1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年四川省内江市高考数学一诊试卷（文科）年四川省内江市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题所给出的四个选项中，分在每个小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 ）只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 ） 1 （5 分）已知集合1A，2，m，3B ，4，1AB ，2，3，4，则(m ) A0 B3 C4 D3 或 4 2 （5 分）已知复数( 21 i zi i 为虚数单位） ，则复数z在复
2、平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知向量a、b满足| 1a ，| 4b ，且2a b ，则a与b夹角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 4 （5 分）割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边 形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为 3.1416在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取 自其内接正十二边形的概率为( ) A 1 B 3 C 3 D 3 3 2 5 （5 分）函数 2 ( )2f xxlnx的单调减区间是( ) A(0，1 B1，) C(，1(0，1 D 1，0)(0， 1 6 （5 分）已知
3、等比数列 n a是递增数列， 2 2a ， 3 7S ，则数列 1 n a 的前 5 项和为( ) A31 B31 或 31 4 C 31 16 D 31 16 或 31 4 7 （5 分）函数 2| | ( )2 x f xx的图象为( ) A B C D 第 2 页（共 17 页） 8 （5 分）已知 3 cos()( 33 为锐角） ，则sin( ) A 2 23 6 B 2 23 6 C 63 6 D 36 6 9 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入 的a，b分别为
4、 5，2，则输出的(n ) A5 B4 C3 D2 10 （5 分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第 20 行从左向右 的第 3 个数为( ) A193 B192 C174 D173 11 （5 分）定义在R上的偶函数( )f x满足：对0x 总有( )0fx，则( ) A 2 log 3 13 2 1 (2)( log 2)(log) 9 fff B 2 log 3 13 2 1 ( log 2)(log)(2) 9 fff 第 3 页（共 17 页） C 2 log 3 31 2 1 (log)( log 2)(2) 9 fff D 2 log 3 31 2 1 (
5、2)(log)( log 2) 9 fff 12 （5 分）已知曲线 3 :3S yxx，则过点(2,2)P可向S引切线，其切线条数为( ) A1 B2 C3 D0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分 ）分 ） 13 （5 分）函数 2 log (1)yx的零点是 14 （5 分）设函数 2 2 1,1 ( ) 2,1 xx f x xxx 则 1 () (2) f f 的值为 15 （5 分）已知各项均为正数的等比数列 n a， 123 3a a a ， 789 27a a a ，则 456 a a a 16（5 分） 已知
6、函数 2 2 2 ,0 ( ) |log|,0 xx x f x x x ， 若 1234 xxxx ， 且 1234 ( )( )( )( )fxfxfxfx， 则下列结论： 12 1xx ， 34 1x x ， 1234 1 0 2 xxxx， 1234 01x x x x，其 中正确的序号为 （把你认为正确的结论都填上） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共
7、题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共 60 分分 17 （ 12分 ）ABC的 内 角A、B、C的 对 边 分 别 为a、b、c， 设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求A； （2）当6a 时，求其面积的最大值，并判断此时ABC的形状 18（12 分） 某校为提高课堂教学效果， 最近立项了市级课题 高效课堂教学模式及其运用 ， 其中王老师是该课题的主研人之一， 为获得第一手数据， 她分别在甲、 乙两个平行班采用 “传 统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验 为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，
8、 作出如图所示的茎叶图，成绩大于 70 分为“成绩优良” （1） 由以上统计数据填写下面22列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提 下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 第 4 页（共 17 页） 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 （2）从甲、乙两班 40 个样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的学生中任意选取 2 人， 求这 2 人来自不同班级的概率 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ac bd ab cd （其中)nabcd， 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0 K 2.706 3.841 5.
9、024 6.635 19 （12 分）设函数 2132 ( ) x f xx eaxbx ，已知2x 和1x 为( )f x的极值点 （1）求a和b的值； （2）讨论( )f x的单调性 20 （12 分）已知数列 2 log (1)(*) n anN为等差数列，且 1 3a ， 3 9a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 n n b a ， n S为数列 n b的前n项和，若对任意*nN，总有 4 3 n m S ，求m的 取值范围 21 （12 分）已知函数( ) lnx f x x （1）求函数( )f x的单调区间； （2）证明：对一切(0,)x，都有 2 2 x x
10、x lnx ee 成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22 （10 分）已知直线l经过点(1,1)P，倾斜角 6 第 5 页（共 17 页） （1）写出直线l的参数方程； （2）设l与圆 22 4xy相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积 23设函数( ) |2|f xxax （）当1a 时，求不等式( ) 5f x 的解集； （）若( ) 4f x 恒成立，求a的取值范围 第 6 页（共 17 页） 2020 年四川省内江市高考数学一诊试
11、卷（文科）年四川省内江市高考数学一诊试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题所给出的四个选项中，分在每个小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 ）只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 ） 1 （5 分）已知集合1A，2，m，3B ，4，1AB ，2，3，4，则(m ) A0 B3 C4 D3 或 4 【解答】解：1A，2，m，3B ，4，1AB ，2，3，4， 3m或4m ， 故选：D 2 （5 分）已
12、知复数( 21 i zi i 为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： (12 )21 21(12 )(12 )55 iii zi iii ， 复数z在复平面内对应的点的坐标为 2 1 ( , ) 5 5 ，位于第一象限 故选：A 3 （5 分）已知向量a、b满足| 1a ，| 4b ，且2a b ，则a与b夹角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：向量a、b满足| 1,| 4ab，且.2ab ， 设a与b的夹角为， 则 1 cos 2| | a b ab ， 【0】 ， 3 ， 故选：C 4 （5 分）
13、割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边 形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为 3.1416在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取 自其内接正十二边形的概率为( ) 第 7 页（共 17 页） A 1 B 3 C 3 D 3 3 2 【解答】解：半径为 1 的圆内接正十二边形，可分割为 12 个顶角为212 6 ，腰为 1 的 等腰三角形， 该正十二边形的面积为 1 121 1 sin3 26 S ， 根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为 3 ， 故选：B 5 （5 分）函数 2 ( )2f xxlnx的单调减区间是( ) A(0，1 B1，) C
14、(，1(0，1 D 1，0)(0， 1 【解答】解： 2 222 ( )2 x fxx xx ，(0)x ， 令( ) 0fx，解得：01x ， 故选：A 6 （5 分）已知等比数列 n a是递增数列， 2 2a ， 3 7S ，则数列 1 n a 的前 5 项和为( ) A31 B31 或 31 4 C 31 16 D 31 16 或 31 4 【解答】解：等比数列 n a是递增数列，且公比设为q， 2 2a ， 3 7S ， 可得 1 2a q ， 2 111 7aa qa q， 解得 1 1a 2q ，或 1 4a ， 1 2 q （舍去） ， 第 8 页（共 17 页） 则 1 11
15、2n n a ，数列 1 n a 的前 5 项和为 5 1 1 1131 2 1 1 21616 1 2 故选：C 7 （5 分）函数 2| | ( )2 x f xx的图象为( ) A B C D 【解答】解：函数 2| | ( )2 x f xx满足( )()f xfx，所以函数是偶函数， 图象关于y轴对称，排除B、D，又当0x 时，1y ，所以C正确 故选：C 8 （5 分）已知 3 cos()( 33 为锐角） ，则sin( ) A 2 23 6 B 2 23 6 C 63 6 D 36 6 【解答】解： 3 cos()( 33 为锐角） ， 16 sin() 33 ， 则 11113
16、1 sinsin()sin()cos() 332323 ， 1633 () 2323 ， 36 6 故选：C 9 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入 的a，b分别为 5，2，则输出的(n ) 第 9 页（共 17 页） A5 B4 C3 D2 【解答】解：当1n 时， 15 2 a ，4b ，满足进行循环的条件， 当2n 时， 45 4 a ，8b 满足进行循环的条件， 当3n 时， 135 8 a ，16b 满足进行循环的条件， 当4n 时， 405 16 a ，32b
17、不满足进行循环的条件， 故输出的n值为 4， 故选：B 10 （5 分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第 20 行从左向右 的第 3 个数为( ) A193 B192 C174 D173 【解答】解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为 1、2、4、7、， 第 10 页（共 17 页） 则第n行的第一个数字为 (1) 1 2 n n ， 则第 20 行的第一个数字为 191，故第 20 行从左向右的第 3 个数为 193； 故选：A 11 （5 分）定义在R上的偶函数( )f x满足：对0x 总有( )0fx，则( ) A 2 log 3 13 2 1 (2)
18、( log 2)(log) 9 fff B 2 log 3 13 2 1 ( log 2)(log)(2) 9 fff C 2 log 3 31 2 1 (log)( log 2)(2) 9 fff D 2 log 3 31 2 1 (2)(log)( log 2) 9 fff 【解答】解：由题意可知，偶函数( )f x在(0,)上单调递减，故在(,0)上单调递增，距 离对称轴越远，函数值越小， 23 (2) log ff（3） ， 1 2 (l o g2 )ff（1） ， 3 1 ( l o g )(2 ) 9 fff （2） ， f（3）f（2）f（1） ， 2 log 3 31 2 1
19、(2)(log)( log 2) 9 fff 故选：D 12 （5 分）已知曲线 3 :3S yxx，则过点(2,2)P可向S引切线，其切线条数为( ) A1 B2 C3 D0 【解答】解：由 3 3yxx，得 2 33yx ， 设切点为 3 000 (,3)xxx，则 0 2 0 |33 x x yx ， 在切点处的切线方程为 32 0000 3(33)()yxxxxx， 代入(2,2)P，得 32 0000 23(33)(2)xxxx， 整理得： 2 000 (1)(22)0xxx 解得 0 1x 或 0 13x 过点(2,2)P可向S引 3 条切线 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空
20、题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分 ）分 ） 第 11 页（共 17 页） 13 （5 分）函数 2 log (1)yx的零点是 2 【解答】解：令 2 log (1)0yx， 则11x ， 解得：2x ， 故函数 2 log (1)yx的零点是 2， 故答案为：2 14 （5 分）设函数 2 2 1,1 ( ) 2,1 xx f x xxx 则 1 () (2) f f 的值为 15 16 【解答】解：由于21，故f（2） 2 2224 故 11 1 (2)4f 故 2 1115 ()1( ) (2)416 f f 故答案为 15 16 15 （5 分
21、） 已知各项均为正数的等比数列 n a， 123 3a a a ， 789 27a a a ， 则 456 a a a 9 【解答】解：依题意， 3 1232 3a a aa，得 3 2 3a ， 3 7898 27a a aa，得 8 3a ， 14 33 332 33 22 456528 ()(3 3)339a a aaa a 故答案为：9 16（5 分） 已知函数 2 2 2 ,0 ( ) |log|,0 xx x f x x x ， 若 1234 xxxx ， 且 1234 ( )( )( )( )fxfxfxfx， 则下列结论： 12 1xx ， 34 1x x ， 1234 1 0
22、 2 xxxx， 1234 01x x x x，其 中正确的序号为 （把你认为正确的结论都填上） 【解答】解：作出函数 2 2 2 ,0 ( ) |log|,0 xx x f x x x 的图象如图， 第 12 页（共 17 页） 则 12 2xx ，故错误； 由 34 ()()f xf x，得 2324 |log| |log|xx， 2324 loglogxx， 则 234 log ()0x x，即 34 1x x ，故正确； 1234343 3 1 22xxxxxxx x ， 由 2 log1x ，得 1 2 x ，则 3 1 1 2 x， 3 3 11 2(0, ) 2 x x ，即 1
23、234 1 0 2 xxxx，故正确； 2 1234121111 ( 2)2x x x xx xxxxx ， 1 21x ， 2 11 2(0,1)xx， 即 1234 01x x x x，故正确 正确命题的序号是 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共 60 分分 17 （ 12分 ）ABC的 内 角A
24、、B、C的 对 边 分 别 为a、b、c， 设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求A； （2）当6a 时，求其面积的最大值，并判断此时ABC的形状 【解答】解： （1）根据题意， 22 (sinsin)sinsinsinBCABC， 由正弦定理可得： 22 ()bcabc， 变形可得： 222 bcabc， 第 13 页（共 17 页） 则 222 1 cos 22 bca A bc ， 又由0A，则 3 A ； （2）根据题意，若6a ，则 22222 2cos36abcbcAbcbc， 变形可得：36bc， 则有 13 sin9 3 24 SbcAbc， 当且仅当
25、bc时等号成立，此时ABC为等边三角形 18（12 分） 某校为提高课堂教学效果， 最近立项了市级课题 高效课堂教学模式及其运用 ， 其中王老师是该课题的主研人之一， 为获得第一手数据， 她分别在甲、 乙两个平行班采用 “传 统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验 为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计， 作出如图所示的茎叶图，成绩大于 70 分为“成绩优良” （1） 由以上统计数据填写下面22列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提 下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 （
26、2）从甲、乙两班 40 个样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的学生中任意选取 2 人， 求这 2 人来自不同班级的概率 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ac bd ab cd （其中)nabcd， 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0 K 2.706 3.841 5.024 6.635 第 14 页（共 17 页） 【解答】解： （1）根据茎叶图中数据，填写22列联表如下； 甲班 乙班 总计 成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 由表中数据，计算 2 2 40(10416 10) 3.
27、9563.841 202026 14 K ， 所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“成绩优良与教学方式有关” ； （2） 样本中成绩在 60 分以下 （不含 60 分） 的学生中甲班有 4 人， 分别记为a、b、c、d， 乙班有 2 人，分别记为E、F， 从这 6 人中任意选取 2 人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、 cd、cE、cF、dE、dF、EF共 15 个； 设事件A表示“这 2 人来自不同班级” ， 则A的所有可能情况为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共 8 种； 故所求的概率为 8 15 P 19 （12 分）设函
28、数 2132 ( ) x f xx eaxbx ，已知2x 和1x 为( )f x的极值点 （1）求a和b的值； （2）讨论( )f x的单调性 【解答】解：显然( )f x的定义域为R （1） 12121 ( )232(2)(32 ) xxx fxxex eaxbxxexxaxb ， （2 分） 由2x 和1x 为( )f x的极值点，得 ( 2)0 (1)0. f f （4 分） 即 620 3320 ab ab （5 分） 解得 1 3 1. a b （7 分） （2）由（1）得 1 ( )(2)(1) x fxx xe （8 分） 令( )0fx，得 1 2x ， 2 0x ， 3 1
29、x （10 分）( )fx、( )f x随x的变化情况如下表： （13 第 15 页（共 17 页） 分） x (, 2) 2 ( 2,0) 0 (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 0 0 ( )f x 极小值 极大值 极小值 从上表可知：函数( )f x在( 2,0)和(1,)上是单调递增的，在(, 2) 和(0,1)上是单调递 减的 （14 分） 20 （12 分）已知数列 2 log (1)(*) n anN为等差数列，且 1 3a ， 3 9a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 n n b a ， n S为数列 n b的前n项和，若对任意*nN，总有 4 3 n
30、 m S ，求m的 取值范围 【解答】解： （1）数列 2 log (1)(*) n anN为等差数列，设公差为d， 1 3a ， 3 9a ，可得 22 log (91)log (3 1)2d，即312d ，解得1d ， 则 2 log (1)11 n ann ，即12n n a ； （2） 1 221 ( ) 121 12 n n n n b a ， 1 1 1 2 2(1)2 1 2 1 2 n n n S ， 对任意*nN，总有 4 3 n m S ， 可得 4 2 3 m ，解得10m， 可得m的取值范围是10，) 21 （12 分）已知函数( ) lnx f x x （1）求函数(
31、 )f x的单调区间； （2）证明：对一切(0,)x，都有 2 2 x xx lnx ee 成立 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)， 2 1 ( ) lnx fx x ， 令( )0fx，解得0xe，令( )0fx，解xe， 函数( )f x的增区间为(0, ) e，减区间为( ,)e ； 第 16 页（共 17 页） （2）证明： 2 2 x xx lnx ee 等价于 2 x lnxx xee ，即证 2 ( ) x x f x ee ， 由（1）知， 1 ( )( )f xf e e ，当xe时取等号， 令 2 ( ) x x m x ee ，则 1 ( ) x x m x e
32、 ，易知函数( )m x在(0,1)递减，在(1,)递增， 1 ( )(1)m xm e ，当1x 时取等号， ( )( )f xm x对一切(0,)x都成立，则对一切(0,)x，都有 2 2 x xx lnx ee 成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22 （10 分）已知直线l经过点(1,1)P，倾斜角 6 （1）写出直线l的参数方程； （2）设l与圆 22 4xy相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积 【解答】解： （1）因为直线l经
33、过点(1,1)P，倾斜角 6 所以直线l的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt ，即 3 1 2 ( 1 1 2 xt t yt 为参数） （2） 将直线l的参数方程代入圆的方程得： 22 31 (1)(1)4 22 tt， 即 2 ( 3 1 )2 0tt， 则 1 2 2t t ，所以 1 2 | 2t t ，即P到A，B两点的距离之积为 2 23设函数( ) |2|f xxax （）当1a 时，求不等式( ) 5f x 的解集； （）若( ) 4f x 恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （）1a 时，( ) |1|2|5f xxx， 故 2 12 5 x xx 或 12 125 x xx 或 125 1 xx x ， 解得：23x 剟， 故不等式的解集是 2，3； （）|2|2| |2|4xaxxaxa厖， 故2 4a 或24a， 解得：2a或6a， 第 17 页（共 17 页） 故(a ，62，)
