1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 14 排列组合真题汇编与预赛典型例题排列组合真题汇编与预赛典型例题 1 【2019 年全国联赛】将 6 个数 2，0，1，9，20，19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0） ， 则产生的不同的 8 位数的个数为 . 【答案】498 【解析】所有首位非 0 的 8 位数：6!-5！ 2、0 相邻的不同 8 位数： . 1、9 相邻的不同 8 位数：. 2、0 与 1、9 均相邻的不同 8 位数： 故所求的 8 位数个数为：. 2 【2011 年全国联赛】现安排
2、7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每 个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为_（用数字作答）. 【答案】15000 【解析】 由题意知满足条件的方案有两种情形： 1.有一个项目有 3 人参加，共有种方案； 2.有两个项目各有 2 人参加，共有种方案. 故所求的方案数为. 故答案为：15000 3 【2017 年全国联赛】 将 33 33的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两 格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边“.试求分隔边条数的最小值。 【答案】56 【解析】 记分隔边的条数为 L。首先,将方格
3、表按图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。 此时,共有 56 条分隔边，即 L=56。 其次证明:L56。 将方格表的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为。行中方格出现的颜色数 记为,列中方格出现的颜色个数记为。三种颜色分别记为，对于一种颜色为含 有 色方格的行数与列数之和。 定义 类似地定义. 所以 由于染 色的格有个,设含有 色方格的行有 a 个、列有 b 个,则 色的方格一定在这 a 行和 b 列的交叉方格中。 从而, 所以 由于在行中有种颜色的方格，于是,至少有条分隔边。 类似地,在列中,至少有条分隔边。 则 下面分两种情形讨论。 1.有一行或一列所有方格同色。 不妨设
4、有一行均为色则方格表的 33 列中均含有色的方格， 又色方格有 363 个， 故至少有 11 行含有色 方格.于是， 由式、得 (2)没有一行也没有一列的所有方格同色. 则対任意均有 从而，由式知; 综上，分割边条数的最小值为 56. 4 【2016 年全国联赛】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若 得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值. 【答案】15 【解析】 以这十个点为顶点、所连线段为边得一个十阶简单图 G. 下面证明：图 G 的边数不超过 15. 设图 G 的顶点为，共有 k 条边，用表示顶点的度. 若均成立，则. 假设
5、存在顶点满足.不妨设， 且均相邻.于是， 之间没有边，否则，就形成三角形.从而，之间恰有 n 条边. 对 每 个至 多 与中 的 一 个 顶 点 相 邻 （ 否 则 ， 设 相邻，则就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条 件矛盾）.从而，之间的边数至多为 . 在个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，知至多有条边.因此，图 G 的边数为 . 如图所示给出的图共有 15 条边，且满足要求. 综上，所求边数的最大值为 15. 5 【2010 年全国联赛】 一种密码锁的密码设置是在正 边形的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的 一个，同时，在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个
6、顶点的数字或颜色中至少有一个 相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 【答案】当 为奇数时，有种；当 为偶数时，有种. 【解析】 对于该种密码锁的一种密码设置，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上 ；若颜 色不同，则标上 ；若数字和颜色都相同，则标上 .于是，对于给定的点上的设置（共有 4 种） ，按照边 上的字母可以依次确定点上的设置.为了使得最终回到时的设置与初始时相同， 标有的边 都是偶数条. 所以， 这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记使得标有的边都是偶数条的方 法数的 4 倍. 设标有 的边有）条，标有 的边有）条. 选取条边标记 的有种方法
7、，在余下的边中取出条边标记 的有第种方法，其余的边标记 . 由乘法原理知共有种标记方法. 对求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为 . 这里，约定. 当 为奇数时，此时， . 代入式中得 . 当 为偶数时，若，则式仍然成立；若，则正 边形的所有边都标记 ，此时，只有一种标记方 法.于是，所有不同的密码设置的方法数为 . 综上，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当 为奇数时，有种；当 为偶数时，有种. 1 【2018 年广西】把 16本相同的书全部分给 4名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不相同， 则不同的分配方法种数为_.（用数字作答） 【答案】216. 【解析】 将 16
8、分解成四个互不相同的正整数的和有 9种不同的方式： 16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7， 16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7， 16=2+3+5+6. 故符合条件的不同分配方法数为 9=216. 2 【2018 年安徽】把 1，2，按照顺时针螺旋方式排成 n行 n 列的表格，第一行是 1，2，n.例 如：.设 2018在的第 i行第 j列，则（i，j）=_. 【答案】 （34，95） 【解析】 设，则的第 k行第 k列元素是. 因此，1901 在第 6 行第 6列，1900在第 6行第 9
9、5列，2018 在第 34 行第 95列. 故答案为： （34，95） 3 【2018 年湖南】从-3、-2、-1、0、1、2、3、4 八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数 的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二 次函数有_个. 【答案】24 【解析】 可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考 查. 因为图象过坐标原点，所以 c=0.故二次函数可写成的形式. 又，所以其顶点坐标是. 若顶点在第一象限，则有.故. 因此，这样的二次函数有个. 若顶点在第三象限，则有.故.这样的二次函数有个. 由加法原理知，满
10、足条件的二次函数共有个. 故答案为：24 4 【2018 年湖南】的展开式中常数项为_. 【答案】-20 【解析】 因为.所以. 故答案为：-20 5 【2018 年广东】袋中装有 m个红球和 n 个白球，mn4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组（m，n）的个数为_. 【答案】3 【解析】 记“取出两个红球”为事件 A，“取出两个白球”为事件 B，“取出一红一白两个球”为事件 C，则 . 依题意得，即.所以，从而为完全平方数.又由 ，得. 所以. 解之得（m，n）=（6，3） （舍去） ，或（10，6） ，或（15，10） ，或（21，
11、15）. 故符合题意的数组（m，n）有 3 个. 故答案为：3 6 【2018 年河南】将圆的一组 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录 个点的颜色，称为该圆的一个“ 阶色序”，当且仅当两个 阶色序对应位置上的颜色至少有一个 不相同时，称为不同的 阶色序若某圆的任意两个“3 阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可 有_个 【答案】8 【解析】 “3 阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3 阶色序”共有种 一方面， 个点可以构成 个“3 阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于 8个 另一方面，若，则必须包含全部 8个“3 阶色序”，如按逆时针方向确定 8个的颜色
12、为“红，红，红， 蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件 故该圆中等分点的个数最多可有 8个 7 【2018 年浙江】在八个数字 2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有_个 既约分数. 【答案】36 【解析】 在 7，11，13 中任取一个整数与在 2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数，共有 种； 在 7，11，13 中任取两个整数也构成既约分数，共有中. 合计有 36 种不同的既约分数. 8 【2016 年吉林】学校 5 月 1 日至 5 月 3 日拟安排六位领导值班，要求每人值班 1 天，每天安排两人.若 六位领导中的甲不能值 2 日，乙不能值 3 日，则不同的安排值班的方法共有_种. 【答案】42 【解析】 分两类： （1）甲、乙同一天值班，则只能排在 1 日，有种排法. （2）甲、乙不在同一天值班，有种排法. 故共有 42 种方法.
