆的方程可求； （2）联立直线方程与圆的方程，利用斜率公式及根与系数的关系列式求解）联立直线方程与圆的方程，利用斜率公式及根与系数的关系列式求解 k，则直线方，则直线方 程可求程可求 解：解：（1）圆心（）圆心（，0）到直线）到直线 l：xy0 的距离的距离 d， 直线直线 l：xy0 被圆被圆 C 截得的弦长为截得的弦长为 4，则圆的半径，则圆的半径 r 满足满足 圆圆 C 的方程为的方程为； （2）直线）直线 n 的方程为的方程为 yk（x+1），）， 联立联立， 得得， 直线直线 n 与圆与圆 C 交于交于 A，B 两点，两点， 则则0 恒成立恒成立 设设 A（x1，y1），），B（x2
39、，y2），则，则， 则则k2x1x2+（x1+x2）+1， m， 则则1+1+3 ， 解得解得 k29，即，即 k3 直线直线 n 的方程为：的方程为：y3（x+1） 21已知函数已知函数 f（x）axlnx4（aR） （1）若函数）若函数 f（x）在）在 xx0（x02）处取得极值，求实数）处取得极值，求实数 a 的取值范围；的取值范围； （2）当）当 a2 时，若存在时，若存在 m，n，+），且），且 mn，使得当，使得当 mxn 时时 f（x）的值）的值 域是域是，求实数，求实数 k 的最值的最值 【分析】（【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可）
40、先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可 求函数求函数的极值点，结合已知即可求解；的极值点，结合已知即可求解； （2）结合（）结合（1）中的单调性的讨论，可把问题转化为）中的单调性的讨论，可把问题转化为 f（x）在在）上至少）上至少 有有 2 个不同实数根，代入整理分离参数可得个不同实数根，代入整理分离参数可得 k2x22x（x+1）lnx4，构造函数，结，构造函数，结 合导数及函数的性质可求合导数及函数的性质可求 解：解：（1）函数的定义域（）函数的定义域（0，+），）， 当当 a0 时，时，f（x）0 恒成立，函数在（恒成立，函数在（0，+）上单调递减，没有极值；）
41、上单调递减，没有极值； 当当 a0 时，时，x时，时，f（x）0，函数单调递增，函数单调递增，x时，时，f（x） 0，函数单调递减，函数单调递减， 故当故当 x时，函数取得极小值，时，函数取得极小值， 由由 题意可得，题意可得， 所以所以 0a， （2）当）当 a2 时，时，f（x）2xlnx4， 由（由（1）可知，）可知，f（x）在（）在（）上单调递增，）上单调递增， 而存在而存在m，n，+），所以），所以 f（x）在）在m，n上单调递增，上单调递增， 结合结合 f（x）的值域是）的值域是，可得可得，其中，其中， 则则 f（x）在在）上至少有）上至少有 2 个不同实数根，个不同实数根， 由由 f（x）可得可得 k2x22x（x+1）lnx4， 令令 t（x）2x22x（x+1）lnx4，x， 则则 t（x）4x
