1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 13 平面几何强化训练平面几何强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年贵州预赛】顺次连结圆 x2+y2=9 与双曲线 xy=3 的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面 积为_ 【答案】 【解析】 设 A(m，n)(m0，n0)为两曲线在第一象限的一个交点由两曲线既关于原点对称又关于直线 y=x对称， 得另外三个交点坐标为 B(n，m)，C(m，n)，D(n，m)则四边形 ABCD为矩形，其面积 故答案为： 2 【2018 年北京预赛】一个三角形的一边长为 8，
2、面积为 12，则这个三角形的周长的最小值=_. 【答案】18 【解析】 在中，设边上的高为 ，则，解得. 在的一侧作直线且与的距离为 3， 以 为对称轴作出点 的对称点， 连接， 与 交于 的周长是最小的. 这是因为,此时， 又因为，所以. 因此周长的最小值为 5+5+8=18. 3 【2018 年贵州预赛】若边长为 6的正ABC的三个顶点到平面 的距离分别为 1， 2，3，则ABC的重 心 G 到平面 的距离为_ 【答案】 【解析】 （1）当ABC的三个顶点在平面 的同侧时，由公式求得重心 G 到平面 的距离为 2 （2）当ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面 的异侧时，求得重心
3、G 到平面 的距离分别 为 0， 故答案为： 4 【2018 年贵州预赛】顺次连结圆 x2+y2=9与双曲线 xy=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面 积为_ 【答案】 【解析】 设 A(m，n)(m0，n0)为两曲线在第一象限的一个交点由两曲线既关于原点对称又关于直线 y=x对称， 得另外三个交点坐标为 B(n，m)，C(m，n)，D(n，m)则四边形 ABCD为矩形，其面积 故答案为： 5 【2018 年天津预赛】凸六边形 ABCDEF的 6条边长相等，内角 A、B、C 分别为 134、106、134. 则内角 E 是_（用度数作答）. 【答案】134 【解析】 不妨设边长为 1
4、，设 AC、DF的中点分别为 M、N，且 A 在 DF上的射影为 K，则 ，即. 又设，则，利用， 我们有， 因此，即等腰DEF的底角为 23，可见其顶角 E为 134. 故答案为：134 6 【2018 年河北预赛】设点 O 为三角形 ABC内一点，且满足关系式： _. 【答案】 【解析】 将化为. 设 M、N分别是 AB、AC的中点，则. 设ABC的面积为 S，由几何关系知， 所以. 7【2018 年河北预赛】 过动点M作圆： 22 221xy的切线MN， 其中N为切点， 若MNMO （O为坐标原点） ，则MN的最小值是_ 【答案】 7 2 8 【解析】解答：由圆的方程可得圆心 C 的坐标
5、为(2,2)，半径等于 1. 由 M(a,b),则|MN|2=(a2)2+(b2)212=a2+b24a4b+7， |MO|2=a2+b2. 由|MN|=|MO|,得 a2+b24a4b+7=a2+b2. 整理得：4a+4b7=0. a，b 满足的关系为：4a+4b7=0. 求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值。 在直线 4a+4b7=0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得，直线 OM垂直直线 4a+4b7=0， 由点到直线的距离公式得：MN 的最小值为： 22 77 2 8 44 . 8 【2016 年江西预赛】如图,在四面体 ABCD 中,ABC 为正三角形,AD=BD=2,
6、ADBD,ADCD.则点 D 到面 ABC 的距离为_. 【答案】 【解析】 据题意得 . 则, . 又. 从而,以 D 为顶点的三面角均为直角. 设点 D 到面 ABC 的距离为 h 故 9 【2016 年北京预赛】如图，与正方形的边分别切于点，与边交于点 厘米，厘米.则的面积为_平方厘米 【答案】 【解析】 如图，联结的半径，记半径为 ，作于点 . 则. 又，故. 在中，由勾股定理得 （不合题意）. 故的面积为平方厘米. 10【2016 年北京预赛】 如图，切于点交于点交于点于 点 .联结并延长，与交于点 ，联结.若，则的 度数为_. 【答案】 【解析】 联结. 因为切于点 ，所以. 由.
7、 又 四点共圆 . 又，故 . 11 【2016 年吉林预赛】给定平面上四点 O、A、B、C，满足.则的 最大值为_. 【答案】 【解析】 试题分析： 由已知，得，由余弦定理可得，从而中边边 上的高为，由知点 在以 为圆心，4 为半径的圆上， 到直线的距离最大值为， 面积的最大值为 考点：向量的数量积，三角形面积最大值 12 【2016 年天津预赛】已知凸 n 边形 n 个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角 的度数的 3 倍.则 n 可以取到的最大值为_. 【答案】20 【解析】 设 n 个内角的度数按从大到小的次序为：， 则. 由 n 个内角的度数均为整数知 . 再由
8、n 个内角的度数均为整数且互不相等知. . 故， ， ， 结合 n 为正整数,知. 因为当时, , , 所以,n 个内角的度数为满足要求. 综上,n 可取到的最大值为 20. 13 【2018 年河北预赛】如图，设的外接圆为的角平分线与 BC交于点 D，M为 BC的中 点.若的外接圆分别与 AB、AC交于 P、Q、N 为 PQ的中点.证明： （1）BP=CQ； （2）. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 (1)设 在中，的平分线，所以，故有， 因此有，所以， 又，由 由，得 因此. (2)连结 BQ、PC，并设 X、Y 分别为 BQ、PC的中点，易证 XN平行且等于 MY，所以四边
9、形为 NXMY平 行四边形，由 CQ=BP 知 NX=NY，所以四边形为 NXMY菱形，从而 MN平分，又 AD平分 ，所以. 14 【2018 年辽宁预赛】如图，交于点的另一个交点为 ，经过点 的 一条直线分别与交于点的延长线与交于点 ，作交于点 ，再 作分别与切于点.证明：. 【答案】见解析 【解析】 联结，与分别交于点. 由相交弦定理及切割线定理得. 两式相加得. 又 故 . 15 【2018 年江西预赛】如图，的内心为分别是边的中点，证明：直线平 分的周长 【答案】见解析 【解析】 如图，不妨设的内切圆切 图 过 作内切圆的直径，过的切线分别交，则 由于的旁切圆，因， 所以有 延长，则
10、，因此， 故的中位线，所以， 因四边形为平行四边形，所以，相似比为 同理，相似比为 又注意，相似比均为， 既然有，所以， 因此，即所证结论成立 附注 在几何题中用到三角形内切圆的一个基本性质 如图，在中，内切圆， 设的直径，若，则 证明：过，点分别在上 设的半径为， 连结，由于分别平分一对互补角， 所以，且，则 同理，则， 所以，则 又由，得，所以， 根据式得，所以，即， 由此得，即，也就是 （同时也有 ） 16 【2018 年山西预赛】如图，圆内接四边形 ABCD中，自 AD 的中点 M,作 为垂足.证明:MN 过线段 EF的中点. 【答案】见解析 【解析】 如图所示,在线段 AB、CD上分
11、别取点 G、H，使 GE=AE,HF=DF,则 A、G、H、D 四点共圆(以 M 点为该圆 的圆心)， 所以， 于是 GH/BC,则 MNGH.设垂足为 K,于是 K为 GH的中点(圆心 M至圆弦的垂线，平分该弦)， 这样就有 E、K、F、M 为四边形 AGHD四条边的中点, 因此四边形 EKFM 为平行四边形， 故其对角线互相平分,即 MN过线段 EF的中点. 17 【2018 年湖南预赛】 （1）已知 P 是矩形 ABCD所在平面上的一点，则有.试证 明该命题. （2）将上述命题推广到 P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明. （3）将矩形 ABCD进一步推广到长方体，并利
12、用（2）得到的命题建立并证明一个新命 题. 【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】 （1）如图，设在直角坐标平面中，矩形 ABCD 的顶点坐标分别为， 点是直角坐标平面上的任意一点，则 故. （2）推广命题：若棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD是矩形，则有. 证明：如图，设棱锥的底面 ABCD在空间直角坐标系的平面上，矩形 ABCD的顶点坐标为 ，设 P 点坐标为，则 ， ， 故. （3）再推广命题：设是长方体，P 是空间上任意一点，则 . 证明：如图，由（2）中定理可得 ， 所以. 18 【2018 年福建预赛】如图，在锐角中，是边上的点，的外心分 别为证明： （1）；
13、（2）若，则 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 （1）如图，连结 因为分别为的外心，所以为线段的垂直平分线 所以 故 （2）如图，连结延长相交于点 由分别为的外心， 知分别是线段的垂直平分线 所以 又 所以四点共圆， 又，所以 所以四点共圆， 设的延长线分别与相交于， 则故四点共圆 又，所以故 19 【2016 年上海预赛】在锐角ABC中，已知A=75 ，AC=b，AB=c。求ABC的外接正三角形面积的 最大值。 【答案】 【解析】 设DEF 为ABC 的外接正三角形,如图 1. 记BAF=a. 则由正弦定理得 故 EF=AE +AF 当时，上式等号成立. 于是，ABC 的外接正三
14、角形面积的最大值为 20 【2016 年上海预赛】如图，正的边长为 5，延长 BA 至点 P，使得 D 为线段 BC 上一 点（包括端点） ，直线 AD 与的外接圆交于 E、F 两点，其中， （1）设，试将表示为关于 x 的函数； （2）求的最小值 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）设则 在正中，由余弦定理得 对的外接圆运用相交弦定理得 （2）设则 当且仅当，即时，取到最小值 21 【2016 年辽宁预赛】如图,在锐角ABC 中,其外接圆圆心为 O,半径为 R,AO 的延长线与BOC 的外接圆 交于点,BO 的延长线与AOC 的外接圆交于点,CO 的延长线与AOB 的外接圆交于点证明
15、： . 【答案】见解析 【解析】 设与 BC、与 CA、与 AB 的交点依次为 D、E、F,AOB、BOC、COA 的面积依次记为 S1、S2、S3 由 B、O、C、A 四点共圆 类似地，.由,且 ,知. 类似地, . 故 当且仅当时,上式等号成立,此时,ABC 为正三角形. 故,当且仅当ABC 为正三角形时,等号成立. 22 【2016 年江苏预赛】如图，在圆内接四边形 ABCD 中，边 BA、CD 的延长线交于点 P，分别为 的内心，直线交于点 H证明： 【答案】见解析 【解析】 如图，设直线与 AB、CD 分别交于点 E、F，联结 由的内心知 类似地， 又，故、C 四点共圆， 则为等腰三
16、角形 又的平分线交点，于是，的内心 从而，即 23 【2016 年湖南预赛】在正方形中， 为边上一点（点 与顶点不重合）. 延长，与的延长 线交于点 . 设的内切圆半径分别为. （1）证明：，并指出点 在什么位置时，等号成立； （2）若，证明：. 【答案】(1) 的中点(2)见解析 【解析】 （1）如图 由 . 而，故 . 当且仅当，即的中点时，式等号成立. （2）由（1）得. 则 . 记. 则 . 令. 于是，且. 从而，其为关于 的单调递减函数. 故 . 24 【2016 年河南预赛】如图，的切线，为切点， 为线段的中点，为一条割线， 直线分别交于三点。证明： （1）; （2）. 【答案】
17、 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）如图，易知， 、三点共线.联结. 在中，. 又，故， 四点共圆， 由， ， ， . （2）由（1）知： . 因为，所以， 又，则 . 类似地， 故 注意到， 则 类似地， 由式、得. 25 【2016 年北京预赛】如图，点 在线段上，分别以为直径作半圆、半圆、半圆 ， 形成的阴影图形称作“皮匠刀形”， 过点的垂线与半圆交于点 ， 半圆、 半圆的 外公切线为.证明：. 【答案】见解析 【解析】 如图，设. 则. 由 . 联结，过点的平行线，与交于点 . 易知，在中， . 故 . 由、式得 . 26 【2016 年北京预赛】如图，在锐角中，垂心 关于
18、边的对称点分别为， 关于边的中点的对称点分别为.证明： （1）六点共圆； （2）； （3）. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 证明： （1）如图，作的外接圆. 下面证明：均在上. 由的垂心 关于边的对称点，则. 故 . 因为的对顶角，且， 所以四边形中， . 这表明，点同在上. 类似地，点也在上. 再由点关于边在中点的对称点，则. 又，得四边形为平行四边形. 从而，. 易知，. 故. 因此，点上. 类似地，点也在上. （2）由，得. 因此，的一条直径，即为点 关于 的对称点. 类似地，为点 关于 的对称点，为点 关于 的对称点. 故 . （3）由的中位线知.
19、类似地， ； . 则， 因此，相似比为 . 从而，. 27 【2016 年福建预赛】 如图， O为ABC 的外接圆， DA为O的切线， 且DBA=ABC， E为 DB与O 的另一交点，点 F 在O上，且 BFEC，G为 CF的延长线与 DA的交点.证明：AG=AD. 【答案】见解析 【解析】 在ABC、ABD中，由 DA 为O的切线，知BAD=BAC. 又DBAABC，于是ADB=CAB. 因为 A、B、E、C四点共圆，所以，CAB+CEB=180 ADE+DEC=180 ECDA. 又 BFECECBFDG. 由 EC、BF 为O的两条平行弦知 CF=EB. 于是，GC=DE，GF=DB.
20、又 GA2=GF GC，DA2=DB DE GA2=DA2，AG=AD. 28 【2016 年陕西预赛】如图，O1与O2交于 P、Q两点，A 的弦以与O2相切，O2的弦 PB与O1 相切，直线 PQ与PAB 的外接圆O交于另一点 R.证明：PQ=QR. 【答案】见解析 【解析】 联结 O1O2，分别与 PQ、PO交于点 M、N，则 O1O2PQ，且 M 为 PQ的中点.联结 PO1、PO2、OOl、OO2、 OQ、OR. 因为 PA 与O2相切，所以，PAPO2. 又 PA为O1与O的公共弦，则 PAO1O. 于是，PO2O1O. 类似地，PO1O2O. 所以，四边形 PO1OO2为平行四边形
21、. 从而，N为 PO 的中点. 由 M为 PQ的中点，知 MNOQ，即 O1O2OQ. 因为 O1O2OQ，所以，OQPR. 又 OP=OR，故 Q为 PR的中点，即 PQ=QR. 29【2016 年安徽预赛】 设的内切圆与三边切于点 D、 E、 F.证明：相似当且仅当 为正三角形. 【答案】见解析 【解析】 如图，设 O 为的内心. 则. 类似地， . 不妨设.则 . 故 . 30 【2016 年山西预赛】在ABC 中，M、N 分别为边 AB、AC 上的点，且满足.证明：线段 MN 经 过ABC 的重心 【答案】见解析 【解析】 如图，取 AC 的中点 D 由于，则点 N 在线段 CD 内故线段 BD 与 MN 相交，设交点为 G 下面证明：G 即为ABC 的重心 对 MN 和ABD 应用梅涅劳斯定理得 由于点 G 在中线 BD 上，从而，G 为ABC 的重心，即 MN 经过ABC 的重心
