1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 22 函数大题强化训练函数大题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年浙江预赛】设，且对任意实数 b均有，求 a的取值范围. 【答案】 【解析】 解 1：，对于， 所以只要考虑. （1）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意有 ，所以， 解得 （2）当时，即，此时函数的最值在拋物线的顶点和右端点取得， 而对 b=0 有. （3）当时，即时，此时函数的最值在拋物线的顶点和左端点取得，而对 b=0 有. （ 4 ） 当时 ， 即， 此 时 函 数的 最
2、 值 在 拋 物 线 的 左 右 端 点 取 得 ， 对 任 意 ，所以,解得. 综上或. 解 2： 设， 则有依题意， ，或. 2 【2018 年山西预赛】求解函数的最大最小值. 【答案】最大值为最小值为. 【解析】 易知函数定义域为全体实数，由于，令，则， 所以，因此；函数 y 最大值为最小值为. 3 【2018 年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过 程.1692 年，德国数学家莱布尼茨首次使用 function 这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号 f(x)表示 函数.1859 年我国清代数学家李善兰将 function 译作函数
3、，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学 中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的 常用方法之一.请你解答下列问题. 已知函数 f(x)满足：对任意的整数 a，b均有 f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且 f(2)=3.求 f(96)的值. 【答案】4750 【解析】 在 f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令 a=b=a，得 f(0)=f(0)+f(0)+0+2，于是 f(0)=2. 在 f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令 a=2，b=2，得 f(0)=f(2)+f(2)4+2. 2=f(2)_
4、34+2，f(2)=3. 在 f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令 a=n2，b=2，得 f(n)=f(n2)+f(2)+2(n2)+2=f(n2)+3+2(n2)+2=f(n2)+2n+l. f(n)f(n2)=2n+1. f(96)f(94)=2 96+1， f(94)f(92)=2 94+1， f(94)f(92)=2 94+1， 上述等式左右两边分别相加，得 f(96)f(2)=2(96+94+4)+47. . 4 【2018 年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域 【答案】 【解析】 令 u=x1，则，则 设，则，且 当 u0时， 由于 0t1，故函数单调递减，所以 y1+
5、2+3=6 当 u0时， 由于 0t1，故函数单调递减，所以 y1+2+3=6 当 u0时，（当且仅当，即时取等 号） 所以函数的值域为. 故答案为： 9 【2018 年湖南预赛】已知二次函数. （1）若函数在区间上存在零点，求实数 p 的取值范围； （2）问是否存在常数，使得当时，的值域为区间 D，且 D的长度为. （注：区间的长度为）. 【答案】 （1）20p12； （2）存在常数 q= 8 或 q= 9，当 xq，10时，的值域为区间 ，且 的长度为 12q 【解析】 （1）利用零点存在性定理列出关于 q 的不等式，然后再利用不等式知识求解即可； （2）先利用单调性求出 函数的值域，再利
6、用区间长度列出关于 q 的方程，求解即可。 解： （1） 二次函数 f(x)=x2 16x+p+ 3 的对称轴是， 函数在区间上单调递减， 则函数在 区间上存在零点须满足 2 分 即(1 + 16 +p+ 3)(1 16 +p+ 3)0， 解得20p12 4 分 当时，即 0q6 时， 的值域为：f(8)，f(q)，即p61,q216q+p+ 3. 区间长度为 q2 16q+p+ 3 (p 61) =q2 16q+ 64 =“ 12“ q q2 15q+ 52 =“ 0“ ，经检验不合题意，舍去6 分 当时，即 6q8 时，的值域为：，即p 61，p 57 区间长度为 p 57 (p 61)
7、=“ 4“ =“ 12“ qq= 8经检验 q= 8 不合题意，舍去. 8 分 当 q8 时，的值域为：f(q)，f(10)，即 q2 16q+p+3，p 57. 区间长度为 p 57 (q2 16q+p+ 3) = q2 16q 60 =“ 12“ q, q 2 17q+ 72 =“ 0“ , q= 8 或 q= 9经检验 q= 8 或 q= 9 满足题意 所以存在常数q= 8或q= 9， 当xq， 10时，的值域为区间 ， 且 的长度为12q 10 分 10 【2018 年湖北预赛】对任意正整数，定义函数如下： ； ； . （1）求的解析式； （2）设是数列的前 项和，证明：. 【答案】
8、（1）（2）见解析 【解析】 (1). 由条件可得： . 将上述个等式相加得 而，所以 由条件可得： 将上述个等式相加得 而，所以 (2).因为，所以 . 所以 两式相减得 故，所以. 11【2018 年山东预赛】 实数满足， 试求 的最大值 【答案】 【解析】 不妨设，令， 则由条件知， 整理成关于 的一元二次方程 因为方程有解，则，解得 上式关于对称，不妨设， 又因为，所以 当且仅当，即时上式取到等号，因此 12 【2018 年河北预赛】若函数的定义域为且满足条件： 存在实数，使得； 当时，有恒成立. （1）证明：（其中） ； （2）判断上的单调性，并证明你的结论； （3）当时，不等式恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 因均为正数，故总存在实数使得， 所以 又，所以 (2)设，且，则，故可令 则由(1)知 即，所以上单调递增. 因为，故原不等式可化为， 又上单调递增，所以对于恒成立. 因为（当且仅当时等号成立） ， 所以，又，故. 13 【2018 年山西预赛】求解函数的最大最小值. 【答案】最大值为最小值为. 【解析】 易知函数定义域为全体实数，由于，令，则， 所以，因此；函数 y 最大值为最小值为.
