1、 第 1 页（共 12 页） 2020 年辽宁省普通高中学业水平数学试卷年辽宁省普通高中学业水平数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （3 分）已知集合1A，2，3，4， 2 |20Bx xx，则(AB ) A1 B2 C3 D1，2 2 （3 分）已知命题:pxR ， 2 230xx，那么p是( ) A 0 xR， 2 00 230xx BxR ， 2 23 0xx C 0 xR， 2 00 23 0xx DxR
2、 ， 2 230xx 3 （3 分） “3x ”是“2x ”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （3 分）函数( )(3)(1)f xxx的定义域为( ) A(，13，) B 1，3 C 3，1D(， 31，) 5 （3 分）甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A 1 6 B 1 2 C 1 3 D 2 3 6 （3 分）如果0ab，那么下列不等式一定成立的是( ) Acacb B 11 ab C 11 ( )( ) 22 ab Dlnalnb 7（3 分） 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况， 采用分层抽样的方法从高一
3、600 人、 高二 780 人、高三n人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 13 人， 则n等于( ) A660 B720 C780 D800 8 （3 分）已知 2 5 sin 5 ，是第三象限的角，则tan2的值为( ) A 4 3 B 4 3 C 4 5 D 4 5 第 2 页（共 12 页） 9 （3 分）函数 3 1 ( )( )log 3 x f xx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 10 （3 分）设M是ABC边BC的中点，若AMABAC，则的值为( ) A 1 4 B 1 2 C1 D2 11 （3 分）如果棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个
4、球面上，那么这个球的表面积是( ) A3 B3 C4 3 D12 12 （3 分）如图给出了红豆生长时间t（月)与枝数y（枝)的散点图，用下列哪个函数模 型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( ) A指数函数：2ty B对数函数： 2 logyt C幂函数： 3 yt D二次函数： 2 yt 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分 13 （3 分）计算： 5 22 2 lglg 14 （3 分）已知向量(2,4)a ，( 1,1)b ，则a b 15 （3 分）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对 称若
5、 3 sin 5 ，则sin 16 （3 分）设x，y为正数，则()(xy 14 xy )的最小值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 52 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知向量( ,2)ax，(2,4)b （）若/ /ab，求实数x的值； 第 3 页（共 12 页） （）若| 6ab，求实数x的值 18（10 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且abc，32 sin0cbC （）求角B的大小； （）若3,2ba，求c 19 （10 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD
6、 平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC 与BD交于点O，E为PB的中点 （）求证：/ /EO平面PDC； （）求证：ACDE 20 （10 分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟） ，并将所得数据 绘制成频率分布直方图 （如图） 已知上学所需时间的范围是0，100， 样本数据分组为0， 20)，20，40)，40，60)，60，80)，80，100 （）求直方图中x的值； （）如果上学所需时间在60，100的学生可申请在学校住宿，请估计该校 800 名新生中 有多少名学生可以申请住宿 21 （12 分）如右图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的
7、 前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数sin(0,0)yAwx Aw，0x，4的图象，且 图象的最高点为(3S，2 3)，赛道的后一部分为折线段MNP，为保证赛道运动会的安全， 限定120MNP 第 4 页（共 12 页） （1）求A，w的值和M，P两点间的距离； （2）如何设计，才能使这线段赛道MNP最长？ 第 5 页（共 12 页） 2020 年辽宁省普通高中学业水平数学试卷年辽宁省普通高中学业水平数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的
8、四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （3 分）已知集合1A，2，3，4， 2 |20Bx xx，则(AB ) A1 B2 C3 D1，2 【解答】解：1A，2，3，4， 1B ，2， 2AB 故选：B 2 （3 分）已知命题:pxR ， 2 230xx，那么p是( ) A 0 xR， 2 00 230xx BxR ， 2 23 0xx C 0 xR， 2 00 23 0xx DxR ， 2 230xx 【解答】解：命题:pxR ， 2 230xx， 0 :pxR， 2 00 23 0xx 故选：C 3 （3 分） “3x ”是“2x ”的( ) A必要不充分条件
9、B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：设 |3Ax x， |2Bx x， AB， 3x是2x 的充分不必要条件， 故选：B 4 （3 分）函数( )(3)(1)f xxx的定义域为( ) A(，13，) B 1，3 C 3，1D(， 31，) 【解答】解：依题意，(3)(1) 0xx，解得31x 剟，即函数的定义域为 3，1 第 6 页（共 12 页） 故选：C 5 （3 分）甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A 1 6 B 1 2 C 1 3 D 2 3 【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有 3 3 6A 种排法，其中甲站在中间的排法有
10、 以下两种：乙甲丙、丙甲乙 因此甲站在中间的概率 21 63 P 另解：甲在三个位置是等可能的，所以甲站在中间的概 率 1 3 P 故选：C 6 （3 分）如果0ab，那么下列不等式一定成立的是( ) Acacb B 11 ab C 11 ( )( ) 22 ab Dlnalnb 【解答】解：设( )(0)f xlnx x，易知函数( )f x在(0,)上为增函数， 又0ab，故f（a）f（b） ，即lnalnb， 故选：D 7（3 分） 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况， 采用分层抽样的方法从高一 600 人、 高二 780 人、高三n人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高二被抽取的
11、人数为 13 人， 则n等于( ) A660 B720 C780 D800 【解答】解：高一 600 人、高二 780 人、高三n人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高 二被抽取的人数为 13 人， 13780 35600780n ， 解得720n ， 故选：B 8 （3 分）已知 2 5 sin 5 ，是第三象限的角，则tan2的值为( ) A 4 3 B 4 3 C 4 5 D 4 5 【解答】解： 2 5 sin 5 ，是第三象限的角， 2 5 cos1sin 5 ， 第 7 页（共 12 页） sin tan2 cos ，则 2 2tan4 tan2 1tan3 ， 故选：A 9 （
12、3 分）函数 3 1 ( )( )log 3 x f xx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：函数 3 1 ( )( )log 3 x f xx是减函数， f（1） 1 0 3 ，f（3） 1 10 27 ， 可得f（1）f（3）0 由零点判定定理可知：函数 3 1 ( )( )log 3 x f xx的零点所在的一个区间(1,3) 函数只有一个零点 故选：B 10 （3 分）设M是ABC边BC的中点，若AMABAC，则的值为( ) A 1 4 B 1 2 C1 D2 【解答】解：如图， 则 1111 () 2222 AMABBMABBCABACABABAC， 所以 11
13、1 22 ， 故选：C 11 （3 分）如果棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是( ) A3 B3 C4 3 D12 【解答】解：棱长为2cm的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 球半径 2 3 3() 2 Rcm， 球的表面积 22 4 ( 3)12 ()Scm 第 8 页（共 12 页） 故选：D 12 （3 分）如图给出了红豆生长时间t（月)与枝数y（枝)的散点图，用下列哪个函数模 型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( ) A指数函数：2ty B对数函数： 2 logyt C幂函数： 3 yt D二次函数： 2 yt 【解答】解：由题意知函数的图象在第一象
14、限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快， 且图象过(1,2)点， 图象由指数函数来模拟比较好， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分 13 （3 分）计算： 5 22 2 lglg 1 【解答】解： 5 225222521 2 lglglglglglglg， 故答案为：1 14 （3 分）已知向量(2,4)a ，( 1,1)b ，则a b 2 【解答】解：(2,4),( 1,1)ab ， 242a b 故答案为：2 15 （3 分）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对 称若 3 sin
15、5 ，则sin 3 5 【解答】解：平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对 称， 第 9 页（共 12 页） 若 3 sin 5 ，则 3 sinsin 5 ， 故答案为： 3 5 16 （3 分）设x，y为正数，则()(xy 14 xy )的最小值是 9 【解答】解：x，y为正数， 1444 ()()5525229 yxyx xy xyxyxy ， 当且仅当 4yx xy 时取到最小值 9 故答案为：9 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 52 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （1
16、0 分）已知向量( ,2)ax，(2,4)b （）若/ /ab，求实数x的值； （）若| 6ab，求实数x的值 【解答】解： （）根据题意，向量( ,2)ax，(2,4)b 若/ /ab，则有44x ， 解可得：1x ； （）根据题意，向量( ,2)ax，(2,4)b 则()(2abx，6)， 则 2 |(2)366abx， 解得2x 18（10 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且abc，32 sin0cbC （）求角B的大小； （）若3,2ba，求c 【解答】解： （） 因为32 sincb 0C ， 所以3sin 2sinC sinB 0C 因为0C，所以sin
17、0C ， 第 10 页（共 12 页） 所以 3 sin 2 B 因为0B，且abc， 所以 3 B ， （）因为3b ，2a ， 所以由余弦定理 222 2cosbacac B， 得 22 ( 3)42c 1 2 2 c，即 2 2c 10c 所以1c 19 （10 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC 与BD交于点O，E为PB的中点 （）求证：/ /EO平面PDC； （）求证：ACDE 【解答】证明： （）E，O点分别是PB，DB中点， / /EOPD， PD 平面PDC，EO平面PDC， / /EO平面PDC （）四边形ABCD是正方形，ACBD
18、， 又PD底面ABCD，AC 底面ABCD， PDAC， PDBDD，AC平面PDB， DE 平面PDB，ACDE 第 11 页（共 12 页） 20 （10 分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟） ，并将所得数据 绘制成频率分布直方图 （如图） 已知上学所需时间的范围是0，100， 样本数据分组为0， 20)，20，40)，40，60)，60，80)，80，100 （）求直方图中x的值； （）如果上学所需时间在60，100的学生可申请在学校住宿，请估计该校 800 名新生中 有多少名学生可以申请住宿 【解答】解： （）由直方图可得到200.025200.0065200.0
19、032201x 所以0.0125x （）由直方图可知，新生上学所需时间在60，100的频率为0.0032200.12 所以估计全校新生上学所需时间在60，100的概率为 0.12 因为8000.1296 所以 800 名新生中估计有 96 名学生可以申请住宿 21 （12 分）如右图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的 前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数sin(0,0)yAwx Aw，0x，4的图象，且 图象的最高点为(3S，2 3)，赛道的后一部分为折线段MNP，为保证赛道运动会的安全， 限定120MNP （1）求A，w的值和M，P两点间的距离； （2）如何设
20、计，才能使这线段赛道MNP最长？ 第 12 页（共 12 页） 【解答】解： （1）依题意，有2 3A，3 4 T ，又 2 T ， 6 ，2 3sin 6 yx ， 当4x 时， 2 2 3sin3 3 y (4,3)M，又(8,0)P， 22 435MP （2）在MNP中120MNP，5MP ，设PMN，则060 ， 由正弦定理得 sin120sinsin(60) MPNPMN ， 10 3 sin 3 NP， 10 3 sin(60) 3 MN 故 10 310 310 3 1310 3 sinsin(60)( sincos )sin(60 ) 333223 NPMN 060 当30时，折线段MNP最长，亦即，将PMN设计为30时，折线段MNP最长
