1、第八章第八章 Fourier 变换变换8.2 单位冲激函数单位冲激函数8.1 Fourier 变换的概念变换的概念 8.3 Fourier 变换的性质变换的性质Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等如求解微分方程、化卷积为乘积等等)，又具有，又具有非常特殊的物理意义。非常特殊的物理意义。的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积分课程中已经学习了展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关级数的有关 内容，
2、因此本节将先简单地回顾一下内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。级数展开。8.1 Fourier 变换的概念变换的概念因此，因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier 变换是在周期函数的变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发级数的基础上发8.1 Fourier 变换的概念变换的概念一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数二、二、非非周期函数的周期函数的 Fourier 变换变换一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数1.简谐波的基本概念简谐波的基本概念)cos()(0 t
3、Atx简谐波简谐波为基本为基本周期周期；02 T 210 TF为为频率频率。A 称为称为振幅振幅，其中，其中，0 称为称为角频率角频率，称为称为相位相位，(称为称为零相位零相位)。0 (单位：秒单位：秒)(单位：赫兹单位：赫兹 Hz)tbta00sincos 补补 一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数2.正交函数系正交函数系函数系函数系tntn0cos)(1)(0 t tt01cos)(tt022cos)(tntn0sin)(tt01sin)(tt022sin)(补补 2.正交函数系正交函数系特点特点 由由 组合叠加可以生成组合叠加可以生成周期为周期为 T 的复杂波。的复杂波
4、。)(),(ttkk (1)周期性周期性(2)正交性正交性 2/2/,0d)()(TTtttnm 2/2/,0d)()(TTtttlk 2/2/,0d)()(TTtttlk )(lk 一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数2.正交函数系正交函数系问题问题对于任何一个周期为对于任何一个周期为 T 的的(复杂复杂)函数函数 ，)(tfT 100)()()()(nnnnnTtbtatAtf?1000sincosnnntnbtnaA .)cos(100 nnntnAA 能否：能否：(Fourier级数的历史回顾级数的历史回顾)区间区
5、间 上上满足如下条件满足如下条件(称为称为 Dirichlet 条件条件)：2/,2/TT 则在则在 的的连续连续点点处有处有)(tfT(1)连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点只有有限个极值点.(Dirichlet 定理定理)设设 是以是以 T 为周期的实值函数，且在为周期的实值函数，且在)(tfT定理定理3.Fourier 级数的三角形式级数的三角形式一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P183定理定理 8.1 在在 的的间断间断处，上处，上式左端为式左端为 .)0()0(21 tftfTT)(tfT,20T 称之为称之为基频
6、基频。(Dirichlet 定理定理)定理定理3.Fourier 级数的三角形式级数的三角形式,dcos)(22/2/0 TTTnttntfTa,2,1,0 n,dsin)(22/2/0 TTTnttntfTb其中其中,2,1 n,)sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)称称(A)式为式为 Fourier 级数的三角形式级数的三角形式。定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数4.Fourier 级数的物理含义级数的物理含义,cosnnnAa ,sinnnnAb ，200aA ,22nnnbaA 令令则则(A)式变为式变为OnAnanb n,)sin
7、cos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)改写改写一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P184 )cos()(100nnnTtnAAtf 这些简谐波的这些简谐波的(角角)频率分别为一个基频频率分别为一个基频 的倍数。的倍数。0频率成份，其频率是以基频频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。”0 这是周期信号的一个非常重要的特点这是周期信号的一个非常重要的特点。4.Fourier 级数的物理含义级数的物理含义)cos()(100nnnTtnAAtf 认为认为“一个周期为一个周期为 T 的周期信号的周期信号 并不包含所有的并不包含所有的)(tf
8、T意义意义周期信号可以分解为一系列周期信号可以分解为一系列固定频率固定频率的简谐波之和，的简谐波之和，表明表明一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数相位相位n反映了在信号反映了在信号 中中频率为频率为 的简谐波的简谐波)(tfT0n 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。4.Fourier 级数的物理含义级数的物理含义反映了频率为反映了频率为 的简谐波在信号的简谐波在信号 中中0n)(tfT振幅振幅nA所占有的份额；所占有的份额；沿时间轴移动的大小。沿时间轴移动的大小。一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数)cos(
9、)(100nnnTtnAAtf 5.Fourier 级数的指数形式级数的指数形式代入代入(A)式并整理得式并整理得根据根据 Euler 公式公式 ,sincos00j0etnjtntn )1(j可得可得,2cos00ee0tjntjntn 2sin00ee0tjntjnjjtn .)e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推导推导,)sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)已知已知一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P183 5.Fourier 级数的指数形式级数的指数形式.)e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnT
10、jbajbaatf推导推导则有则有令令,200ac ,2nnnjbac ,2nnnjbac 其中其中,de)(12/2/0 TTtjnTnttfTc,2,1,0 n,)(0e ntjnnTctf(B)称称(B)式为式为 Fourier 级数的指数形式级数的指数形式。定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数(1)分解式是惟一的。分解式是惟一的。注意注意(2)计算系数计算系数 时时,其中的积分可以在任意其中的积分可以在任意nc一个长度为一个长度为 T 的区间上进行。的区间上进行。(3)采用周期延拓技术，可以将结论应用到采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上
11、的函数。仅仅定义在某个有限区间上的函数。5.Fourier 级数的指数形式级数的指数形式一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数6.离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图,00Ac ，221|22nnnnnAbacc 得得OnAnanb n nbn nc2nc 2,200ac ,2nnnjbac 分析分析,2nnnjbac 由由即即 的模与辐角正好是振幅和相位。的模与辐角正好是振幅和相位。nc,argargnnncc .)0(n称称 为为频谱频谱，记为，记为nc.)(0ncnF 称称 为为振幅谱振幅谱，称称 为为相位谱相位谱；|ncncarg定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fou
12、rier 级数级数P185 6.离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图将振幅将振幅 、相位、相位 与频率与频率 的关系画成图形。的关系画成图形。0n|ncncarg频谱图频谱图O|)(|0nF 0 02 03 04 0 02 03 04 O 0 02 03 04 0 02 03 04 )(arg0nF一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数(1)当当 n=0 时，时，解解 基频基频.120 T)0(0Fc TTttfT0d)(1.d2120tt 2/2/d)(1TTTttfTO)(tfTt 2 2解解(2)当当 时时,0 n)(0nFcn 2/2/de)(10TTtjnTttfT jn
13、ttt20de21 jnttjn20de21 20e21jnttjn jnttjn20de21.nj TtjnTttfT0de)(10O)(tfTt 2 2(3)的的 Fourier 级数为级数为 0.e)(nnjntTnjtf)(tfT解解)(0nF .0,|1,0,nnn(4)振幅谱为振幅谱为)(arg0nF .0,2,0,2,0,0nnn相位谱为相位谱为O)(tfTt 2 2(5)频谱图如下图所示。频谱图如下图所示。解解1 22 1O)(0nF 1 22 1O)(arg0nF 2/2/O)(tfTt 2 2借助借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个级数展开，使得人们能够
14、完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为信号的分析手段也称为频谱分析频谱分析(或者或者谐波分析谐波分析)。但是，但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函级数要求被展开的函数必须是周期函数，数，而在工程实际问题中，而在工程实际问题中，大量遇到的是非周期函数，大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换(1)非周期函数可以看成
15、是一个周期为无穷大的非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数周期函数”。1.简单分析简单分析)(tft)(tfTt)(tfTt2/T 2/T)(lim)(tftfTT 当当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；越来越大时，取值间隔越来越小；当当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以其频谱是以 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。T20 即频谱将连续取值。即频谱将连续取值。(2)当当 时，时，频率特性频率特性发生了什么变化？发生了什么变化？T二、二、非非周期函数的傅立叶
16、变换周期函数的傅立叶变换1.简单分析简单分析Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析分析(3)当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？发生了什么变化？T二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1.简单分析简单分析tjnnTTtjnTTttfT00ede)(1lim2/2/0n,n记为记为节点节点0,将间隔将间隔记为记为得得T 220并由并由tjnnnTc0elim )(tf)(limtfTT 分析分析ttftjntjTnn ede)(lim21/0 )(tf(C)P187 分析分析则则按照积分定义，在一定条件下，按照积分
17、定义，在一定条件下，(C)式可写为式可写为)(gT记记,ede)(/tjtjTttf gnnT )(lim210)(tfttftjtjdede)(21 )(tf(3)当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？发生了什么变化？T二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1.简单分析简单分析.d|)(|ttf(2)绝对可积，即绝对可积，即),(上的任一有限区间内满足上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件；条件；(1)在在二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换定理定理 设函数设函数 满足满足)(tf.)0()0(21 tftf的间断处，公式的左端应为的间断处，公
18、式的左端应为在在)(tf2.Fourier 积分公式积分公式称称(D)式式为为 Fourier 积分公式积分公式。定义定义则在则在的连续点处，有的连续点处，有)(tf)(tfttftjtjdede)(21 (D)P187定理定理 8.2 (2)Fourier 逆变换逆变换(简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换)(tf)(F称为称为傅氏变换对傅氏变换对，记为，记为与与.)()(Ftf二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换 ttfFtde)()(j)(tf de)(21)(jtFtf)(F 1(1)Fourier 正变换正变换(简称简称傅氏正变换傅氏正变换)定义定义其中，其中，称为称为象原函
19、数象原函数称为称为象函数象函数，)(tf)(F3.Fourier 变换的定义变换的定义P188定义定义 8.1 注注 上述变换中的广义积分为柯西主值。上述变换中的广义积分为柯西主值。.e|)(|)()(arg FjFF 二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换4.Fourier 变换的物理意义变换的物理意义与与 Fourier 级数的物理意义一样，级数的物理意义一样，Fourier 变换同样变换同样称称 为为振幅谱振幅谱；称称 为为相位谱相位谱。|)(|F)(arg F刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取
20、值的。函数的频谱是连续取值的。一般为复值函数，故可表示为一般为复值函数，故可表示为称称 为为频谱密度函数频谱密度函数(简称为简称为连续频谱连续频谱或者或者频谱频谱)；)(F定义定义)(F反映的是反映的是 中各频率分量的分布密度，它中各频率分量的分布密度，它)(tfP188 jjaja2)e(e2 aattdej aatjj e1)e(e1 jajaj .sin2 aaa )(F ttftde)(j 解解)(tf(1)(tfa a1OtP188 例例8.2 )(F(2)振幅谱为振幅谱为 aaasin2)(arg F anananan)22(|)12(,)12(|2,0 相位谱为相位谱为解解|)(
21、|F2aO aa)(arg FOaa主瓣主瓣旁瓣旁瓣(3)求求 Fourier 逆变换，即可得到的逆变换，即可得到的 Fourier 积分表达式。积分表达式。解解 dcossin221ta dsinsin22taj dcossin1ta .|,0,|,21,|,1atatat.)0(,dsin axxxa dsin221etja)(F 1)(tf，0 t可得重要积分公式可得重要积分公式:在上式中令在上式中令注注，0 t可得重要积分公式可得重要积分公式:在上式中令在上式中令.)0(,dsin axxxa 一般地，有一般地，有 .0,0,0,0,dsinaaaxxxa 特别地，有特别地，有.2ds
22、in0 xxx 注注 0)(dettj j 1.22 j 0)(e)(1tjj 1O)(tft)(F 0jdeettt 解解)(tf(1)P190 例例8.4 解解振幅谱为振幅谱为;1|)(|22 F(2).)/arctan()(arg F相位谱为相位谱为|)(|F a/1O)(arg F2/2/O de)(21tjF 00de21 tjtt0sin tt000sin )(tf解解)(F 100e21 tjt jjttjtj2ee100 1O)(F 0 0 .)(00tSa (?)(关于抽样信号关于抽样信号)P189 例例8.3 d221etjj)(tf解解 )(F 1 dcos1dsin1j
23、tjtj dsin1t 0,10,00,1ttt)(tft 1 1 .2sgn jt.sgnt记为记为 轻松一下历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附：1807 年年 12 月月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上，日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：在有限区间上由在有限区间上由任意任意图形定义的图形定义的任何任何函数函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人(号称号称 3L)审阅后，审阅后
24、，认为其推导极不严密，被拒认为其推导极不严密，被拒(锯锯)收收。1811 年，年，Fourier 将修改好的论文：将修改好的论文：提交给法国科学院。提交给法国科学院。关于热传导问题的研究关于热传导问题的研究其新颖、实用，从而于其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的年获得法国科学院颁发的大奖，但仍以其不严密性被大奖，但仍以其不严密性被论文汇编论文汇编拒拒(锯锯)收。收。经过评审小组经过评审小组(3L)审阅后，认为审阅后，认为历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附：1822 年，年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著：经过十年的努力，终于出版了专著：热的解析理
25、论热的解析理论这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。工程应用方面显示出巨大的价值。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附：1829 年，德国数学家年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较终于对一类条件较“宽宽”的的函数给出了严格的证明。时年函数给出了严格的证明。时年 24 岁。岁。1830年年 5 月月 16 日，日，Fourier 在巴黎去世。在巴黎去世。启示：启示：(1)有价值的
26、东西一定是真的；真的东西一定是美的。有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。(2)坚持不懈的努力就一定会有收获。坚持不懈的努力就一定会有收获。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附：解析数论的创始人之一。解析数论的创始人之一。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。对德国数学发展产生巨大影响。对德国数学发展产生巨大影响。德国数学家(18051859)狄利克雷Dirichlet，Peter Gustav Lejeune人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附：附：1859年年5月月5日卒于格丁根。日卒于格丁根。1839年任柏林大学教授。年任柏林大学教
27、授。1855年接任年接任 C.F.高斯高斯在哥廷根大学的教授职位。在哥廷根大学的教授职位。1805年年2月月13日生于迪伦。日生于迪伦。18221826年在巴黎求学。年在巴黎求学。中学时曾受教于物理学家中学时曾受教于物理学家 G.S.欧姆欧姆。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附：附：附：附：人物介绍人物介绍 傅立叶傅立叶 傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。1822年出版经典著作年出版经典著作热的解析理论热的解析理论。“深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。深入研究自
28、然是数学发现最丰富的源泉。”J.Fourier法国数学家、物理学家(17681830)傅立叶Fourier，Jean Baptiste Joseph 1801年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。1795年任巴黎综合工科大学助教。年任巴黎综合工科大学助教。1798年随拿破仑军队远征埃及。年随拿破仑军队远征埃及。1768年年3月月21日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。1785年回乡教数学。年回乡教数学。9岁父母双亡，岁父母双亡，12岁由一主教送入军事学校读书。岁由一主教送入军事学校读书。1817年当选为法国科学院院士。年当选为法国科
29、学院院士。1822年任法国科学院终身秘书。年任法国科学院终身秘书。1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。附：附：人物介绍人物介绍 傅立叶傅立叶(返回返回)附：附：抽样信号抽样信号 通常将函数通常将函数ttsin)(tSa称为称为抽样信号抽样信号，记为，记为 或者或者.)(sinc t 抽样信号在连续抽样信号在连续(时间时间)信号的信号的离散化、离散化、离散离散(时间时间)信号信号的的1)(sinc tt精确恢复精确恢复以及信号的以及信号的滤波滤波中发挥着重要的作用。中发挥着重要的作用。附：附：低通滤波低通滤波 函数函数称为称为理想低通滤波因子理想低通滤波因子；)()(00tStha 它所对应的频谱函数它所对应的频谱函数 称为称为理想低通滤波器理想低通滤波器。)(H1O)(H 0 0 当用当用理想低通滤波器理想低通滤波器 与其它信号的频谱函数相乘时，与其它信号的频谱函数相乘时，)(H能使信号的低频成份能使信号的低频成份完全通过完全通过(保留保留)，高频成份，高频成份完全压制完全压制。)(thtO/0(返回返回)
