1、电磁感应与功和能综合 1. 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为 R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运 动，求： （1）感应电动势的大小E； （2）拉力做功的功率P； （3）ab边产生的焦耳热Q。 2.如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为 m，相邻各边相互垂直，且处于同一竖直平面内，ab 边长为 l，cd 边长 为 2l，ab 与 cd 平行，间距为 2l匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面开始时，cd 边 到磁场上边界的距离为 2l
2、，线框由静止释放，从 cd 边进入磁场直到 ef、pq 边进入磁场前，线框做匀速运动在 ef、 pq 边离开磁场后，ab 边离开磁场之前，线框又做匀速运动线框完全穿过磁场过程中产生的热量为 Q线框在下 落过程中始终处于原竖直平面内，且 ab、cd 边保持水平，重力加速度为 g求： （1）线框 ab 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是 cd 边刚进入磁场时的几倍； （2）磁场上下边界间的距离 H 3.电磁缓冲器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置， 其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。 电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面
3、上，斜面 与水平方向夹角为。一质量为 m 的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始 终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动，铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为 d 的正方形，由于磁 铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为 B，铝条的高度大于 d，电阻 率为 ，为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁 铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为 g （1）求铝条中与磁铁正对部分的电流 I； （2）若两铝条的宽度均为 b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度
4、v 的表达式； （3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度 bb的铝条，磁铁仍以速度 v 进入铝条间，试简要分析 说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化。 4. 发电机和电动机具有装置上的类似性， 源于它们机理上的类似性。 直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化 为如图 1、图 2 所示的情景。 在竖直向下的磁感应强度为 B 的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道 MN、PQ 固定在水平面内，相距为 L，电阻不 计。电阻为 R 的金属导体棒 ab 垂直于 MN、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好，以速度 v（v 平行于 MN）向右做匀 速运动。 图 1 轨道端点 MP 间接有阻值为
5、r 的电阻， 导体棒 ab 受到水平向右的外力作用。 图 2 轨道端点 MP 间接有直流电源， 导体棒 ab 通过滑轮匀速提升重物，电路中的电流为 I。 （1）求在 t 时间内，图 1“发电机”产生的电能和图 2“电动机”输出的机械能。 （2）从微观角度看，导体棒 ab 中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。为了方便，可认为导 体棒中的自由电荷为正电荷。 a请在图 3（图 1 的导体棒 ab）、图 4（图 2 的导体棒 ab）中，分别画出自由电荷所受洛伦兹力的示意图。 b我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导体棒 ab 中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中 起到
6、作用的呢？请以图 2“电动机”为例，通过计算分析说明。 5.如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距 L，放在水平绝缘桌面上，半径为 R 的 l/4 圆弧部分处在竖直平面内且 与水平直轨道在最低点相切，水平直导轨部分处在磁感应强度为 B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘 平齐。 两金属棒 ab、cd 垂直于两导轨且与导轨接触良好。 棒 ab 质量为 2 m， 电阻为 r，棒 cd 的质量为 m，电阻为 r。 重力加速度为 g。开始时棒 cd 静止在水平直导轨上，棒 ab 从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒 cd 始 终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒 a
7、b 与棒 cd 落地点到桌面边缘的水平距离之比为 3:1。求： （1）棒 ab 和棒 cd 离开导轨时的速度大小； （2）棒 ab 在水平导轨上的最大加速度； （3）棒 ab 在导轨上运动过程中产生的焦耳热。 6.如图，两根相距 l0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值 R0.15 的电阻相连。导轨 x0 一侧存在沿 x 方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率 k0.5T/m，x0 处磁场的磁感应强度 B0 0.5T。一根质量 m0.1kg、电阻 r0.05 的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从 x0 处以初 速度 v02m/s 沿导轨向右运动，运
8、动过程中电阻上消耗的功率不变。求： (1)回路中的电流； (2)金属棒在 x2m 处的速度； (3)金属棒从 x0 运动到 x2m 过程中安培力做功的大小； (4)金属棒从 x0 运动到 x2m 过程中外力的平均功率。 答案解析答案解析 1. 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为 R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运 动，求： （1）感应电动势的大小E； （2）拉力做功的功率P； （3）ab边产生的焦耳热Q。 【答案】（1）由法拉第电磁感应定律可得，感应电
9、动势E=BLv （2）线圈中的感应电流 E I R 拉力大小等于安培力大小F=BIL 拉力的功率 2 2 2 B L v PFv R （3）线圈ab边电阻 4 ab R R 时间 L t v ab边产生的焦耳热 2 3 2 4 ab B L v QI R t R 2.如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为 m，相邻各边相互垂直，且处于同一竖直平面内，ab 边长为 l，cd 边长 为 2l，ab 与 cd 平行，间距为 2l匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面开始时，cd 边 到磁场上边界的距离为 2l，线框由静止释放，从 cd 边进入磁场直到 ef、pq 边进入磁场前，线框
10、做匀速运动在 ef、 pq 边离开磁场后，ab 边离开磁场之前，线框又做匀速运动线框完全穿过磁场过程中产生的热量为 Q线框在下 落过程中始终处于原竖直平面内，且 ab、cd 边保持水平，重力加速度为 g求： （1）线框 ab 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是 cd 边刚进入磁场时的几倍； （2）磁场上下边界间的距离 H 【解析】 （1）设线框 dc 边刚进入磁场时，线框的速度为 v1，感应电动势 E=B2lv1 感应电流：I= R E dc 边受安培力的大小：F=BI2l 由于做匀速运动，则：F=mg 由式解得速度： 设线框 ab 边将离开磁场时，线框的速度为 v2，同理可得： 所以：v2
11、=4v1 （2）在线框从开始下落到 dc 边刚进入磁场的过程中，重力做功 WG=2mgl 根据动能定理得：2mgl= 线框完全穿过磁场的过程中，由功能关系得： 联立得：H= 3.电磁缓冲器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置， 其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。 电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面 与水平方向夹角为。一质量为 m 的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始 终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动，铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为 d 的正方形，由于磁 铁距离
12、铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为 B，铝条的高度大于 d，电阻 率为 ，为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁 铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为 g （1）求铝条中与磁铁正对部分的电流 I； （2）若两铝条的宽度均为 b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度 v 的表达式； （3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度 bb的铝条，磁铁仍以速度 v 进入铝条间，试简要分析 说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化。 【答案】 （1） sin 2 mg I Bd （2） 2
13、2 sin 2 mg v B d b （3）见解析过程； 【解析】 （1）磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等，均为 F安， 有BIdF 安 磁铁受到沿斜面向上的作用力 F，其大小为 安 FF2 磁铁匀速运动时受力平衡，则0sinmgF 联立以上 3 式，解得 Bd mg I 2 sin （2）磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为 E，有 E=Bdv 铝条与磁铁正对部分的电阻为 R，由电阻定律有 d R db 由欧姆定律有 E I R 联立式可得 22 sin 2 mg v B d b （3）磁铁以速度v进入铝条间，恰好做匀速运动，磁铁受到沿斜面向上的作用力 F，联立可解得
14、bvdB F 22 2 当铝条的宽度bb 时，磁铁以速度 v 进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为 F，有 vbdB F 22 2 可见sinmgFF，磁铁所受的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度， ，磁铁将减速下滑，此 时加速度最大，之后，随着运动速度减小，F 也随着减小，磁铁所受合力也减小，由于磁铁加速度与所受合力成正 比，磁铁的加速度逐渐减小。综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动，直到sinmgF 时，磁铁重新达到 平衡，经再次以较小的速度匀速下滑。 考点：安培力；物体的平衡；电阻定律及欧姆定律 4. 发电机和电动机具有装置上的类似性， 源于它们机理上的类似性。 直流发电机
15、和直流电动机的工作原理可以简化 为如图 1、图 2 所示的情景。 在竖直向下的磁感应强度为 B 的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道 MN、PQ 固定在水平面内，相距为 L，电阻不 计。电阻为 R 的金属导体棒 ab 垂直于 MN、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好，以速度 v（v 平行于 MN）向右做匀 速运动。 图 1 轨道端点 MP 间接有阻值为 r 的电阻， 导体棒 ab 受到水平向右的外力作用。 图 2 轨道端点 MP 间接有直流电源， 导体棒 ab 通过滑轮匀速提升重物，电路中的电流为 I。 （1）求在 t 时间内，图 1“发电机”产生的电能和图 2“电动机”输出的机械能。 （2）从微
16、观角度看，导体棒 ab 中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。为了方便，可认为导 体棒中的自由电荷为正电荷。 a请在图 3（图 1 的导体棒 ab）、图 4（图 2 的导体棒 ab）中，分别画出自由电荷所受洛伦兹力的示意图。 b我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导体棒 ab 中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中 起到作用的呢？请以图 2“电动机”为例，通过计算分析说明。 【解析】（1）图 1 “发动机”产生的电能 Ee e E= tEI NLvE rR E I 解得t rR vLB Ee 222 图 2，“电动机”输出的机械能为重物增加的重力势能 tmgvmg
17、hEp 匀速运动 安 Fmg BILF 安 解得tBILvEP （2） 图 3 中洛伦兹力示意图 图 4 中洛伦兹力示意图 设杆的横截面积为 S，单位体积内的自由电荷的个数为 n，每个自由电荷电量为 q，沿杆定向运动速率为 y v yx Bqvf B q vfy Wx= tvnSLfx=tvnSLBqvy=tBILv，因为 y nSqvI Wy=- tvnSLf yy =-tnSLBqvvy=-tBILv 合洛伦兹力不做功，但沿杆方向的洛伦兹力做负功，电能减少；垂直杆方向的洛伦兹力做正功，机械能增加，电能 转化为机械能。 5.如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距 L，放在水平绝缘桌面上，半径
18、为 R 的 l/4 圆弧部分处在竖直平面内且 与水平直轨道在最低点相切，水平直导轨部分处在磁感应强度为 B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘 平齐。 两金属棒 ab、cd 垂直于两导轨且与导轨接触良好。 棒 ab 质量为 2 m， 电阻为 r，棒 cd 的质量为 m，电阻为 r。 重力加速度为 g。开始时棒 cd 静止在水平直导轨上，棒 ab 从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒 cd 始 终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒 ab 与棒 cd 落地点到桌面边缘的水平距离之比为 3:1。求： （1）棒 ab 和棒 cd 离开导轨时的速度大小； （2）棒 a
19、b 在水平导轨上的最大加速度； （3）棒 ab 在导轨上运动过程中产生的焦耳热。 【解析】 （1）设 ab 棒进入水平导轨的速度为 v0，由动能定理 2 0 2 2 1 2mvmgR 离开导轨时，设 ab、cd 棒的速度分别为 v1 、v2 ，由于二者收到的安培力的合力为零，动量定恒， 210 22mvmvmv 由于做平抛运动的时间相等，有vtx 得； 1:3: 2121 xxvv 得：gRv2 7 6 1 ,gRv2 7 2 2 （2）ab 棒刚进入水平导轨时，cd 棒还未运动，此时回路中电流最大，ab 受到的安培力最大，加速度最大， 0 B L vE , r E I 2 , maBILF2
20、 得： mr gRLB a 4 2 22 （3）根据能量定恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为： 2 2 2 1 2 1 2 2 1 22mvmvmgRQ 得： mgRQ 49 11 6.如图，两根相距 l0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值 R0.15 的电阻相连。导轨 x0 一侧存在沿 x 方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率 k0.5T/m，x0 处磁场的磁感应强度 B0 0.5T。一根质量 m0.1kg、电阻 r0.05 的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从 x0 处以初 速度 v02m/s 沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率
21、不变。求： (1)回路中的电流； (2)金属棒在 x2m 处的速度； (3)金属棒从 x0 运动到 x2m 过程中安培力做功的大小； (4)金属棒从 x0 运动到 x2m 过程中外力的平均功率。 【解析】 （1）因为运动过程中电阻上消耗的功率不变，根据RIP 2 ，所以 I 是定值。 05. 015. 0 24 . 05 . 0 000 rR LvB R E I=A2 (2) 在 x2m 处，TkxBB5 . 125 . 05 . 0 0 根据 rR BLv I ，sm BL rRI v/ 3 2 4 . 05 . 1 )05. 015. 0(2)( (3)安培力)1 (4 . 04 . 02)5 . 05 . 0()( 0 xxILkxBBILFAN xF 图象如下 F 做的功为图象中梯形的“面积”，JW6 . 1 2 2)2 . 14 . 0( 安 (4)根据动能定理 2 0 2 2 1 2 1 -mvmvWW 安外 将数据代入得JW 45 64 外 根据trRIW)( 2 安 ，解得 )( 2 rRI W t 安 ，代入数据得st2 外力的平均功率WW t W P7 . 0 45 32 外
