1、7 7 算符对易关系；两个力学量同时有确定值算符对易关系；两个力学量同时有确定值 的条件；测不准关系的条件；测不准关系（一）两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值，（x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即 F如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值，则则 必也是必也是 G G 的一个本征态，即的一个本征态，即 G结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，如果同时具有确定值，时，如果同时具有确定值，那么那么 必是必是 二力学量共同本征函数。二力
2、学量共同本征函数。（二）两算符对易的物理含义（二）两算符对易的物理含义 GF FG FGFGFG0)(GFFGGFFG所以所以0)(GFFG？是特定函数，是特定函数，非任意函数也！非任意函数也！例如：例如：0,zxLLl=0 =0 的态，的态，Y Y l l m m=Y=Y0000 L Lx x L Lz z 同时有确定值。同时有确定值。但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：考察前面二式：G F定理：若两个力学量算符有一组共同完备定理：
3、若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。的本征函数系，则二算符对易。证：证：,3,2,1 nGGFFnnnnnn 已已知知：由于由于 n n 组成完备系，所组成完备系，所以任意态函数以任意态函数 (x)(x)可以可以按其展开：按其展开：)()(xcxnnn 则则nnncFGGFxFGGF )()()(nnnFGGFc)(nnnnnnnGFFGc)(nnnnnFGGFc)(因为因为 (x)(x)是任意函数是任意函数0 FGGF所所以以0 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。有组成完备系的共同的本征函数
4、。证：证：考察：考察：nnnFF nnnnGG nnnFFG一一样样，本本征征值值亦亦为为与与的的一一个个本本征征函函数数，也也是是即即 )(n n 也是也是 G G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F F 的所有本征函数的所有本征函数 n n （n=1n=1，2 2，)也也都是都是 G G 的本征函数的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系因此二算符具有共同完备的本征函数系.,0nnFFFGGF本本征征值值为为的的任任一一本本征征函函数数为为设设 仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：nGF nnnGFFG )()(nnnGFGF 与与 n n 只差只差一常数一常数 G Gn n定
5、理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。的充要条件是这组算符两两对易。例例 1 1：.,)2(1)(,2/3zyxrpipzyxppperppp同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；动动量量算算符符：例例 2 2：.,)1(,),()()(,22mllEYrRrLLHnlmnlnlmz同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；氢氢原原子子中中：例例 3 3：例例 4 4：).,1,0(,221)(,2222mmImEeLILHmimmzz同
6、同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：相相互互对对易易；定定轴轴转转子子：.,)1(,2)1(,1,0,2,1,0),(,22222mllIllElmlYLLILHllmz同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；空空间间转转子子：（三）力学量完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易
7、的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：.,zyxppp例例 2 2：氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：.,2zLLH例例 3 3：一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：H（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。一组完备的本征函数，即体系
8、的任何状态均可用它展开。（1 1）测不准关系的严格推导）测不准关系的严格推导 （2 2）坐标和动量的测不准关系）坐标和动量的测不准关系 （3 3）角动量的测不准关系）角动量的测不准关系（四）测不准关系（1 1）测不准关系的严格推导）测不准关系的严格推导 由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。值。问题：问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少
9、？不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 的偏差的大小。的偏差的大小。（1 1）测不准关系的严格推导）测不准关系的严格推导仍仍为为厄厄密密算算符符。为为厄厄密密算算符符，则则偏偏差差证证明明：若若FFFFI .FFFFFFFF*)（）（证：证：II II 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：设二厄密算符对易关系为：k iFGGF 是算符或是算符或普通数普通数的的辅辅助助积积分分：引引入入实实参参量量、为为求求二二量量不不确确定定度度 GF 0|)(2 dGiFI dGiFGiF*dGiFGiF)*(*)(
10、dGGdFGidGFidFF)(*)()(*)()(*)()(*)(2 dGGdFGidGFidFF)(*)(*)(*)(*2 dGdFGGFidF222)(*)(*dGdFGGFidFI222)(*)(*)(F GG FFG ，GGFF ，GFFGFF，GFGF，k iGF ，最后有：最后有：dGdkiidFI222)(*)(*)(0)()()(222 GkFI 对任意实数对任意实数 均成立均成立由代数二次式理论可知，该不等式成由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：立的条件是系数必须满足下列关系：4)()()(222kGF 两个不对易两个不对易算符均方偏算符均方偏差
11、关系式差关系式测不准关系测不准关系 dkk*均方偏差均方偏差22)()(FFF 其中：其中：222FFFF 222FFFF 222FFFF 22FF （2 2）坐标和动量的测不准关系）坐标和动量的测不准关系4)()()(222kGF k iGF，4)222 xxpxipx（，22)22 xxpxpx简简记记之之：（或或写写成成：表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。另一就越大。（a a）测不准关系）测不准关系（b b）线性谐振子的零点能振子能量振子能量222212xpHE dxxHxeNdxxxnxnnn)(*2222
12、被积函数是被积函数是x x 的的奇函数奇函数0 dxxidxppnnn *dxxiinnn*|*dxxin*n n 为实为实 处处 n n=0=0p 0 p 222222)()(pppxxx 222222)()(pppxxx 2222)()(ppxx于是：于是：dxxin *222222)(212)(212xpxpHE 4)222 xpx（二均方偏差不能同时为零，二均方偏差不能同时为零，故故 E E 最小值也不能是零。最小值也不能是零。为求为求 E E 的最小值，的最小值，取式中等号。取式中等号。222222)4)4)xppxxx （则：则：yyxxE222222218)(21)(8 求极值：
13、求极值：0218222 yyE2)(2xy 解得：解得：212212822 E因均方偏差不能小因均方偏差不能小于零，故取正于零，故取正零点能就是测不准关零点能就是测不准关系所要求的最小能量系所要求的最小能量（c c）角动量的测不准关系）角动量的测不准关系22224)zyxzyxLLLLiLL （，例例1 1：利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylmlm 下，下，L Lx x=L Ly y=0=042222241)(4)mmLLLyxz （本本征征态态时时，当当体体系系处处于于证：证：22224)xzyxzyLLLLiLL （，由于在由于在 L Lz
14、z 本征态本征态 Y Ylmlm 中，测量力学量中，测量力学量 L Lz z 有有确定值，所以确定值，所以L Lz z 均方偏差必为零，即均方偏差必为零，即0)2 zL（则测不准关系：则测不准关系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：0 xL同理：同理：0 yL例例2 2：L L2 2，L LZ Z 共同本征态共同本征态 Y Ylmlm 下，求测不准关系：下，求测不准关系：？（22)yxLL解：解：222222)yyyxxxLLLLLL （由例由例1 1 可知：可知：00 yxLL22yxLL、求求：22y
15、xLL、求求：dYLYLlmxlmx2*2由对易关系：由对易关系：yzzyzyxLLLLLLLi ，等式两边右乘等式两边右乘 L Lx x xyzxzyxLLLLLLLi2 xyzyzxyLLLLiLLL)（xyzyzxyLLLLiLLL2 将上式两边将上式两边在在 Y Ylmlm 态下态下求平均：求平均：dYLLLYdYLYidYLLLYdYLYilmxyzlmlmylmlmzxylmlmxlm*2*2*dYLLYLLidYLLYmLilmxylmzylmxylmx)(*2*2 dYLLYmLidYLLYmLilmxylmylmxylmx*2*22222yxyxLLLiLi 22222222zyxzyxLLLLLLLL 将上式两边在将上式两边在 Y Ylmlm 态下求平均：态下求平均：dYLLYdYLLYlmzlmlmyxlm)()(22*22*dYYmllLLlmlmyx*22222)1(2222)1(21mllLLyx 42222)1(41)mllLLyx （则测不准关系：则测不准关系：22yxLL 22222222)yyyyxxxxLLLLLLLL （作作 业业
