1、专题八几何最值问题最值问题最值问题,是中考数学中最常见的压轴题是中考数学中最常见的压轴题.选择、填空、解答各种题型中都选择、填空、解答各种题型中都有它的影子有它的影子,它几乎成了压轴题的代名词它几乎成了压轴题的代名词.难度大难度大,是这种题型最大的特点是这种题型最大的特点,其次其次是这种题型思路比较特别是这种题型思路比较特别,比较固定比较固定,第三个特点就是这种问题的综合性较强第三个特点就是这种问题的综合性较强,牵扯的知识点较多牵扯的知识点较多.第四个特点就是这种最值问题多数都与动点有关第四个特点就是这种最值问题多数都与动点有关.现在现在,比比较常见的最值问题较常见的最值问题,大致可以分为以下
2、几种大致可以分为以下几种将军饮马问题、阿氏圆问题、费将军饮马问题、阿氏圆问题、费马点问题马点问题,当然还有一些其他的当然还有一些其他的.考点例析疑难突破类型一类型一 将军饮马问题将军饮马问题作轴对称作轴对称此类问题的难点在于此类问题的难点在于PAPA+PBPB是一段折线段是一段折线段,通过观察图形很难得出结果通过观察图形很难得出结果,关关于最小值于最小值,我们知道我们知道“两点之间两点之间,线段最短线段最短”“”“点到直线的连线中点到直线的连线中,垂线段最短垂线段最短”等等,所以此处所以此处,需转化问题需转化问题,将折线段变为直线段将折线段变为直线段.【例例1 1】(2020(2020恩施州恩
3、施州)如图如图,正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为4,4,点点E E在在ABAB上且上且BEBE=1,=1,F F为对为对角线角线ACAC上一动点上一动点,则则BFEBFE周长的最小值为周长的最小值为()A A.5 5B B.6 6C C.7 7D D.8 8【思路点拨思路点拨】连接连接EDED交交ACAC于一点于一点F F,连接连接BFBF,根据正方形的对称性得到此时根据正方形的对称性得到此时BFEBFE的周长最小的周长最小,利用勾股定理求出利用勾股定理求出DEDE即可得到答案即可得到答案.B B类型二类型二 费马点问题费马点问题作旋转变换作旋转变换(60(60)解决几个线段和的最
4、值问题的基本策略就是化折为直解决几个线段和的最值问题的基本策略就是化折为直,这里的三条线段的这里的三条线段的和和,我们怎样才能将其连接起来变成一条折线呢我们怎样才能将其连接起来变成一条折线呢?解决办法就是费马给出的旋转解决办法就是费马给出的旋转法法,如图如图1 1我们将三角形我们将三角形APCAPC绕着点绕着点A A逆时针旋转逆时针旋转6060到三角形到三角形AQEAQE的位置的位置,此时易此时易证证APQAPQ是等边三角形是等边三角形,所以所以PAPA+PBPB+PCPC=PQPQ+PBPB+QEQE,这样原问题的三条线段就变成这样原问题的三条线段就变成了一条折线了一条折线,很显然很显然,只
5、有当只有当B B,P P,Q Q,E E四点共线时四点共线时(如图如图2)2)有最小值有最小值,最小值即为最小值即为BEBE的长的长.求求BEBE的长只要利用三角函数或勾股定理即可解决的长只要利用三角函数或勾股定理即可解决.【例例2 2】(2019(2019武汉武汉)问题背景问题背景:如图如图1,1,将将ABCABC绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转6060得到得到ADEADE,DEDE与与BCBC交于点交于点P P,可推出结论可推出结论:PAPA+PCPC=PE.PE.问题解决问题解决:如图如图2,2,在在MNGMNG中中,MNMN=6,=6,M M=75=75,MGMG=4 =4 .点点O
6、 O是是MNGMNG内一点内一点,则点则点O O到到MNGMNG三个顶点的距离和的最小值是三个顶点的距离和的最小值是_._.22 29【思路点拨思路点拨】以以MGMG为边作等边为边作等边MGDMGD,以以OMOM为边作等边为边作等边OME.OME.连接连接NDND,DEDE,作作DFDFNMNM,交交NMNM的延长线于的延长线于F.F.可证可证GMOGMODMEDME,可得可得GOGO=DEDE,则则MOMO+NONO+GOGO=NONO+OEOE+DEDE,即当即当D D,E E,O O,N N四点共线时四点共线时,MOMO+NONO+GOGO值最小值最小,最小值为最小值为NDND的长度的长
7、度,根据勾根据勾股定理先求得股定理先求得MFMF,DFDF,然后求然后求NDND的长度的长度,即可求即可求MOMO+NONO+GOGO的最小值的最小值.类型三类型三 阿氏圆问题阿氏圆问题构造母子相似三角形构造母子相似三角形一类形如求一类形如求PAPA+kPBkPB最小值问题最小值问题,我们只要构造一对母子相似的三角形我们只要构造一对母子相似的三角形,其相其相似比为似比为k k,将其中的将其中的kPBkPB用与用与PBPB的对应边来等量代换的对应边来等量代换,这样就把原问题转化为这样就把原问题转化为PAPA+PCPC的最小值问题的最小值问题,然后利用两点之间线段最短来求解即可然后利用两点之间线段
8、最短来求解即可.【例例3 3】如图如图,在在ABCABC中中,B B=90=90,ABAB=CBCB=2,=2,以以B B为圆心作圆为圆心作圆B B与与ACAC相切相切,点点P P为为圆圆B B上任一动点上任一动点,则则PAPA+PCPC的最小值是的最小值是_._.225【思路点拨思路点拨】作作BHBHACAC于于H H,取取BCBC的中点的中点D D,连接连接PDPD,PBPB,根据切线的性质得根据切线的性质得BHBH为为B B的半径的半径,再根据等腰直角三角形的性质得到再根据等腰直角三角形的性质得到BHBH=,接着证明接着证明BPDBPDBCPBCP得到得到PDPD=PCPC,所以所以PAPA+PCPC=PAPA+PDPD,而而PAPA+PDPDADAD(当且仅当当且仅当A A,P P,D D共线时取等号共线时取等号),),从而计算出从而计算出ADAD得到得到PAPA+PCPC的最小值的最小值.1AC22222222广东3年中考真题考点过关当堂演练
