1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高考数学模拟试卷（2 月份）月份） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位 置上）置上） 1 （5 分）若2A，3，5，1U ，2，3，4，5，6，则() U AU 2 （5 分）若 2 ziii，i为虚数，则|1|z 的值为 3 （5 分）若( )f x满足 2 1 2 ( )( )25f xfxx x ，则f（2） 4 （5 分）一个算法的伪代码如图所示，则最后输出的T值为 5 （5 分）函数( )
2、11f xxx的定义域为 6 （5 分）袋中有 4 个小球，分别为 2 个白球，1 个蓝球和 1 个黑球现在从袋中无放回地 依次摸出 2 个球，则摸出的球全为白球的概率为 7 （5 分） 32 ( )321f xxxx在区间0，1上的最大值为 8 （5 分）已知椭圆 22 1 94 xy ，P为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点， 1 F， 2 F分别 为椭圆的左右焦点若已知 12 60FPF，则 12 F PF S的值为 9 （5 分） 设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直， 且PAam， PBbm，PCcm，若 2222 16abcm，则球O的体积为 10 （5 分
3、）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2, 6 aA ，若AB 边上存在一点D且D不在AB的两端，使得CDa，则b的取值范围为 第 2 页（共 20 页） 11（5 分） 已知实数0a ， 函数 2,1 ( ) 2 ,1 xa x f x xa x ， 若( 1)( 1)fafa ， 则a的值为 12（5 分） 在等边三角形ABC中， 已知( 2,0), ( 1, 3),(0,0)ABC， 点M与点P分别在边BC， BA上，且 1 3 BMMC，BPBA，若PM的中点为S，且 13 4 BS ，则的值为 13 （5 分）已知数列 n a， n b的通项公式分别为31,2 , n
4、 nn anbnN，将 n a与 n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新的数列（相同元素以一个计）:2，4，5， 8，11，记新的数列为 n c，若2018 n c ，则n的值为 14 （5 分）对1x ， 244 2 log12 log5 log 4 ( ,)axaxbx a bR恒成立，则23ab的最大 值为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 15 （14 分）已知(sin,cos2 ),(si
5、n2 ,cos )ab，则： （1）若 5 6 ，求a b的值； （2）若 4 ( )sin(), 63 3 fa b ，求( )f的最值 16（14 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAD 平面ABCD，ABAD，60BAD， E、F分别是AP、AD的中点，求证： （1）直线/ /EF平面PCD； （2）平面BEF 平面PAD 17 （14 分）如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路 l l， 2 l，且 l l和 2 l交于 点O为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB景观湖的轮 廓可以近似看成一个圆心为O， 半径为 2 百米的圆， 且公路AB与圆
6、O相切， 圆心O到 l l， 2 l的距离均为 5 百米，设OAB，AB长为L百米 第 3 页（共 20 页） （1）求L关于的函数解析式； （2）当为何值时，公路AB的长度最短？ 18 （16 分）过椭圆 2 2 :1 2 x Wy的左焦点 1 F作直线 1 l交椭圆于A，B两点，其中(0,1)A， 另一条过 1 F的直线 2 l交椭圆于C，D两点 （不与A，B重合） ， 且D点不与点(0, 1)重合 过 1 F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G （1）求B点坐标和直线 1 l的方程； （2）比较线段 1 EF和线段 1 GF的长度关系并给出证明 19 （16 分）已知 3 ( ) |
7、f xcxaxb，a，b，cR，则： （1）若1a ，1b ，1c ，求f（2）的值； （2）若1a ，1b ，1c ，讨论( )f x单调性； （3）若4c ，对 1x ，1恒有( ) 0f x 成立，则当b取最小值时，求a的值 20 （16 分）已知数列 n a为等差数列，且满足 1 43,3, n a ananN，又已知数列 n b， 且数列 n b满足 2 2 5,14 2,5 n n n nan b nan 剟 ，nN，则： （1）求 n a的通项公式； （2）求 n b的最小项的值； （3）若1 n n b b a ，nN时，n可取 7 个不同整数值，求实数b的取值范围 【选做题】
8、本题包括【选做题】本题包括 A、B 两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多 做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）设二阶矩阵A，B满足 1 12 34 A ， 1 10 () 01 BA ，求 1 B 第 4 页（共 20 页） B选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22
9、 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，射线:3 (0)lyx x，曲线 1 C的参数方程为 3cos ( 2sin x y 为参数） ，曲线 2 C的方程为 22 (2)4xy；以原点为极点，x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 3 C的极坐标方程为8sin （1）写出射线l的极坐标方程以及曲线 1 C的普通方程； （2）已知射线l与 2 C交于O，M，与 3 C交于O，N，求|MN的值 选做题选做题 23 （10 分）为迎接 2022 年冬奥会，连云港市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在 培训结束后对学生进行了考核记X表示学生的考核成绩，并规定85X为考核优秀为 了了解本次培训活动
10、的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作 成如下茎叶图 （1） 从参加培训的学生中随机选取 1 人， 请根据图中数据， 估计这名学生考核优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足70X ，79的学生中任取 3 人，设Y表示这 3 人重成绩满足 |85| 10X 的人数，求Y的分布列和数学期望 24已知( )f xxlnx，则： 若 9 ( )12 3 ()log 3 3189 x e fxln ln ，求x； 若 1212 1 ,( ,1),1x xxx e ，求证： 4 1212 ()x xxx 第 5 页（共 20 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高
11、考数学模拟试卷（2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位 置上）置上） 1 （5 分）若2A，3，5，1U ，2，3，4，5，6，则() U AU 1，4，6 【解答】解：2A，3，5，1U ，2，3，4，5，6， 2AU，3，5， ()1 U AU，4，6 故答案为：1，4，6 2 （5 分）若 2 ziii，i为虚数，则|1|z 的值为 5 【解答】解：由 2 ziii，得 2 1( 1)() 1 iii zi ii
12、， 1zi ，则|1| | 2|5zi 故答案为：5 3 （5 分）若( )f x满足 2 1 2 ( )( )25f xfxx x ，则f（2） 2 3 【解答】解：根据题意，( )f x满足 2 1 2 ( )( )25f xfxx x ， 令2x 可得：2f（2） 1 ( )2 2 f ， 令 1 2 x 可得： 1 2 ( ) 2 ff（2）2 ， 联立，解可得f（2） 2 3 ； 故答案为： 2 3 4 （5 分）一个算法的伪代码如图所示，则最后输出的T值为 56 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：模拟程序的运行，可得 2i ，3S 满足条件7i ，执行循环体，4i ，5S 满
13、足条件7i ，执行循环体，8i ，7S 此时，不满足条件7i ，退出循环，可得7856T 故答案为：56 5 （5 分）函数( )11f xxx的定义域为 0，1 【解答】解：要使原函数有意义，则11 0xx ， 即11xx， 则 10 0 112 x x xxx ，解得01x剟 函数( )11f xxx的定义域为0，1 故答案为：0，1 6 （5 分）袋中有 4 个小球，分别为 2 个白球，1 个蓝球和 1 个黑球现在从袋中无放回地 依次摸出 2 个球，则摸出的球全为白球的概率为 1 6 【解答】解：袋中有 4 个小球，分别为 2 个白球，1 个蓝球和 1 个黑球 现在从袋中无放回地依次摸出
14、 2 个球， 第 7 页（共 20 页） 则摸出的球全为白球的概率 211 436 p 故答案为： 1 6 7 （5 分） 32 ( )321f xxxx在区间0，1上的最大值为 2 3 1 9 【解答】解： 2 ( )362fxxx， 令( )0fx得， 3 1 3 x ， 令( )0fx得， 3 1 3 x 或 3 1 3 x ，( )f x在 3 (,1) 3 和 3 (1 3 ，)上单调递增， 令( )0fx得， 33 11 33 x ，( )f x在 3 (1 3 ， 3 1) 3 上单调递减， 函数( )f x在0， 3 1 3 上单调递增，在 3 1 3 ，1上单调递减， 函数(
15、 )f x在0，1上的最大值为 32 3 (1)1 39 f ， 故答案为： 2 3 1 9 8 （5 分）已知椭圆 22 1 94 xy ，P为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点， 1 F， 2 F分别 为椭圆的左右焦点若已知 12 60FPF，则 12 F PF S的值为 4 3 3 【解答】解：由题意可得焦距 12 2| 2 942 5cFF， 12 PFPF 在 12 PFF中，由余弦定理可得： 2222 12121212121212 2cos()22cos60FFPFPFPF PFFPFPFPFPF PFPFPF， 即 22 12 443caPFPF，可得 12 20493PF PF，
16、所以 12 16 3 PF PF ， 所以 12 12 11 1634 3 sin60 22 323 F PF SPF PF， 故答案为： 4 3 3 第 8 页（共 20 页） 9 （5 分） 设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直， 且PAam， PBbm，PCcm，若 2222 16abcm，则球O的体积为 32 3 【解答】解：把三棱锥PABC补成长方体，如图所示： 球O就是长方体的外接球， 球O的半径 222 1 2 2 Rabc， 球O的体积为： 3 432 33 R， 故答案为： 32 3 10 （5 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已
17、知2, 6 aA ，若AB 边上存在一点D且D不在AB的两端，使得CDa，则b的取值范围为 (2,4) 【解答】解：如图，设点( 1,0)B ，(1,0)C，构造以点(0, 3)M为圆心，2 为半径的圆M， 则点A在以BC为弦所对的优弧（不包括端点B，)C上运动， 构造以点(1,0)C为圆心，2 为半径的圆C（图中红色圆） ， 依题意，需线段AB与圆C有交点，显然当A在 1 A点处时，b取得最小值为 2， 当点A在直线CM于圆M的交点 2 A处时，b取得最大值为 4， 又D不在AB的两端，则b的取值范围为(2,4) 故答案为：(2,4) 第 9 页（共 20 页） 11 （5 分）已知实数0a
18、 ，函数 2,1 ( ) 2 ,1 xa x f x xa x ，若(1)(1)fafa，则a的值为 3 4 【解答】解：当0a 时，11a，11a 2(1)12aaaa 解得 3 2 a 舍去 当0a 时，11a，11a 1222aaaa 解得 3 4 a 故答案为 3 4 12（5 分） 在等边三角形ABC中， 已知( 2,0), ( 1, 3),(0,0)ABC， 点M与点P分别在边BC， BA上，且 1 3 BMMC，BPBA，若PM的中点为S，且 13 4 BS ，则的值为 102 4 【解答】解：由 1 3 BMMC，可得(1 M x， 1 3)( 3 MM yx，) M y，可得
19、： 3 4 M x ， 3 4 M y，即 3 ( 4 M ， 3) 4 ， 由BPBA，可得(1 P x ，3)( 1 P y，3)，可得1 P x ，33 P y ， 即(1,33)P， 所 以 可 得PM的 中 点 为S的 坐 标 ( 74) ( 8 ， 5 34 3 ) 8 ， 所 以 第 10 页（共 20 页） 2 222 745 34 316167 13 8816 BS ， 由题意可得 2 13 16 BS ， 所以 2 1316167，即 2 8830，0解得 102 4 ， 故答案为： 102 4 13 （5 分）已知数列 n a， n b的通项公式分别为31,2 , n n
20、n anbnN，将 n a与 n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新的数列（相同元素以一个计）:2，4，5， 8，11，记新的数列为 n c，若2018 n c ，则n的值为 678 【解答】解：由31,2 , n nn anbnN可得:2 n a，5，8，11，14，17，20，23，26，29， 32，35， :2 n b，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048，4096，8192， 可得 n a与 n b中的公共项为 2，8，32，128，512，2048， 且 2 到 8 之间有 2 个元素， 8 到 32 之间有 8 个元素， 32 到 1
21、28 之间有 32 个元素， 128 到 512 之间有 128 个元素， 512 到 2048 之间有 512 个元素， 由2832128512682，而102420182048，且 2018 在数列 n a， 而 2018 到 2048 之间有 9 个元素，则68259678n ， 故答案为：678 14 （5 分）对1x ， 244 2 log12 log5 log 4 ( ,)axaxbx a bR恒成立，则23ab的最大 值为 4 15 【解答】解： 244 2 log12 log5 log 4axaxbx， 2442 5 2 (loglog)5 (1log)(3)log51 2 a
22、xxbxabxb， 1x ， 2 log0x， 若 2 5 (3)log51 2 abxb恒成立， 则 5 30 2 ab且51b， 令 5 23(3) 2 abtabmb， 第 11 页（共 20 页） 则32t ， 5 3 2 tm， 解得： 2 3 t ， 4 3 m ， 2542414 23(3)0 32333515 ababb， 故答案为： 4 15 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 15 （14 分）
23、已知(sin,cos2 ),(sin2 ,cos )ab，则： （1）若 5 6 ，求a b的值； （2）若 4 ( )sin(), 63 3 fa b ，求( )f的最值 【解答】解：因为(sin,cos2 ),(sin2 ,cos )ab， sinsin2cos2 coscosa b； （1）若 5 6 ，则 53 cos 62 a b ； （2） 33 ( )sin()cossincos3sin() 6223 f ； 3 ， 4 3 ； 0 3 ， 5 3 ； 37 326 时( )f最小，最小值为：3( 1)3 ； 326 时( )f最大，最大值为：3 13 16（14 分） 如图，
24、在四棱锥PABCD中， 平面PAD 平面ABCD，ABAD，60BAD， E、F分别是AP、AD的中点，求证： （1）直线/ /EF平面PCD； （2）平面BEF 平面PAD 第 12 页（共 20 页） 【解答】证明： （1）在PAD中， E，F分别为AP，AD的中点， / /EFPD 又EF不在平面PCD中，PD 平面PCD 直线/ /EF平面PCD （2）连接BD在ABD中， ABAD，60BAD即两底角相等并且等于60， ABD为正三角形 F是AD的中点， BFAD 平面PAD 平面ABCD，BF 平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， BF平面PAD 又BF 平面EBF，平面B
25、EF 平面PAD 17 （14 分）如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路 l l， 2 l，且 l l和 2 l交于 点O为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB景观湖的轮 廓可以近似看成一个圆心为O， 半径为 2 百米的圆， 且公路AB与圆O相切， 圆心O到 l l， 2 l的距离均为 5 百米，设OAB，AB长为L百米 （1）求L关于的函数解析式； 第 13 页（共 20 页） （2）当为何值时，公路AB的长度最短？ 【解答】解： （1）以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示； 则(5,5)O，在直角ABO中，cosOAL，sinOBL， 所以直线A
26、B的方程为1 cossin xy LL ，即sincossin cos0xyL； 又直线AB与圆O相切，则 22 |5sin5cossincos| 2 sincos L ； 因为圆心O在直线AB的上方， 所以5sin5cos2sincos0L， 解得 5(sincos )2 sincos L ， 所以L关于的函数解析式为 5(sincos )2 sincos L ，(0,) 2 ； （2）令sincost，则 2 1 sincos 2 t ，且2sin()(1 4 tt ，2； 所以 2 52 2 1 t L t ， 因为 2 22 2(545) ( )0 (1) tt L t t ， 第 1
27、4 页（共 20 页） 所以( )L t在(1，2上单调递减； 所以当2t ，即 4 时，( )L t取得最小值，此时10 24 min L； 综上知 4 时，公路AB的长度最短 18 （16 分）过椭圆 2 2 :1 2 x Wy的左焦点 1 F作直线 1 l交椭圆于A，B两点，其中(0,1)A， 另一条过 1 F的直线 2 l交椭圆于C，D两点 （不与A，B重合） ， 且D点不与点(0, 1)重合 过 1 F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G （1）求B点坐标和直线 1 l的方程； （2）比较线段 1 EF和线段 1 GF的长度关系并给出证明 【解答】解： （1）由题意可得直线 1
28、l的方程为1yx与椭圆方程联立，由 2 2 1 1 2 yx x y 可 求 4 ( 3 B ， 1) 3 ， （2）线段 1 EF和线段 1 GF的长度为 11 | |EFFG 证明：当 2 l与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性， 11 | |EFFG 当 2 l不与x轴垂直时， 设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 2 l的方程为(1)(1)yk xk 由 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，消去y，整理得 2222 (21)4220kxk xk 则 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 22 21 k x x k 由已
29、知， 2 0x ， 则直线AD的方程为 2 2 1 1 y yx x ，令1x ， 得点E的纵坐标 22 2 1 E xy y x 把 22 (1)yk x代入得 2 2 (1)(1) E xk y x 由已知， 1 4 3 x ，则直线BC的方程为 1 1 1 14 3 () 4 33 3 y yx x ， 第 15 页（共 20 页） 令1x ，得点G的纵坐标 11 1 1 4 3() 3 G yx y x 把 11 (1)yk x代入得 1 1 (1)(1) 34 G xk y x 2121211212 212121 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(34)(1)(1)23()4 3
30、4(34)(34) EG xkxkkxxx xkx xxx yy xxxxxx ， 将代入到 1212 23()4x xxx中， 22 1212 22 224 23()423 ()40 2121 kk x xxx kk 即0 EG yy，即 11 | |EFFG 19 （16 分）已知 3 ( ) |f xcxaxb，a，b，cR，则： （1）若1a ，1b ，1c ，求f（2）的值； （2）若1a ，1b ，1c ，讨论( )f x单调性； （3）若4c ，对 1x ，1恒有( ) 0f x 成立，则当b取最小值时，求a的值 【解答】解： （1）当1a ，1b ，1c 时， 3 ( ) |
31、1f xxx， f（2） 3 |22| 17 ； （2）当1a ，1b ，1c 时， 3 33 3 1,( 1,0)(1,) ( ) | 1 | 1 1,(, 10,1 xxx f xxxxx xxx ， 当( 1x ，0)(1，)时， 2 ( )31fxx，令( )0fx，解得 3 3 x ， 故当 3 ( 1,)(1,) 3 x 时，( )0fx，函数( )f x在 3 ( 1,),(1,) 3 单调递增， 当 3 (,0) 3 x 时，( )0fx，函数( )f x在 3 (,0) 3 单调递减； 当(x ，10，1时， 2 ( )31fxx ，令( )0fx，解得 3 3 x ， 当
32、3 (, 1)(,1) 3 x 时，( )0fx，函数( )f x在 3 (, 1),(,1) 3 单调递减， 当 3 (0,) 3 x时，( )0fx，函数( )f x在 3 (0,) 3 单调递增； （3）当4c 时， 3 ( ) |4|f xxaxb， 依题意， 3 |4|0xaxb 在 1，1上恒成立，即 3 4axbxaxb剟在 1，1上恒成立， 第 16 页（共 20 页） 则直线 1: lyaxb， 2: lyaxb刚好夹住函数 3 ( )4g xx在 1，1上的图象时，b取最 小值 如图所示，设切点( , )P a b， 2 ( )12g xx，则 2 3 4 12 1 4 b
33、 a a ba ，解得 1 2 1 2 a b ，此时直线 1: 31lyx， 同理可得直线 2 l；31yx， 故当b取最小值时，a的值为 3 20 （16 分）已知数列 n a为等差数列，且满足 1 43,3, n a ananN，又已知数列 n b， 且数列 n b满足 2 2 5,14 2,5 n n n nan b nan 剟 ，nN，则： （1）求 n a的通项公式； （2）求 n b的最小项的值； （3）若1 n n b b a ，nN时，n可取 7 个不同整数值，求实数b的取值范围 【解答】解： （1）设( n apnq p，q为常数） ， 则 1 3apq， 1 3 315
34、a aapq，解得6p ，3q 63 n an 第 17 页（共 20 页） （2）14n剟时， 222 (63)568(3)1 n bnnnnn，可得3n 时， n b取得最小 值1 5 n时， 222 (63)265(3)14 n bnnnnn，可得5n 时， n b取得最小值 50 综上可得： n b的最小项的值是第三项的值1 （3）14n剟时， 2 68 n bnn， 2 68 ( ) 63 n n bnn f n an 可得：1n 时，f（1）1；2n 时，f（2）0；3n 时，f（3） 1 15 ；4n 时， f（4）0 5 n时， 2 65 n bnn， 2 65 ( ) 63
35、n n bnn f n an 2 2 22 17 2() (26)(21)2(65) 22 ( )0 3(21)3(21) n nnnn f n nn 函数( )f n在5n时单调递增 5n时，( )1f n 若1 n n b b a ，nN时，n可取 7 个不同整数值， 则f（7）b f （8） ，解得： 86107 3945 b 实数b的取值范围是 86 (39， 107 45 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A、B 两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多 做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过
36、程或演算步骤做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）设二阶矩阵A，B满足 1 12 34 A ， 1 10 () 01 BA ，求 1 B 【解答】解：由题意可得： 110 10 1 020 2 BA ， 则 1 101012 12 113 34002 222 BA ， 第 18 页（共 20 页） 计算逆矩阵可得： 1 1 1222 33 21 22 B B选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分
37、）在平面直角坐标系xOy中，射线:3 (0)lyx x，曲线 1 C的参数方程为 3cos ( 2sin x y 为参数） ，曲线 2 C的方程为 22 (2)4xy；以原点为极点，x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 3 C的极坐标方程为8sin （1）写出射线l的极坐标方程以及曲线 1 C的普通方程； （2）已知射线l与 2 C交于O，M，与 3 C交于O，N，求|MN的值 【解答】解： （1）射线:3 (0)l yx x， 转换为极坐标方程为：(0) 3 曲线 1 C的参数方程为 3cos ( 2sin x y 为参数） ， 转换为直角坐标方程为： 22 1 94 xy （2）曲线
38、2 C的方程为 22 (2)4xy； 转换为极坐标方程为：4sin， 射线l与 2 C交于O，M，与 3 C交于O，N， 所以： 12 | | |4sin8sin| 2 3 33 MN 选做题选做题 23 （10 分）为迎接 2022 年冬奥会，连云港市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在 培训结束后对学生进行了考核记X表示学生的考核成绩，并规定85X为考核优秀为 了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作 成如下茎叶图 （1） 从参加培训的学生中随机选取 1 人， 请根据图中数据， 估计这名学生考核优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足70X ，7
39、9的学生中任取 3 人，设Y表示这 3 人重成绩满足 |85| 10X 的人数，求Y的分布列和数学期望 第 19 页（共 20 页） 【解答】解： （1）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30 名同学中，有 7 名同学考核优秀， 所以所求概率P（A）约为 7 30 （2）Y的所有可能取值为 0，1，2，3， 因为成绩70X ，79的学生共有 8 人，其中满足|85| 10X 的学生有 5 人， 所以 3 3 3 8 1 (0) 56 P Y ， 21 35 3 8 15 (1) 56 P Y 痧 ， 12 3 5 3 8 30 (2) 56 P Y 痧 ， 3 5 3
40、8 10 (3) 56 P Y ， 随机变量Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 1 56 15 56 30 56 10 56 115301015 ( )0123 565656568 E Y 24已知( )f xxlnx，则： 若 9 ( )12 3 ()log 3 3189 x e fxln ln ，求x； 若 1212 1 ,( ,1),1x xxx e ，求证： 4 1212 ()x xxx 【解答】解： 1 ( )1fxxlnxlnx x ， 11 2 1 333(1) ( )1 (3 )(3 ) 3(3 ) xx xx xx lnlnx fx x x 3(1)lnlnx（1） 9
41、9 12 3132 3132 3 log3 1891891899 e ln lnlnln lnlnln ln lne ， （1）式中，2x 时， 9 ( )12 3 ()log 3 3189 x e fxln ln ， 所以2x 第 20 页（共 20 页） （2） 1 ( )1fxxlnxlnx x ， 令( )0fx，得 1 x e ， 所以在 1 (e，)上( )f x是增函数，在 1 (0, ) e 上( )f x是减函数， 因为 112 1 1xxx e ，所以 121212111 ()() ()()f xxxx ln xxf xxlnx， 即 12 112 1 () xx lnxln xx x ， 同理 12 212 2 () xx lnxln xx x ， 所以 1212 1212 11 () () xxxx lnxlnxln xx xx 12 12 21 (2) () xx ln xx xx ， 又因为 12 21 24 xx xx ，当且仅当 12 xx时，取等号， 又 1 x， 2 1 (x e ，1)， 12 1xx， 12 ()0ln xx， 所以 12 1212 21 (2) () 4 () xx ln xxln xx xx ， 所以 1212 4 ()lnxlnxln xx， 所以 4 1212 ()x xxx
