1、陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 1 / 17 陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高一数学上学期期末考试试 题（含解析） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 1212 小题小题 6060 分）分） 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合中元素的范围，再求两个集合的交集. 【详解】由，解得，故，所以选 C. 【点睛】本小题主要考查交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.函数的定义域是 ( ) A. 0， ) B. 0， C. 1， ) D. 1， 【答案】C
2、 【解析】 要使函数有意义，需满足,解得,则函数的定义域为，故选 C. 3.在平面直角坐标系中， 若角的终边经过点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先计算出点坐标，然后即可知的值，利用诱导公式即可求解出的值. 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 2 / 17 【详解】因为角的终边经过点， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用，难度较易.角(非轴线 角)的终边经过点，则. 4.已知向量与向量共线，则实数x的值为（ ） A. B. 或 0 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量与向
3、量共线，列出方程，即可求解. 【详解】向量与向量共线， 则， 即， 解得或； 所以实数x的值为或 0 故选：B 【点睛】 本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示， 其中解答中熟记向量共 线的坐标表示方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.函数的图象大致为（ ） 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 3 / 17 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可 【详解】函数f（x）的定义域为：x1，均满足， 当x1 时，f（1）0，排除A、 C 当x2 时，f（2）0，排除B； 故选：
4、D 【点睛】 本题考查函数的图象的判断， 利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常 用方法 6.为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点 （ ） A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 4 / 17 D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】 首先向左平移，可得，再横坐标缩小原来的倍
5、，即可确定选项. 【详解】将函数图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为 ，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍， 所得到的函数图象对应的解析式为 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变 换的规律： （1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应 的解析式为，遵循“左加右减”； （2）把函数图像上点的纵坐 标保持不变， 横坐标变为原来的倍 （） ， 那么所得图像对应的解析式为. 7.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对任意，且都有”，可知函数在上单调 递减，结
6、合选项即可判断 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 5 / 17 【详解】解：“对任意，且都有”， 函数在上单调递减， 结合选项可知，在单调递增，不符合题意， 在单调递减，符合题意， 在单调递增，不符合题意， 在单调递增，不符合题意， 故选：B 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题 8.已知函数，则（） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 分析】 先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】， ， ， 故选 A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题. 9.如果函数y3cos(2x)的图象关于
7、点中心对称，那么|的最小值为( ) 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 6 / 17 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的对称中心，求出的表达式，然后确定| |的最小值 【详解】函数y3cos（2x+）的图象关于点中心对称， ，得，kZ Z，由此得 故选 A. 【点睛】 本题是基础题， 考查三角函数中余弦函数的对称性， 考查计算能力， 对于k的取值， 确定| |的最小值，是基本方法 10.已知函数，若，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 函数为偶函数，由，可得，再结合单调性， 解不等式，即可求出 x
8、的取值范围. 【详解】是R上的偶函数，当时，在上是增函数， 由得， ， ，解得或， 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 7 / 17 实数x的取值范围为 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性，若函数为偶函数，则常用的技巧为 ，再结合函数在上的单调性，解不等式即可求出参数的值或者范围， 考查了运算求解能力. 11.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 函数 f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知，解不等式即可求 得 a 的取值范围. 【详解】函数在区间上为增函数， ， 可得 故选：C 【点
9、睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两 种思考方向： （1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情 况； （2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数 图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 8 / 17 12.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到 g（x） 的图象若 g（x1）g（x2）4，且 x1，x22，2，则 x12x2的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用函数的图象
10、变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数 的图象的值域，求出，的值，可得的最大值 【详解】将函数的图象向右平移 个单位，再向上平移一个单位， 得到 g（x）sin（2x+）+1cos2x+1 的图象， 故 g（x）的最大值为 2，最小值为 0， 若 g（）g（）4，则 g（）g（）2，或 g（）g（）2（舍去） 故有 g（）g（）2，即 cos2cos21， 又，x22，2，2，24，4，要使2取得最大值， 则应有 23，23， 故 2取得最大值为+3 故选 A 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域， 属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共
11、 4 4 小题小题 2020 分）分） 13.已知向量，且，则实数_ 【答案】 【解析】 【分析】 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 9 / 17 由已知可得，带入坐标即可求出实数 m 的值. 【详解】， ，解得 【点睛】本题考查向量的垂直，若向量，则可得 ，解方程即可求解，掌握向量的平行、垂直的等价形式是解题的关键. 14.若扇形的周长是，面积，则扇形圆心角的弧度数的绝对值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 设半径为，弧长，可得面积 S 和周长的表达式，解方程组即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长，面积为，则 ， 【点睛】本题考查扇形的弧度数，掌握扇形的周长与面积公式
12、是关键，属于基础题. 15.已知幂函数的图象经过点，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用幂函数的定义可得，再利用幂函数的图象过点可求得的值，则答案可得. 【详解】由是幂函数，可得. 由的图象经过点，可得，解得. 所以. 故答案为. 【点睛】本题考查幂函数，利用定义求解即可，是一道基础题. 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 10 / 17 16.在中，角A为，角A平分线交于点D，已知，且 ，则在方向上的投影是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据得出四边形为菱形，从而可得,进而可求 在方向上的投影. 【详解】由可得：， B，C，D三点共线，故，即 以A为原点，以为x轴建立
13、平面直角坐标系如图所示，则， 设， 由得：，解得， 故， 在上的投影为 故答案为 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 11 / 17 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简 化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 三、三、解答题：共解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.计算（1）； （2）解方程： 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据对数运算公式和法则即可求出结果. （2）先将原式化简成，再根据指数函数的性质即可求出结果.
14、【详解】 （1）原式 （2） 【点睛】 本题考查了指数幂运算及对数运算， 熟练掌握指数幂运算及对数运算公式是解题关 键，属于基础题 18.已知向量 （1）若，求的值； （2）若，求的值 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 12 / 17 （1）运用坐标求出，再由向量的模长公式即可求出的值； （2）由已知可求得，再由，可求得，的 值，再运用诱导公式即可求值. 【详解】解： （1）时， ， ； （2）， ， ， ，且， 解得， 【点睛】 本题考查了向量的模的运算、 向量的数量积运算及三角函数的诱导公式， 属中档题. 19.已知函数在区间上
15、的最小值为 1. （1）求的值； （2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1）1； （2）. 【解析】 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 13 / 17 【分析】 （1）二次函数写出对称轴，分，三种情况讨论即可求出最小值，根 据最小值1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小 值，只需k大于最小值即可. 详解】 （1）. 当时，解得； 当时，解得不符合题意； 当时，解得，不符合题意. 综上所述，. （2）因为， 可化为， 令，则. 因，故.故不等式在上有解. 记，故， 所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式
16、有解问题，属于中 档题. 20.已知函数， （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 14 / 17 【答案】 （1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 函数在区间上的最大值为， 此时； 最小值为， 此时. 【解析】 【分析】 （1）由余弦型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期，解不等式 ，可得出函数的单调递增区间； （2）由，计算出的取值范围，然后利用余弦函数的性质可得出函数 的最大值和最小值，并可求出对应的的值. 【详解】 （1），所以，该函数的最小正周期为. 解不等式，
17、得. 因此，函数最小正周期为，单调递增区间为； （2），. 当时，即当时，函数取得最大值，即； 当时，即当时，函数取得最小值，即 . 【点睛】本题考查余弦型函数周期、单调区间以及最值的计算，解题时要充分利用余弦函数 的图象与性质进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 21.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米） 可看作时间（单 位：小时）的函数，记作，经过长期观测，的曲线可近似地看成是函数 ，下列是某日各时的浪高数据 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 15 / 17 t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1 1 1 1 （1）根据以上
18、数据，求出的解析式； （2）为保证安全，比赛时的浪高不能高于米，则在一天中的哪些时间可以进行比赛 【答案】（1）（2） 比赛安全进行的时间段为 【解析】 【分析】 （1）由浪高的最大值为，最小值为，可得 A,b 的值，再由周期为 12，可求得的值， 即可求得函数的解析式； （2）由已知可得，进而解不等式即可求出 t 的范围. 【详解】 （1）由表中数据可以看到浪高最大值为，最小值为， ， 又相隔 12 小时达到一次最大值，说明周期为 12， ， 即 （2）由题意知，当时，比赛才能进行，即， ， 解得， 又，当时，；当时， 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 16 / 17 故比
19、赛安全进行的时间段为 【点睛】本题考查三角函数的实际应用，若三角函数的解析式为 ,最大值为 M,最小值为 m,则，再由周期 求得的值，由初相求得的值，考查了运算求解和建模能力，属于中档题. 22.已知函数是偶函数 （1）求k的值； （2）若方程有实数根，求b的取值范围； （3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实 数a的取值范围 【答案】 （1）（2）（3） 【解析】 【分析】 （1）根据函数的奇偶性得， 代入函数的解析式中，利用对数的运算 法则得到 ； （2）将函数代入方程，将方程转化为两个函数交点的问题；通过判断 函数 的单调性， 得到其最小值， 从而求得 b 的取值范围为 ； （3
20、）由题意，两个函数图像有且只有一个公共点即方程有且只有一个实数根；通过讨论方 程根的情况来求得参数的取值范围. 【详解】 （1）偶函数，有， 对恒成立 对恒成立， 对恒成立， 陕西汉中龙岗学校高一数学上册期末考试试卷（含解析） 17 / 17 （2）由题意知，有实数根，即有解 令，则函数的图象与直线有交点， ， b的取值范围是 （3）由（1）知， 由题意知有且只有一个实数根 令，则，则关于t的方程（*）有且只有一个正根 若，则，不合题意，舍去； 若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根 方程（*）有两相等正根等价于，可解得 方程（*）的两根异号等价于，可解得 综上所述，实数a的取值范围是 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了对数运算法则，考查了函数和方程之间的关系， 以及由方程的根求参数的范围，属于综合题.
