1、2.4 薛定谔波动方程 一、含时薛定谔方程n薛定谔绘景，坐标表象的状态随时间演化为n 暂考虑 为厄米算符，且为定域的，即n 为 的实函数n以后我们会讨论含时的 非定域但可分离的势，与动量相关的势，,等等。0,;x txt t 2,2pV xm Vx 3,x V x xV xxx x,V x t,V x x 12,Vx Vx p AA p V x一、含时薛定谔方程（续）n由 n而n得含时薛定谔方程为n基于上式的量子力学有时称为波动力学，是当 时态矢在坐标表象下薛定谔方程的特殊形式。000,;,;i tixt tix et ttt 0,;xt t 222000,;,;,;22pxV xt txt
2、tV xxt tmm 22,2ix tx tV xx ttm 22pV xm 二、不含时薛定谔方程 n对A和H的共同本征初态,n对能量本征态得定态薛定谔方程：束缚态：n要解方程需加边界条件，假设要求的解，n合适的边界条件为当 即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。n由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，只有分立的一组E值。定态薛定谔方程定态薛定谔方程能级的量子化能级的量子化。n由定态薛定谔方程可见，寻求微观物理体系的能级与寻求弹簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。0,;aiE txt tx ae 22,2aaiE tiE taix tEx a eV xx a etm 222EE
3、V xuxEuxm limxEV x ,x 0Eux 三、几率流连续性方程n波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几率密度，n在 附近 的体积内找到该粒子的几率为 n由含时方程可推出连续性方程 其中n该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。n几率流与动量有关：220,;x tx txt tx3d x3,x t d x2mijImm 3,tpd x j x tm 0jt四、波函数的解释n连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因此 曾被认为是物质密度，是实际电荷密度。奇特物理图像：1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占
4、据核附近的一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到nBorn提出了被广泛接受的解释，即 为几率密度的统计解释。n不过Born的解释也不是没有争议的n重新思考：相位、完整性、电子云22e2五、波函数的相位n S为实数，是几率密度。S的含义？n由 得：n可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向与该点上等相位面垂直。对平面波 n虽然形式上我们有n但将 解释成 需要坐标与速度的同时精确测量而不可能（测不准关系）。,expiS x tx tx t,iS
5、Sjm.Sp.0Svtmtjv六、经典极限 n据薛定谔方程有：n若 可看成小量，并设 等，则上方程中不含 的部分有 与分析力学的Hamilton-Jacobi方程相同，其中 是Hamilton的主函数。n因此，薛定谔波力学在 极限下给出经典力学。n若将S解释成Hamilton的主函数，对不含时Hamilton量，主函数S具有可分离的形式，n 称为Hamilton的特征函数。n随着时间的变化，等S面的空间演化与波动光学中的常相位面即波前变化相似(几何光学-波动光学，经典力学-波动力学)2222221.2iiSSSVmiSitt22SS 210,2SSVmt,S x t0,S x tW xEt W
6、 x七、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解n经典Hamilton-Jacobi方程的解是n对定态 由连续性方程n得 故 n与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致nWKB解：,2 xS x tW xEtdxm EV xEt0,t10Stm xx2dWm E Vconstantdx 141classconstantvE V x 14,exp2xconstantiiEtx tdxm EV xEV x八、WKB近似成立条件：n条件对应于：n n或者说 必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短波极限下是可信的。22ss 222d WdWdxdx22222dVmdm EVd Wdxdx
7、dxEV222222222222222d WdxdVpmm EVmdxd Wm EVdxdVdVmmdxdx2 EVdVdx2dWm EVdx九、完整的WKB解n对 区,有n对 不满足 。上述解不成立,需要将上述两解以适当方式连接。标准步骤是：n1在 附近将V(x)线性化。n2解微分方程 得与 阶Bessel函数相关的严格解。该解适用于x0附近n3.该第三个解需通过选择合适的积分常数与另两解匹配n 这里不讨论这些步骤的细节而只给出结果：波函数在EV(x)区振荡，在EV(x)区指数衰减。0EV14tan1,exp2xconstiEtxtdxm VEVE,VE,00 x V xE0202220EE
8、x xd um dVxxudxdx13 2/dVEVdx匹配条件nI与II区：nII与III区：n由波函数的唯一性意味，有自洽性(量子化)条件：n除 部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同 11411exp2xxdxm VEV xE 11421cos24xxdxm EV xEV x 21411exp2xxdxm V xEVE 22141421cos2421cos24xxxxdxm EV xEV xdxm EV xEV x21122xxdxm EVn12量子化条件nV(x1)=V(x2)=En波函数的节点越多，对应的能级越高n对V(-x)=V(x),u(-x)=u(x);nn:偶数-偶对称
9、（u(0)=0），n：奇数-奇对称（u(0)=0）21122xxdxm EVn4)(21cos)(1)(14/1xxExVEmdxxVExu十、量子化条件应用举例n势阱 中粒子的近似能级n经典转折点为：n由于无限高势垒，解在 x0区的解，可通过求解修正势,的奇对称解得到n 该问题的WKB转折点为,n量子化条件变为n即 n与本征能态的严格解：非常接近(近似解略低于严格解，误差随能级的增高而变小)（-是Airy函数为零的根）x0 x0 mgxV120,Exxmg ,V xmg xx 12,EExxmgmg/12/2()()E mgoddE mgdxm Emg xn/1402()()E mgdxm Emgxn2312231342nnEmg1223132nnEmg作业：2.22,2.24
