1、20182019 学年北京海淀区北京大学附属中学荣誉班学年北京海淀区北京大学附属中学荣誉班 高一上学期期中数学试卷高一上学期期中数学试卷 1.已知集合1,2,3A， 2 ,By yx xA，则B _， 【答案】2,4,6 【分析】根据集合B中2 ,yx xA的条件，求出对应的元素即可 【详解】 因为2 ,By yx xA， 当1x 时，2y ； 当2x 时，4y ； 当3x 时， 6y 故集合2,4,6B 答案为：2,4,6 【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键 2.函数 2 9f xx的定义域是_，值域是_. 【答案】 (1). 3,3x (2). 0
2、,3 【分析】根据表达式分析，应满足 2 90x ，解出x范围即可，再根据 2 9x 范围求值 域 【详解】 22 9,90,3,3f xxxx ， 22 90,9 , 90,3xx 所以 2 9f xx的定义域是 3,3x ，值域是0,3 【点睛】 本题考查复合函数的定义域和值域的求解， 需注意三种基本形式对应的函数的定义 域：分式（分母不为零） 、二次根式（二次根式里面的整体大于等于零） 、对数（真数大于零） 3.已知函数 f x在R上是增函数，若 132f xfx，则x的取值范围是_. 【答案】 4 , 3 【分析】根据增函数性质去“f”即可 【详解】 f x在R上是增函数， 132f
3、xfx ，根据增函数性质，可得 13 2xx ，解得 4 3 x 答案为： 4 , 3 【点睛】本题考查根据增函数的性质解不等式，相对简单，解题过程中需注意 f x括号中 的式子要满足函数的定义域的问题 4.设函数 g x满足 223g xx ，则 g x的解析式为_. 【答案】 21g xx 【分析】采用换元法，令2tx，进行换元即可求解 【详解】令2tx，得2xt ，则 22322321g xxg ttt 所以 21g xx 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是求解解析式基本方法，需注意的是换元之后 新元的取值范围，此题还可采用拼凑法求解 5.为了提高同学们的学习兴趣， 学校举办了数
4、学、 物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共 260 名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有 80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有 40 人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有 120 人，则两科均未取得优秀的人数为_. 【答案】20 【分析】用韦恩图进行求解，设集合=A数学取得优秀的同学， 集合=B物理取得优秀的同学，全集=U高一年级260名同学，再根据题意进行求 解 【详解】如图所示 设两科均未取得优秀的人数为x，则40 80 12026020xx 所以两科均未取得优秀的人数为 20 人 【点睛】本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确 表示各集合中元素个
5、数 6.已知 :p 实数x满足02x， :q 实数x满足 3 510xx ，则 p 是 q 的 _.(填写“充分且不必要条件”，“必要且不充分条件”，“充分必要条件”或“既不充分也 不必要条件”) 【答案】必要且不充分条件 【解析】分别求出 p 和 q ，再根据充分和必要条件进行求解 【详解】由 :p 实数x满足02:xp 0x 或x2 由 :q 实数x满足 3 510:3 510xxqxx ，即 q ： 1 5 x 或x3 判断可知 p 推不出 q ，但 q 能推出 p ， 所以 p 是 q 的必要且不充分条件 【点睛】 本题考查命题的否定改写及命题间的充分必要条件判断问题， 若题目中涉及范
6、围问 题的判断，可简单记为：小推大成立，大推小不成立 7.已知函数 f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 11xf xx f x，则 0f_， 5 2 ff _. 【答案】 (1). 0 (2). 0 【分析】表达式为抽象函数，可通过赋值法求解具体的函数值 【详解】当0x 时，得 010f ，得 00f， 当 1 2 x 时，得 1111 2222 ff ，即 11 22 ff ，又因 f x是定义在实 数集R上的不恒为零的偶函数，所以 11 22 ff ，解得 1 0 2 f 当 1 = 2 x时，得 13313 0 22222 fff 当 3 = 2 x时，得 3
7、5535 0 22222 fff 所以 5 00 2 fff 答案为： 00f， 5 0 2 ff 【点睛】本题考查根据抽象函数求解具体函数值的方法，常用解法为对x赋值，通过递推的 方式和函数性质来进行求解 8.李老师每天开车上班，10 月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该 车相邻两次加油时的情况： 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2018年 10月 1日 12 35000 2018年 10月 30 日 48 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100 千米均耗油 量为_升. 【答案】8 【解析】第一次油箱加满
8、，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，得出耗油量为 48 升，而这段时间内行驶的里程数 35600-35000=600 千米，通过计算即可得出答案 【详解】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 48 升， 而这段时间内行驶里程数 35600-35000=600千米，所以这段时间内，该车每 100 千米平均 耗油量为 48 (600 100)=8升 答案：8 【点睛】本题考查根据题意从表格提取信息的能力，是一道函数应用类题目，从统计图中获 取信息是解题关键 9.设全集U R， 13Axx，23Bxaxa. 当1a 时，求 CUAB. 若ABA，求实数a的取
9、值范围. 【答案】 （1）34xx （2） 1 0, 2 a 【分析】 （1）先求出CUA，再根据集合的交集运算进行求解即可 （2）由ABA可判断AB，再根据子集定义进行求解 【详解】 （1）当1a 时，24Bxx，13 ,C13 U AxxAx xx或 C34 UA Bxx （2）由ABA可得AB，即 21 33 a a ，解得 1 0, 2 a 【点睛】本题考查集合的混合运算，根据集合的包含关系求解参数问题，集合的混合运算应 遵循有括号先算括号原则，对于子集类问题的求解要注意端点处等号取不取得到的问题 10.已知函数 01 m f xxm xm x 且，设函数 3 2 2 g xx f x
10、x. 证明函数 f x在1,上为增函数. 若方程 0g x 有两个不相等的实根，有一根小于 1，且另一根在1,2内，求m的取值 范围. 【答案】 （1）证明详见解析 （2） 133 , 64 m 【分析】 （1）利用增函数的定义进行求解即可 （2）先表示出 g x的表达式， 2 3 ( )(2) 2 g xxmxm，根据有一根小于 1，且另一 根在1,2内，可得 10 20 f f ，化简求值即可 详解】 （1）设 12 1xx， 121212 1212 1 mmm f xf xxmxmxx xxx x 1212 12 1,10,10 m xxmxx x x ， 12 f xf x 函数 f
11、x在1,上为增函数 （2） 2 33 ( )2(2) 22 m g xx xmxxmxm x g x有一根小于 1，且另一根在1,2内，故满足 10 20 f f ， 即 3 4 13 6 m m ， 133 , 64 m 【点睛】本题考查函数单调性的证明，根据二次函数根的分布情况求解参数问题，属于中档 题，二次函数的参数问题一般通过判断已知点在函数图像中的与零点的关系来建立不等式 11.已知函数 f x对一切实数x，y都有 21f xyfyx xy成立，且 10f. 求 0f的值. 求 f x的解析式. 已知aR，当 1 0 2 x时，不等式 32f xxa 恒成立，求a的取值范围. 【答案
12、】 （1） 02f （2） 2 2f xxx （3）1a 【分析】 （1）通过对抽象函数赋值，可令1,1xy 进行求解 （2）令0y 可消去y，再结合（1）中求得 0f的值，进而求得解析式 （3）可采用分离参数法转化成 32af xx 在 1 0, 2 x 恒成立问题，再进行求解 【详解】 （1）令1,1xy ，可得 011 2 1ff ，又因 10f，解得 02f （2）令0y ，得 01f xfx x，又因 02f ，解得 2 2f xxx （3）当 1 0 2 x， 3232f xxaaf xx ，即 2 1axx 在 1 0, 2 x 上 恒成立，当 1 0, 2 x ， 2 3 1,
13、1 4 xx ，所以1a 【点睛】本题考查抽象函数中具体函数值的求法，抽象函数解析式的求法，根据二次函数在 给定区间恒成立问题求参数问题， 对于抽象函数的处理常采用赋值法进行求解， 二次函数含 参恒成立问题一般是通过分离参数进行求解， 当然也可以根据判别式法进行求解， 视具体情 况而定 12.对于两条平行直线 1 l、 2 l( 1 l在 2 l下方)和图象G有如下操作:将图象G在直线 1 l下方的部 分沿直线 1 l翻折， 其余部分保持不变， 得到图象 1 G； 将图象 1 G在直线 2 l上方的部分沿直线 2 l 翻折，其余部分保持不变，得到图象 2 G:再将图 2 G在直线下方的部分沿直
14、线 1 l翻折，其余部 分保持不变，得到图象 3 G；再将图象 3 G在直线 2 l上方的部分沿直线 2 l翻折，其余部分保持 不变，得到图象 4 G；以此类推；直到图象 k G上所有点均在 1 l、 2 l之间(含 1 l、 2 l上)操作停 止，此时称图象 k G为图象G关于直线 1 l、 2 l的“衍生图形”，线段AB关于直线 1 l、 2 l的“衍 生图形”为折线段 12 ACDEB. (1)直线型 平面直角坐标系中，设直线 1: 0ly ，直线 2: 1ly 令图象G为 f x x的函数图象，则图象 1 G的解析式为 令图像G为 f xx的函数图象，请你画出 1 G和 2 G的图象
15、若函数 1g xax 的图象与图象 1 G有且仅有一个交点， 且交点在y轴的左侧， 那么a的 取值范围是_. 请你观察图象 2 G并描述其单调性，直接写出结果_. 请你观察图象 2 G并判断其奇偶性，直接写出结果_. 图象 2 G所对应函数的零点为_. 任取图象 2 G中横坐标 5 1 , 2 2 x 的点，那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标 为（_，_） ，最低点坐标为（_，_）. 若直线 h xa 与图象 2 G有 2 个不同的交点，则a的取值范围是_. 根据函数图象，请你写出图象 2 G的解析式_. (2)曲线型 若图象G为函数 2 32f xxx的图象， 平面直角坐标系中，设直
16、线 1: 0ly ，直线 2: 1ly ， 则我们可以很容易得到 1 G所对应的解析式为 2 1 32fxxx. 请画出 1 G的图象，记 1 G所对应的函数解析式为 1 fx. 函数 1 fx的单调增区间为_，单调减区间为_. 当0,5x时候，函数 1 fx的最大值为_，最小值为_. 若方程 2 1 32 3 xxxb有四个不同的实数根，则b的取值范围为_. (3)封闭图形型 平面直角坐标系中,设直线 3: 2ly ,直线 4: 2ly 设图象G为四边形OPQR,其顶点坐标分别为0,0O,3,3P, 6,0Q ,3, 3R,四边形 OPQR关于直线 3 l、 4 l的“衍生图形”为 k G.
17、 k G的周长为_. 若直线 2 3 yxb 平分 k G的周长,则b _. 将 k G沿右上方45方向平移 2个单位,则平移过程中k G所扫过的面积为_. 【答案】 （1） 1 Gx；函数图像见解析；1,a； 2 G的单调递增区间为 , 1 ，0,1， 2 G的单调递减区间为 1,0， 1,；偶函数； 123 2,0,2xxx ；1,1， 51 , 22 ； ,01a 2 ,1,1 2,11 x x G xxx 或 （2）详图见解析；增区间 3 1, 2 x 和2,，减区间,1和 3 ,2 2 最大值为 12，最小值为 0； 11 , 43 b （3）12 2；2b；6S 【分析】通过对“衍
18、生图形”概念的理解，需要先定位两条平行直线 1 l、 2 l，随着平行直线的 变化，“衍生图形”最终也会发生相应的变化。 解题过程中抓住两个核心：只要是第奇数次翻折，那么图像就要把位于 1 l下面的沿着 1 l向上 翻折；只要是第偶数次翻折，图像就把位于 2 l上面的向下翻折，解题过程只要依据翻折的基 本原理，结合函数的基本性质，逐步求解即可 【详解】首先对于（1）直线型 两平行直线为直线 1: 0ly ，直线 2: 1ly 对，当发生第一次翻折， f xx的图像相当于把x轴下方图像沿着x轴向上翻折，此 时应满足 1 Gx 对，图像如图所示 对， 1g xax ，图像恒过0,1，又因 g x与
19、图像 1 G有且仅有一个交点，且交点在y 轴的左侧，如图所示 若只有一个交点，应满足1,a 对，根据 2 G图像， 2 G的单调递增区间为 , 1 ，0,1 2 G的单调递减区间为 1,0， 1, 对， 2 G图像关于y轴对称，为偶函数 对， 2 G图像对应的零点为： 123 2,0,2xxx 对， 2 G图像在 5 1 , 2 2 x 上的最高点的坐标为 1,1 ，最低点的坐标为 51 , 22 对，若直线 h xa 与图象 2 G有 2个不同的交点，由图像可知 则 ,01a 对，观察图像特点 2 G为偶函数，当1,1x ， 2 Gx ，当, 1x 和1,x时， 2 2Gx ，则 2 ,1,
20、1 2,11 x x G xxx 或 对于（2）曲线型 2 32f xxx， 1 G所对应的解析式为 2 1 32fxxx 对，图像如图所示 对，函数的单调增区间为 3 1, 2 x 和2,，单调减区间为,1和 3 ,2 2 对，当0,5x时候，函数 1 fx最大值为 1 152f，最小值为 1 01f 对，若方程 2 1 32 3 xxxb有四个不同的实数根，即等价于 1 fx与 1 3 yxb图 像有四个交点 如图所示： 要使两函数图像有四个交点，应满足 1 10 33 22 y yf ，解得 11 , 43 b （3）封闭型曲线，根据题意先画出四边形的“衍生图形”， 对， k G的周长为
21、3 2 412 2 对， 要使 k G被直线 2 3 yxb 平分周长，则假设直线与OP交点M，与直线QR交点为 N，则应满足OMQN 直线 OM l方程为： 3634 , 55 bb N ，直线 QR l 方程为： 1 6yx 联立直线 2 3 yxb yx 得 33 , 55 bb M ， 3 2 5 b OM 联立直线 2 3 6 yxb yx 得 3634 , 55 bb N ， 3 24 5 b QN 由OMQN得 3 23 24 55 bb ，解得2b 对，如图所示 平移之后 k G扫过的面积应为 3 226S 【点睛】本题考查根据新定义求解函数和图像的基本性质，函数图像的画法，函数单调性与 奇偶性的判断，函数最值的求解，函数零点的判断，根据函数图像的交点求解参数，函数解 析式的求法，几何图形在函数中的应用等，整体难度不大，但综合性强，以 “衍生函数”作 为载体， 基本上对于函数的基本性质作了全面解读， 在整个解析过程中所涉及的函数与图形 转化的思想，值得每个数学学习者深思
