2020年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3月份）.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 20 页） 2020 年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟试卷（3 月份）月份）一、填空题（共一、填空题（共 14 题，每题题，每题 5 分，计分，计 70 分分.不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上）不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上） 1 （5 分）已知集合 |3| 1Ax x， 2 |54 0Bx xx ，则AB 2 （5 分）复数 2 1 z i ，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为 3 （5 分）设向量(1, )ak，( 2,3)bk ，若/ /ab，则实数k的值为 4 （5 分）如图是一个算法的伪代码，

2、其输出的结果为 5 （5 分）函数 1 2 ( )(43)f xlogx的定义域为 6（5 分）已知命题: 11pxa ，命题:(4)(8)0qxx，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 7 （5 分）在正四棱锥SABCD中，点O是底面中心，2SO ，侧棱2 3SA，则该棱锥的体积为 8 （5 分）若函数( )cos(2)(0)f xx的图象关于直线 12 x 对称，则 9 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 1 2 e ，A，B是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为，则 c o s () c o

3、 s () 10 （5 分）在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则 PA PB PB PC 11 （5 分）如图，将数列 n a中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 1 a， 2 a， 5 a，构成一个公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若 3 5a ， 86 524a，则d 第 2 页（共 20 页） 12 （5 分）已知(0,3)x，则 281 32 x y xx 的最小值为 13 （5 分）若函数 3 ( )|2|f xxaxx，0x 存在零点，则实数a的取值范围为 14 （5 分）已知( )(2 )(3

4、)f xm xm xm，( )22 x g x ，若同时满足条件： xR ，( )0f x 或( )0g x ； (, 4)x ，( ) ( )0f x g x 则m的取值范围是二、解答题（共二、解答题（共 10 小题，共小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（14 分）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱 1 C C 的中点（1）求证： 1/ / AC平面PBD；（2）求证： 1 BDAP 16 （14 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，

5、c， 4 cos 5 B （1）若2ca，求 sin sin B C 的值；（2）若 4 CB ，求sin A的值 17（14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为(1,0)F，且过点 3 (1, ) 2 过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足(0)OAOBtOP t （1）求椭圆C的标准方程；（2）若 2 2 t ，求直线AB的方程第 3 页（共 20 页） 18（16 分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD， CE为路灯灯杆，CDAB， 2 3

6、DCE ，在E处安装路灯，且路灯的照明张角 3 MEN 已知4CDm，2CEm （1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值 19 （16 分）已知函数 32 1 ( )23 () 3 f xxxx xR的图象为曲线C （1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由 20 （ 16 分）设各项均为正数的数列 n

7、a的前n项和为 n S，已知 1 1a ，且 111nnnnnn a SaSaa ，对一切 * nN都成立（1）当1时；求数列 n a的通项公式；第 4 页（共 20 页）若(1) nn bna，求数列 n b的前n项的和 n T；（2）是否存在实数，使数列 n a是等差数列如果存在，求出的值；若不存在，说明理由 21 （10 分）已知矩阵 1 1 a A b ，其中a，bR，点(2,2)P在矩阵A的变换下得到的点 (2,4)Q （1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵 22 （10 分）在极坐标系中，已知(1,) 3 A ，(9,) 3 B ，线段AB的垂直平

8、分线l与极轴交于点 C，求l的极坐标方程及ABC的面积 23 （10 分）已知函数 1 ()2,0 ( ) 1 2(),0 m xx x f x xn x x 是奇函数（1）求实数m，n的值；（2）若对任意实数x，都有 2 ()() 0 xx f ef e成立求实数的取值范围 24 （10 分）已知 21221 01221 (1) nn n xaa xa xax ，*nN记 0 (21 ) n nn k i Tka （1）求 2 T的值；（2）化简 n T的表达式，并证明：对任意的*nN， n T都能被42n 整除第 5 页（共 20 页） 2020 年江苏省南通市四校联盟高考数学模拟

10、则复数z的共轭复数为 1i 【解答】解： 22(1) 1 1(1)(1) i zi iii ，则复数z的共轭复数为：1i 故答案为：1i 3 （5 分）设向量(1, )ak，( 2,3)bk ，若/ /ab，则实数k的值为 1 【解答】解：向量(1, )ak，( 2,3)bk ，/ /ab， 23kk，解得1k ，实数k的值为 1 故答案为：1 4 （5 分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 10 11 【解答】解：模拟执行伪代码，可得： 11111111110 0(1)()()1 1 22310 1122310111111 S 第 6 页（共 20 页）故答案为：10 11 5

11、（5 分）函数 1 2 ( )(43)f xlogx的定义域为 3 ( 4 ，1 【解答】解：要使函数有意义，则需 1 2 430 (43) 0 x logx 即 3 4 43 1 x x ，即有 3 4 1 x x ，解得， 3 1 4 x 则定义域为 3 ( 4 ，1 故答案为： 3 ( 4 ，1 6（5 分）已知命题: 11pxa ，命题:(4)(8)0qxx，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 5，7 【解答】解：命题: 11pxa ，则11axa ，命题:(4)(8)0qxx，解得48x，若p是q的充分不必要条件，则有 1 4 1 8 a a ，解得57a

12、剟，故答案为：5，7 7 （5 分）在正四棱锥SABCD中，点O是底面中心，2SO ，侧棱2 3SA，则该棱锥的体积为 32 3 【解答】解：在正四棱锥SABCD中，侧棱2 3SA，高2SO ，底面中心到顶点的距离 22 2 2AOSASO 因此，底面正方形的边长24ABAO，底面积 2 16SAB 该棱锥的体积为 1132 162 333 ABCD VSSO 故答案为： 32 3 8（5 分）若函数( )cos(2)(0)f xx的图象关于直线 12 x 对称，则 5 6 第 7 页（共 20 页）【解答】解：函数( )cos(2)(0)f xx的图象关于直线 12 x 对称，

13、2 12 k ，kZ， 5 6 ，函数 5 ( )cos(2) 6 f xx ，故答案为： 5 6 9 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 1 2 e ，A，B是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为，则 c o s () c o s () 1 7 【解答】解：由题意，(,0)Aa，( ,0)B a，设( , )P x y，则tan y xa ，tan y xa ， 2 22 tantan yyy xa xaxa 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 1 2 e ， 22 2 1 4 ab a 22

14、 4 3 ab， 22 2 2 1 4 3 xy b b ， 2 22 3 4 x yb， 2 22 3 4 y xa ， 3 tantan 4 ， 3 1 coscossin1tantan1 4 3 coscossinsin1tantan7 1 4 din 故答案为： 1 7 10（5 分）在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则 P AP B P BP C 1 2 【解答】解：由PAPBPCAB可得PAPBPCPBPA，则2CPPA |cosPA PBPA PBAPB，|cos()2|cosPB PCPCPBAPBPA PBAPB 第 8 页（共 20 页）则 1

15、2 PA PB PB PC 故答案为： 1 2 11 （5 分）如图，将数列 n a中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 1 a， 2 a， 5 a，构成一个公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若 3 5a ， 86 524a，则d 3 【解答】解：根据题意，第一行有 1 项，从第二行开始每一行比上一行多两项，则第n行有21n 项，则前 9 行有1357911 13151781个数，故第 10 行第一个数为 82 a，又由 3 5a ， 86 524a，则 2 5ad， 82 5244ad，则有 8 (5)2(5244

16、 )dd，解可得：3d ；故答案为：3 12 （5 分）已知(0,3)x，则 281 32 x y xx 的最小值为 7 2 【解答】解：已知(0,3)x， 2 2814114117 22()(622 ) 2(21) 326226 62262 x yxx xxxxxx ，当且仅当1x 时，取等号，故最小值为： 7 2 ，故答案为： 7 2 第 9 页（共 20 页） 13（5分）若函数 3 ( )|2|f xxaxx，0x 存在零点，则实数a的取值范围为 2，) 【解答】解：函数 3 ( )|2|f xxaxx，0x 存在零点，当02x时， 3 ( )2f xxaxx，令(

17、)0f x ，则 2 2 1ax x ，再令 2 2 ( )1g xx x ， 32 222 22(1)2(1)(1) ( )2 xxxx g xx xxx ，当(0,1)x时，( )0g x，(1,)x时，( )0g x，当1x 时， 2 2 ( )1g xx x 取到极小值g（1）2（也是最小值）， 2a ；当2x时， 3 ( )2f xxaxx，令( )0f x ，则 2 2 1ax x ， 2 2 1yx x 在区间2，)上单调递增， 4 min y， 4a ；综合知，2a；故答案为：2，) 14 （5 分）已知( )(2 )(3)f xm xm xm，( )22 x

18、g x ，若同时满足条件： xR ，( )0f x 或( )0g x ； (, 4)x ，( ) ( )0f x g x 则m的取值范围是 ( 4, 2) 【解答】解：对于( )22 x g x ，当1x 时，( )0g x ，又xR ，( )0f x 或( )0g x ( )(2 )(3)0f xm xm xm在1x时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面第 10 页（共 20 页）则 0 31 21 m m m 40m 即成立的范围为40m 又(, 4)x ，( ) ( )0f x g x 此时( )220 x g x 恒成立 ( )(2

19、 )(3)0f xm xm xm在(, 4)x 有成立的可能，则只要4比 1 x， 2 x中的较小的根大即可， ( ) i当10m 时，较小的根为3m，34m 不成立， ( )ii当1m 时，两个根同为24 ，不成立， ()iii当41m 时，较小的根为2m，24m 即2m 成立综上可得成立时42m 故答案为：( 4, 2) 二、解答题（共二、解答题（共 10 小题，共小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（14 分）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱 1

20、C C 的中点（1）求证： 1/ / AC平面PBD；（2）求证： 1 BDAP 【解答】证明：（1）连结AC交BD于O点，连结OP，第 11 页（共 20 页）因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以O点是AC的中点，所以AOOC 又因为点P是侧棱 1 C C的中点，所以 1 CPPC，在 1 ACC中， 1 1 C PAO OCPC ，所以 1/ / ACOP，又因为OP 面PBD， 1 AC 面PBD，所以 1/ / AC平面PBD （2）连结 11 AC 因为 1111 ABCDABC D为直四棱柱，所以侧棱 1 C C垂直于底面ABCD，又BD

21、平面ABCD，所以 1 CCBD，因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，又 1 ACCCC，AC 面 1 AC， 1 CC 面 1 AC，所以BD 面 1 AC，又因为 1 PCC， 1 CC 面 11 ACC A，所以P面 11 ACC A，因为 1 A 面 11 ACC A，所以 1 AP 面 1 AC，所以 1 BDAP 第 12 页（共 20 页） 16 （14 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 4 cos 5 B （1）若2ca，求 sin sin B C 的值；（2）若 4 CB ，求sin A的值【解答】（本小题满分 14 分）

22、解：（1）在ABC中，因为 4 cos 5 B ，所以 222 4 25 acb ac 因为2ca，所以 222 ( ) 4 2 5 2 2 c cb c c ，即 2 2 9 20 b c ，所以 3 5 10 b c ，由正弦定理得 sin sin Bb Cc ，所以： sin3 5 sin10 B C （2）因为 4 cos 5 B ，所以 2 7 cos22cos1 25 BB 又0B，所以 2 3 sin1 5 Bcos B，所以 3424 sin22sincos2 5525 BBB 因为 4 CB ，即 4 CB ，所以 3 ()2 4 ABCB ，所以 333

23、2722431 2 sinsin(2 )sincos2cossin2() 44422522550 ABBB 17（14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为(1,0)F，第 13 页（共 20 页）且过点 3 (1, ) 2 过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足(0)OAOBtOP t （1）求椭圆C的标准方程；（2）若 2 2 t ，求直线AB的方程【解答】解：（1）由题意可知，1c ，且 22 19 1 4ab ，又因为 222 abc，解得2,3ab，所以椭圆C的标准方程为

24、22 1 43 xy ；（2）若直线AB的斜率不存在，则易得 33 (1, ), (1,) 22 AB， 2 (2,0) 2 OAOBOP，得(2 2,0)P，显然点P不在椭圆上，舍去；因此设直线l的方程为(1)yk x，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，将直线l的方程与椭圆C的方程联立 22 (1) 1 43 yk x xy ，整理得 2222 (34)84120kxk xk，因为 22 1,2 2 461 34 kk x k ，所以 2 12 2 8 34 k xx k ，则由 1212 2 (, (2) 2 OAOBxx k xxOP，得 1212

25、( 2(), 2 (2)Pxxk xx 将P点坐标代入椭圆C的方程，得 222 1212 3()4(2)6(*)xxkxx；第 14 页（共 20 页）将 2 12 2 8 34 k xx k 代入等式(*)得 42 22 222 648 34(2)6 (34)34 kk k kk ；化简得： 4 169k ，即： 2 3 4 k ， 3 2 k ，故所求直线AB的方程为 3 (1) 2 yx 18（16 分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD， CE为路灯灯杆，CDAB， 2 3 DCE ，在E处安装路灯，且路灯的照明张角 3 MEN 已知4C

26、Dm，2CEm （1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值【解答】解：（1）当M，D重合时，由余弦定理知， 22 2cos2 7MEDECDCECD CEDCE，所以 222 5 7 cos 214 CDDECE CDE CD DE ，因为 2 CDEEMN ，所以 5 7 sincos 14 EMNCDE，因为cos0EMN，所以 2 21 cos1sin 14 EMNEMN，因为 3 MEN ，所以 2222 7 sinsin()sincoscossin 3337 ENMEMNEMNEMN 在EMN中，由正弦定理可知

27、， sinsin MNEM MENENM ，解得 7 3 2 MN ；第 15 页（共 20 页）（2）易知E到地面的距离 2 42sin()5 32 hm ，由三角形面积公式可知， 11 5sin 223 EMN SMNEM EN ，所以 10 3 MNEM EN，又由余弦定理可知， 222 2cos 3 MNEMENEM ENEM EN ，当且仅当EMEN时，等号成立，所以 2 10 3 MNMN，解得 10 3 3 MN；答：（1）路灯在路面的照明宽度为 7 3 2 m；（2）照明宽度MN的最小值为10 3 3 m 19 （16 分）已知函数 32 1 ( )23 (

28、) 3 f xxxx xR的图象为曲线C （1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1） 2 ( )43fxxx，则 2 ( )(2)11fxx，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 1，)；（4 分）（2）由（1）可知， 1 1 1 k k （6 分）解得10k或1k，由 2 1430xx或 2 43 1xx 得：(x，22(1,3)22，)；（

29、9 分）（3）设存在过点 1 (A x， 1) y的切线曲线C同时切于两点，另一切点为 2 (B x， 2) y， 12 xx，则切线方程是： 322 111111 1 (23 )(43)() 3 yxxxxxxx，第 16 页（共 20 页）化简得： 232 1111 2 (43)(2) 3 yxxxxx ，（11 分）而过 2 (B x， 2) y的切线方程是 232 2122 2 (43)(2) 3 yxxxxx ， (，由于两切线是同一直线，则有： 22 1121 4343xxxx，得 12 4xx，（13 分）又由 3232 1122 22 22 33 xxxx ，

30、即 22 1211221212 2 ()()2()()0 3 xxxx xxxxxx 22 1122 1 ()40 3 xx xx，即 2 1122 ()120x xxx 即 2 22 (4)4120xx， 2 22 440xx 得 2 2x ，但当 2 2x 时，由 12 4xx得 1 2x ，这与 12 xx矛盾所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点（16 分） 20 （ 16 分）设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1a ，且 111nnnnnn a SaSaa ，对一切 * nN都成立（1）当1时；求数列 n a的通项公

31、式；若(1) nn bna，求数列 n b的前n项的和 n T；（2）是否存在实数，使数列 n a是等差数列如果存在，求出的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）当1时， 111nnnnnn a SaSaa ，则 111nnnnnn a SaaSa ，即 11 (1)(1) nnnn SaSa 第 17 页（共 20 页）数列 n a的各项均为正数， 11 1 1 nn nn aS aS 313122 1212 111 111 nn nn aaSSaS aaaSSS ，化简，得 11 12 nn Sa ，当2n时，12 nn Sa ，，得 1 2 nn aa ，当1n

32、时， 2 2a ，1n时上式也成立，数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，即 1 2n n a 由知， 1 (1)(1) 2n nn bnan 11 12 2 13 2(1) 2n nn Tbbbn ， 21 22 23 22(1) 2 nn n Tnn ，两式相减，可得 21 2222(1) 2 nn n Tn 22 2(1) 2 12 n n n 2nn 2n n Tn （2）由题意，令1n ，得 2 1a；令2n ，得 2 3 (1)a 要使数列 n a是等差数列，必须有 213 2aaa，解得0 当0时， 11 (1) nnnn SaSa ，且 21 1aa 当2n时

33、， 111 ()(1)() nnnnnn SSSSSS ，整理，得 2 111nnnnn SSSSS ，即 1 1 1 1 nn nn SS SS ，从而 33124 12123 111 111 nn nn SSSSSS SSSSSS ，化简，得 1 1 nn SS ，即 1 1 n a 第 18 页（共 20 页）综上所述，可得1 n a ，*nN 0时，数列 n a是等差数列 21 （10 分）已知矩阵 1 1 a A b ，其中a，bR，点(2,2)P在矩阵A的变换下得到的点 (2,4)Q （1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵【解答】解：（1）因为 1 22 12

34、4 a b ，所以 222 224 a b 所以 2 1 a b ；（2） 21 ( ) | 30 11 det A ，所以 1 1111 3333 1212 3333 A 22 （10 分）在极坐标系中，已知(1,) 3 A ，(9,) 3 B ，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点 C，求l的极坐标方程及ABC的面积【解答】解：由题意，线段AB的中点坐标为(5,) 3 ，设点( , )P 为直线l上任意一点，在直角三角形OMP中，cos()5 3 ，所以，l的极坐标方程为cos()5 3 ，（6 分）令0，得10，即(10,0)C （8 分）所以，ABC的面积为： 1 (

35、91) 10sin20 3 23 （10 分） 23 （10 分）已知函数 1 ()2,0 ( ) 1 2(),0 m xx x f x xn x x 是奇函数（1）求实数m，n的值；（2）若对任意实数x，都有 2 ()() 0 xx f ef e成立求实数的取值范围第 19 页（共 20 页）【解答】解：（1）函数 1 ()2,0 ( ) 1 2(),0 m xx x f x xn x x 是奇函数当0x 时，那么0x ，则 1 ()2()fxxn x ， ( )f x是奇函数，()( )fxf x ， 11 2()()2xnm x xx 恒等，即 1 (2)()(2)0mxn

36、x ， 20 20 m n 可得2mn；（2）由 2 0 x e，0 x e ， 2 ()() 0 xx f ef e成立转化为 2 2 11 2()2 ()20 xx xx ee ee 令 1 x x te e ，则2t， 2 3 0tt 在2t上恒成立，记 2 ( )3g ttt在2t上恒成立，当2 2 时，即4时，( )ming tg（2）1 0 ，解得1，可得1 当2 2 时，即4 时， 2 ( )()3 0 24 min g tg ，显然与4 矛盾综上，可得实数的取值范围 1，) 24 （10 分）已知 21221 01221 (1) nn n xaa xa xax ，

37、*nN记 0 (21 ) n nn k i Tka （1）求 2 T的值；（2）化简 n T的表达式，并证明：对任意的*nN， n T都能被42n 整除【解答】解：由二项式定理，得 21( 0 i in aCi ，1，2，21)n；（1） 210 2210555 353530TaaaCCC；（2 分）第 20 页（共 20 页）（2）因为 1 21 (21)! (1)(1) (1)!()! nk n n nk Cnk nknk (21) (2 )! ()! ()! nn nknk 2 (21) n k n nC ，（4 分）所以 0 (21) n nn k k Tka 21 0 (

38、21) n n k n k kC 1 21 0 (21) n nk n k kC (Tex translation failed) 11 2121 00 2(1)(21) nn nknk nn kk nk CnC 1 221 00 2(21)(21) nn n knk nn kk nCnC 221 2 11 2(21)(2)(21)2 22 nnn n nCn 2 (21) n n nC；（8 分） 1 2212121 (21)(21)()2(21) nnnn nnnnn TnCnCCnC ；因为 * 21 n n CN ，所以 n T能被42n 整除；（10 分）注意：只要得出 2 (21) n nn TnC，就给（8 分），不必要看过程

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