1、1 第二章第二章 圆锥曲线与方程单元小结圆锥曲线与方程单元小结 （人教（人教 A 版）版） 核心速填 1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点F1， F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的 轨迹 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于|F1F2|)的点的轨 迹 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经 过点 F)距离相等的点 的轨迹 标准方 程 x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b2 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1 或 y2 a2 x2 b2 1(a0，b0) y22px
2、 或 y22px 或 x22py 或 x2 2py(p0) 关系式 a2b2c2 a2b2c2 图形 封闭图形 无限延展，但有渐近线 y b ax 或 y a bx 无限延展， 没有渐近线 变量范 围 |x|a，|y|b 或|y|a， |x|b |x|a 或|y|a x0 或 x0 或 y0 或 y0 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 ec a，且 00，b0)的渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 0(a0，b0)，即 y b ax；双曲线 y2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y2 a2 x2 b20(a0，b0)，
3、 即 y a bx. (2)如果双曲线的渐近线为x a y b0 时，它的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b2(0) 3抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论 (1)y22px(p0)中，|AB|x1x2p. 2 (2)y22px(p0)中，|AB|x1x2p. (3)x22py(p0)中，|AB|y1y2p. (4)x22py(p0)中，|AB|y1y2p. 体系构建 题型探究 类型一、圆锥曲线的定义及应用类型一、圆锥曲线的定义及应用 例 1、 (1)已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2y2|3x4y12|， 则动点 M 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C
4、抛物线 D以上都不对 (2)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为 2 2 .过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为_. 【答案】(1)C (2)x 2 16 y2 81 【解析】(1)把轨迹方程 5 x2y2|3x4y12|写成 x2y2|3x4y12| 5 . 动点 M 到原点的距离与它到直线 3x4y120 的距离相等点 M 的轨迹是以原 点为焦点，直线 3x4y120 为准线的抛物线 (2)设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 因为AB过F1且A， B在椭圆上， 如图
5、所示， 则ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4. 3 又离心率 ec a 2 2 ，c2 2，b2a2c28， 椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 81. 规律方法 “回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定 义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三 角形的知识来解决； 应用三： 在求有关抛物线的最值问题时， 常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距 离，结合几何图形，利用几何意义去解决 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲
6、线定义中的限制条件 跟踪训练 1 点 P 是抛物线 y28x 上的任意一点， F 是抛物线的焦点， 点 M 的坐标是(2,3)， 求|PM| |PF|的最小值，并求出此时点 P 的坐标 【答案】抛物线 y28x 的准线方程是 x2，那么点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 x2 的距离，过点 P 作 PD 垂直于准线 x2，垂足为 D，那么|PM|PF|PM|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当 M，P，D 三点共线时，|PM|PF|的值最小，且最 小值为|MD|2(2)4， 所以|PM|PF|的最小值是 4. 此时点 P 的纵坐标为 3，所以其横坐标为9 8，即点 P 的坐标是 9 8
7、，3 . 类型二、圆锥曲线的方程类型二、圆锥曲线的方程 例 2、 (1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)， 离心率等于1 2， 则 C 的方程是( ) Ax 2 3 y2 41 Bx 2 4 y2 31 Cx 2 4 y2 21 Dx 2 4 y2 31 (2)已知抛物线 y28x 的准线过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离 心率为 2，则该双曲线的方程为_ 4 【答案】 (1)D (2)x2y 2 31 【解析】(1)由题意得 c1 c a 1 2 ，解得 a2 c1 ， 则 b2a2c23，故椭圆方程为x 2 4 y2 31. (2)由
8、题意得 c2 c a2 ，解得 a1 c2 ，则 b2c2a23， 因此双曲线方程为 x2y 2 31. 规律方法 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 (1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 (2)定式根据“形”设方程的形式， 注意曲线系方程的应用， 如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2ny21(m0，n0) (3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大 小 跟踪训练 2(1)以 x 轴为对称轴，通径长为 8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) Ay28x By28x
9、 Cy28x 或 y28x Dx28y 或 x28y 【答案】C 由题意知 2p8，故选 C (2)焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为 2，到左顶点的距离为 3 的椭圆的标准方 程是( ) Ax 2 4 y2 31 Bx 2 4y 21 Cy 2 4 x2 31 Dx2y 2 41 【答案】A 依题意，得 a2，ac3，故 c1，b 2212 3，故所求椭圆的 标准方程是x 2 4 y2 31. 5 类型三、圆锥曲线的几何性质类型三、圆锥曲线的几何性质 例 3、(1)如图 2- 1 所示，F1，F2是椭圆 C1：x 2 4y 21 与双曲线 C 2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2
10、在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( ) 图 2- 1 A 2 B 3 C3 2 D 6 2 (2)已知 ab0，椭圆 C1的方程为x 2 a2 y2 b21，双曲线 C2的方程为 x2 a2 y2 b21，C1 与 C2的 离心率之积为 3 2 ，则 C2的渐近线方程为_ 思路探究 (1)由椭圆可求出|AF1|AF2|， 由矩形求出|AF1|2|AF2|2， 再求出|AF2|AF1| 即可求出双曲线方程中的 a，进而求得双曲线的离心率 (2)根据离心率的关系列出关于 a，b 的方程，求出b a，再求渐近线方程 【答案】(1)D (2)x 2y0 【解析】(
11、1)由椭圆可知|AF1|AF2|4， |F1F2|2 3. 因为四边形 AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212， 所以 2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124， 所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1| |AF2|1248，所以|AF2|AF1|2 2， 因此对于双曲线有 a 2，c 3， 所以 C2的离心率 ec a 6 2 . (2)设椭圆 C1和双曲线 C2的离心率分别为 e1和 e2，则 e1 a2b2 a ，e2 a2b2 a .因为 e1 e2 3 2 ，所以 a4b4 a2 3 2
12、，即 b a 4 1 4，所以 b a 2 2 . 故双曲线的渐近线方程为 y b ax 2 2 x，即 x 2y0. 6 规律方法 求解离心率的三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2b2c2(a2b2c2)以及 ec a， 已知其中的任意两个参数， 可以求其他的 参数，这是基本且常用的方法 (2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的 十分重要的思路及方法. (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲 线)的定义、几何性质，建立参
13、数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问 题更形象、直观. 跟踪训练 3已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的半焦距是 c，A，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若ABO 的面积是 3c2，则这一椭圆的离心率是( ) A1 2 B 3 2 C 2 2 D 3 3 【答案】 A 1 2ab 3c 2， 即 a2(a2c2)12c4， 所以(a23c2)(a24c2)0， 所以 a24c2， a2c，故 ec a 1 2. 类型四、直线与圆锥曲线的位置关系类型四、直线与圆锥曲线的位置关系 例 4、已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点(0， 3)，离心率为
14、 1 2，左、右焦点分别为 F1( c,0)，F2(c,0) (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l： y1 2xm 与椭圆交于 A， B 两点， 与以 F1F2为直径的圆交于 C， D 两点， 且满足|AB| |CD| 5 3 4 ，求直线 l 的方程 思路探究 (1)利用定义解题(2)利用勾股定理和弦长公式来解 【答案】(1)由题设知 b 3， c a 1 2， b2a2c2， 解得 a2，b 3，c1， 椭圆的方程为x 2 4 y2 31. (2)由(1)知，以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21， 7 圆心到直线 l 的距离 d2|m| 5 ， 由 d0直线与双曲线相交，但直线与双
15、曲线相交不一 定有 0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不 一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件. (2)相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相 切. (3)相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离. 8 跟踪训练 4已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，其焦点为 F1，F2，离心率为 2 2 ，直线 l：x2y 20 与 x 轴，
16、y 轴分别交于点 A，B (1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点，求椭圆的方程； (2)若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|PF2|2a，求 a 的取值范围. 【答案】 (1)由椭圆的离心率为 2 2 ，得 a 2c， 由 A(2,0)，得 a2，c 2，b 2， 椭圆方程为x 2 4 y2 21. (2)由 e 2 2 ，设椭圆方程为x 2 a2 2y2 a2 1， 联立 x2 a2 2y2 a2 1， x2y20， 得 6y28y4a20， 若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|PF2|2a，则线段 AB 与椭圆 E 有公共点，等价于方 程 6y28y4a20 在 y0,1上有解 设 f(y)6y28y4a2， 0， f(0)0， 即 a24 3， 4a20， 4 3a 24， 故 a 的取值范围是2 3 3 a2.
