1、12.10 微分方程的幂级数解法微分方程的幂级数解法 一些方程不能用初等积分法求解，需寻求其一些方程不能用初等积分法求解，需寻求其它方法。它方法。常用的有幂级数解法。常用的有幂级数解法。).5(0)0(2次多项式次多项式要求到要求到的特解的特解满足初始条件满足初始条件求黎卡提方程求黎卡提方程 yyxy解解例例1 1设原方程的解为设原方程的解为,2210 nnxaxaxaay,00 a代入初始条件知代入初始条件知,221 nnxaxaxay,3212321 nnxnaxaxaay代入原方程得代入原方程得 1232132nnxnaxaxaa22210)(nnxaxaxaax 43122321221
2、)2(2xaaaxaaxax 1232132nnxnaxaxaa 43122321221)2(2xaaaxaaxax,01 a,122 a,3213aa,24214aaa,2531225aaaa ,01 a,212 a,03 a,04 a,2015 a,20252 xxy.0)1(2)1(2的通解的通解求勒让德方程求勒让德方程 ynnyxyx解解例例2 2设方程的解为设方程的解为,0kkkxay ,11 kkkxkay,)1(22 kkkxakky代入方程为代入方程为222)1()1(kkkxakkx112 kkkxkax0)1(0 kkkxann0)1)()1)(2(02 kkkkxaknk
3、nakk，0)1)()1)(2(2 kkaknknakk)3,2,1,0()1)(2()1)(2 kakkknknakk，02)!2()12()3)(1)(22()2()1(ammnnnmnnnamm ，112)!12()2()4)(2)(12()3)(1()1(ammnnnmnnnamm 任意常数。任意常数。201211212120,).1()1(aaxaaxaaymmmmmm 12.11 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组 .02,023zydxdzzydxdy例例1.求解微分方程组求解微分方程组解解.),(21zdxdzy ),(2122dxdzdxzddxdy )(2122dxd
4、zdxzd02)(23 zzdxdz,)(21xexCCz )(2122dxdzdxzd02)zzdxdz,0222 zdxdzdxzd)(21zdxdzy )()(2122121xxexCCCexCC .)2(221xexCCC ,0542233 dtdxdtxddtxd .3,052222txydtdxdtdxdtyddtxd例例2.求解微分方程组求解微分方程组解解.1322 dtdxdtdydtxd,03222233 dtxddtyddtxd.5,1,0321 rrr.5321tteCeCCx txdtdxy 3.2435321tteCeCtC 12.12 微分方程的应用举例微分方程的应
5、用举例 例例1.如图如图,设飞机在时刻设飞机在时刻t=0位于点位于点(0,b),并沿着平并沿着平行于行于x轴的方向以常速度轴的方向以常速度v0飞行飞行.导弹在时刻导弹在时刻t=0从原点发射从原点发射,速度为速度为v1,导弹的制导系统使其在飞导弹的制导系统使其在飞行过程中始终指向飞机行过程中始终指向飞机.求导弹追踪飞机的飞机求导弹追踪飞机的飞机轨迹以及击中飞机所需的时间轨迹以及击中飞机所需的时间T.bM(x,y)解设在解设在t时刻导弹的位置在点时刻导弹的位置在点M(x,y),),(0 xtvdxdyyb .122)()(vdtdydtdx ,)(022vdtdydyxdyb .12)(1vdydxdtdy ),(0 xtvdxdyyb .122)()(vdtdydtdx )(,)(1)(10222vvdydxdyxdyb dydxp ,1)(2pdydpyb ,)ln()1ln(12Cybpp ,0,0 pdydxy,ln)ln()1ln(2bybpp ,)()(21 bybybbdydxp,)(1)(121211Cybbybbx ,0,0 xy,1)(1)(121211 bybbybbx,1,2 bxby,120 bTv.)1(2221102vvbvvbT
