1、2020年四川省巴中市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1(5分)复数z=21+i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2(5分)已知集合A(x,y)|yx2,B(x,y)|yx,则AB()A0,1B(0,0),(1,1)C1D(1,1)3(5分)设asin6,blog23,c(14)23,则()AacbBcabCbacDcba4(5分)已知变量x,y之间的线性回归方程为y=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是()x681012y
2、6m32A变量x,y之间呈现负相关关系B可以预测,当x20时,y3.7Cm4D该回归直线必过点(9,4)5(5分)已知点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为3”是“|AB+AC|BC|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6(5分)下列关于函数f(x)sin|x|和函数g(x)|sinx|的结论,正确的是()Ag(x)值域是1,1Bf(x)0Cf(x+2)f(x)Dg(x+)g(x)7(5分)已知函数f(x)=14x2+cosx,则f(x)的图象大致是()ABCD8(5分)设m,n为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题:若n,n,则若
3、m,mn,则n若m,m,则若m,则m其中所有正确命题序号是()ABCD9(5分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c,圆C1:(xc)2+y2r2(r0)与圆C2:x2+(ym)24r2(mR)外切,且E的两条渐近线恰为两圆的公切线,则E的离心率为()A2B5C62D3210(5分)函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且f(x)+2g(x)ex,若存在x(0,2,使不等式f(2x)mg(x)0成立,则实数m的最小值为()A4B42C8D8211(5分)已知三棱锥SABC的体积为12,ACBC1,ACB120,若SC是其外接球的直径,则球的表面积为(
4、)A4B6C8D1612(5分)已知函数f(x)=ex-1x,x0ax+3,x0(aR),若方程f(f(x)20恰有5个不同的根,则a的取值范围是()A(,0)B(0,+)C(0,1)D(1,+)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13(5分)若2a5b100,则1a+1b= 14(5分)习近平总书记在“十九大”报告中指出:坚定文化自信,推动中华优秀传统文化创造性转化“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年“杨辉三角”是中国数学史上的一个
5、伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为 15(5分)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,准线为l,过F的直线交抛物线C于P,Q两点,交l于点A,若PF=3FQ,则 |AQ|QF|= 16(5分)在ABC中,ABAC,D为AC边上的点,且AC3AD,BD4,则ABC面积的最大值为 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面A
6、BCD是矩形,PAPD,PAAB,N是棱AD的中点(1)求证:PN平面ABCD;(2)若APPD,且AB2,AD4,求二面角BPCN的余弦值18(12分)已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足4Sn(an+1)2(nN*)(1)证明:数列an是等差数列,并求其通项公式;(2)设bnan+2an,求数列bn的前n项和Tn19(12分)“绿水青山就是金山银山”,“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容,某班在一次研学旅行活动中,为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况,在这些树苗中随机抽取了120株测量高度(单位:cm),经统计,树苗的高度均在区间19,31内,将其按19
7、,21),21,23),23,25),25,27),27,29),29,31分成6组,制成如图所示的频率分布直方图据当地柏树苗生长规律,高度不低于27cm的为优质树苗(1)求图中a的值;(2)已知所抽取的这120株树苗来自于A,B两个试验区,部分数据如下列联表:试验区试验区合计优质树苗 20 非优质树苗60 合计 将列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系,并说明理由;(3)用样本估计总体,若从这批树苗中随机抽取4株,其中优质树苗的株数为X,求X的分布列和数学期望EX附:参考公式与参考数据:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
8、,其中na+b+c+dP(K2k0) 0.0100.0050.001k06.6357.87910.82820(12分)在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(2,0),且PAB满足tanAtanB=34记点P的轨迹为曲线C(1)求C的方程,并说明是什么曲线;(2)若M,N是曲线C上的动点,且直线MN过点D(0,12),问在y轴上是否存在定点Q,使得MQONQO?若存在,请求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由21(12分)已知函数f(x)ex(sinxax2+2ae),其中aR,e2.71828为自然数的底数(1)当a0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当12a1时,求证:对任意的x0,
9、+),f(x)0(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)在直角坐标系xOy中直线l的参数方程为x=1+tcosy=1+tsin(t为参数,0)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C:4cos(1)当=4时,求C与l的交点的极坐标;(2)直线l与曲线C交于A,B两点,且两点对应的参数t1,t2互为相反数,求|AB|的值选修4-5:不等式选讲23已知函数f(x)|x+a|+|x2|()当a3时,求不等式f(x)3的解集;()若f(x)|x4|的解集包含1,2,求a的取值范围2020年四川省巴中市
10、高考数学一诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1(5分)复数z=21+i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解:由z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=2(1-i)2=1-i,得复数z=21+i在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第四象限故选:D2(5分)已知集合A(x,y)|yx2,B(x,y)|yx,则AB()A0,1B(0,0),(1,1)C1D(1,1)【解答】解:联立A与B中的方程得:y=x2y=x,消去y得:x2x,即x(x1)0
11、,解得:x0或x1,把x0代入得:y0;把x1代入得:y1,方程组的解为x=0y=0,x=1y=1,则AB(0,0),(1,1),故选:B3(5分)设asin6,blog23,c(14)23,则()AacbBcabCbacDcba【解答】解:a=12,b1,c=(12)4312,cab故选:B4(5分)已知变量x,y之间的线性回归方程为y=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是()x681012y6m32A变量x,y之间呈现负相关关系B可以预测,当x20时,y3.7Cm4D该回归直线必过点(9,4)【解答】解:对于A:根据b的正负即可判断正负相关关系线
12、性回归方程为y=-0.7x+10.3,b0.70,负相关对于B,当x20时,代入可得y3.7对于C:根据表中数据:x=14(6+8+10+12)=9可得y=-0.79+10.3=4即14(6+m+3+2)=4,解得:m5对于D:由线性回归方程一定过(x,y),即(9,4)故选:C5(5分)已知点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为3”是“|AB+AC|BC|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解:点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为3”“|AB+AC|BC|”,反之不成立,夹角可能为4等点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为3”是“
13、|AB+AC|BC|”的充分不必要条件故选:A6(5分)下列关于函数f(x)sin|x|和函数g(x)|sinx|的结论,正确的是()Ag(x)值域是1,1Bf(x)0Cf(x+2)f(x)Dg(x+)g(x)【解答】解:f(x)sin|x|=sinx,x0-sinx,x0,函数f(x)1,1,f(x)是偶函数,不具备周期性,故C,B错误,g(x)|sinx|0,即函数g(x)的值域是0,1,故A错误,g(x+)|sin(x+)|sinx|sinx|g(x),故D正确,故选:D7(5分)已知函数f(x)=14x2+cosx,则f(x)的图象大致是()ABCD【解答】解:根据题意,函数f(x)=
14、14x2+cosx,其导数f(x)=12xsinx,分析可得:f(x)=12(x)sin(x)(12xsinx)f(x),即函数f(x)为奇函数,可以排除B、D,且f(x)=12-cosx,分析可得当x(0,3)时,f(x)0,则函数f(x)在区间(0,3)为减函数,可以排除C,故选:A8(5分)设m,n为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题:若n,n,则若m,mn,则n若m,m,则若m,则m其中所有正确命题序号是()ABCD【解答】解:对于,若n,n,则与可能相交;故错误;对于,若m,mn则n可能在内;故错误;对于,若m,m,根据线面垂直的性质定理得到;故正确;对于,若m,
15、则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m;故正确;故选:A9(5分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c,圆C1:(xc)2+y2r2(r0)与圆C2:x2+(ym)24r2(mR)外切,且E的两条渐近线恰为两圆的公切线,则E的离心率为()A2B5C62D32【解答】解:双曲线的一条渐近线方程为bxay0,故C1(c,0)到渐近线的距离为bca2+b2=r,即br,设圆C1与圆C2的切点为M,则OMC1C2,故RtOMC1RtC2OC1,于是MC1OC1=OC1C1C2,即rc=c3r,故c=3r,a=2r,双曲线的离心率e=ca=3r2r=62故选:C1
16、0(5分)函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且f(x)+2g(x)ex,若存在x(0,2,使不等式f(2x)mg(x)0成立,则实数m的最小值为()A4B42C8D82【解答】解:函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且f(x)+2g(x)ex,可得f(x)+2g(x)ex,即f(x)2g(x)ex,解得f(x)=12(ex+ex),g(x)=14(exex),由x(0,2,可得ex(1,e2,由texex在x(0,2递增,可得t(0,e2e2,存在x(0,2,使不等式f(2x)mg(x)0成立,即存在x(0,2,不等式12(e2x+e2x)m14(ex
17、ex)0即m2(e2x+e-2x)ex-e-x成立,可得12mt2+2t,由t2+2t=t+2t22,当且仅当t=2(0,e2e2,取得等号,即有12m22,可得m42,即m的最小值为42故选:B11(5分)已知三棱锥SABC的体积为12,ACBC1,ACB120,若SC是其外接球的直径,则球的表面积为()A4B6C8D16【解答】解:如下图所示,ABC的面积=1212sin120=34,设ABC的外接圆为圆E,连接OE,则OE平面ABC,作圆E的直径CD,连接SD,O、E分别为SC、CD的中点,则SDOE,SD平面ABC,三棱锥SABC的体积VSABC=1334SD=12SD23,由正弦定理
18、得CD=ACsinABC=ACsin30=2,SC=CD2+SD2=4,设球O的半径为R,则2RSC4,R2,因此,球O的表面积为4R216故选:D12(5分)已知函数f(x)=ex-1x,x0ax+3,x0(aR),若方程f(f(x)20恰有5个不同的根,则a的取值范围是()A(,0)B(0,+)C(0,1)D(1,+)【解答】解:当x0时,f(x)=ex-1x,f(x)=ex-1(x-1)x2,当0x1时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)minf(1)1,当x0时,f(x)ax+3的图象恒过点(0,3),当a0,x0时,f(x)f(
19、0)3,当a0,x0时,f(x)f(0)3,作出大致图象如图所示方程f(f(x)20有5个不同的根,即方程f(f(x)2有五个解,设tf(x),则f(t)2结合图象可知,当a0时,方程f(t)2有三个根t1(,0),t2(0,1),t3(1,3)(f(3)=e232,1t33),于是f(x)t1有一个解,f(x)t2有一个解,f(x)t3有三个解,共有5个解,而当a0时,结合图象可知,方程f(f(x)2不可能有5个解综上所述:方程f(f(x)20在a0时恰有5个不同的根故选:B二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13(5分)若2a5b100,则1a+1b=12【解答】解:2a5
20、b100,alog2100,blog5100,1a+1b=log1002+log1005log10010=lg10lg100=12故答案为:1214(5分)习近平总书记在“十九大”报告中指出:坚定文化自信,推动中华优秀传统文化创造性转化“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为56【解答】解二项式
21、展开式第r+1项的系数为Tr+1nr,第10行的第5个和第6个的二项式系数分别为C104与C105,则第10行中从左至右第5与第6个数的比值为C104C105=56,故答案为:5615(5分)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,准线为l,过F的直线交抛物线C于P,Q两点,交l于点A,若PF=3FQ,则 |AQ|QF|=2【解答】解:如图所示,分别过点P,Q做PBl,QEl,垂足分别为B,E,设QFm,由PF=3FQ,则QFQEm,PBPF3m,AQAP=QEPB=13,即AQAQ+4m=13,解得AQ2m,则 |AQ|QF|=2,故答案为:216(5分)在ABC中,ABAC,D为AC边
22、上的点,且AC3AD,BD4,则ABC面积的最大值为9【解答】解:设ADx,则ACAB3x,在ABD中,由余弦定理有:BD2AB2+AD22ABADcosA,可得9x2+x26x2cosA16,即cosA=53-83x2,可得sinA=1-cos2A=1-(53-83x2)2,可得:SABC=12ABACsinA=123x3x1-(53-83x2)2=3236-(4x2-10)2,当且仅当4x210,即x=102 时,SABC取得最大值,可得SABCmax9故答案为:9三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选
23、考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PAPD,PAAB,N是棱AD的中点(1)求证:PN平面ABCD;(2)若APPD,且AB2,AD4,求二面角BPCN的余弦值【解答】(1)证明:由题意,知ABAD,ABPA,又PAADA,PA,AD平面PAD,AB平面PAD又PN平面PAD,ABPN由PAPD,NAND,得PNAD,ABADA,AB,AD平面ABCD,PN平面ABCD;(2)解:由APPD,NAND,AB2,AD4,得:NANDPNNE2取BC的中点E,连结NE,则NEAB,故NEAD由(1)知:PNNA,PNNE,N
24、ENA,以N为原点,NA,NE,NP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,于是,有:N(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),NP=(0,0,2),CB=(4,0,0),CP=(2,-2,2)设平面NPC的一个法向量为m=(x,y,z),则由mNP=2a=0mCP=2x-2y+2z=0,取y1,得:m=(1,1,0);设平面BPC的一个法向量为n=(a,b,c),则由nCB=4a=0nCP=2a-2b+2c=0,取b1,得:n=(0,1,1)cosm,n=mn|m|n|=122=12二面角BPCN的余弦值为1218(12分)已知各项均为正数的数列
25、an的前n项和Sn满足4Sn(an+1)2(nN*)(1)证明:数列an是等差数列,并求其通项公式;(2)设bnan+2an,求数列bn的前n项和Tn【解答】解:(1)各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足4Sn(an+1)2(nN*)当n1时,解得a11由4Sn(an+1)2和4Sn+1(an+1+1)2两式相减,得:4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,整理得(an+1+an)(an+1an2)0所以an+1an2,故数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,所以:an2n1(2)由于bnan+2an=2n1+22n1,所以Tn=(1+3+2n-1)+(21+23+22n-1)
26、,=n(1+2n-1)2+2(4n-1)4-1,=22n+1+3n2-2319(12分)“绿水青山就是金山银山”,“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容,某班在一次研学旅行活动中,为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况,在这些树苗中随机抽取了120株测量高度(单位:cm),经统计,树苗的高度均在区间19,31内,将其按19,21),21,23),23,25),25,27),27,29),29,31分成6组,制成如图所示的频率分布直方图据当地柏树苗生长规律,高度不低于27cm的为优质树苗(1)求图中a的值;(2)已知所抽取的这120株树苗来自于A,B两个试验区,部分数据如
27、下列联表:试验区试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120将列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系,并说明理由;(3)用样本估计总体,若从这批树苗中随机抽取4株,其中优质树苗的株数为X,求X的分布列和数学期望EX附:参考公式与参考数据:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中na+b+c+dP(K2k0) 0.0100.0050.001k06.6357.87910.828【解答】解:(1)根据频率直方图数据,有2(a2+2a+0.102+0.20)1,解得a0.025(2)根据频率直方图可知,样
28、本中优质树苗棵树有120(0.102+0.0252)30,列联表如下:A试验区B试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120可得K2=120(1030-2060)270503090=72710.310.828,所以,没有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系(3)用样本估计总体,由题意,这批树苗为优质树苗的概率为30120=14X的可能取值为0,1,2,3,4,由题意知X服从二项分布XB(4,14),P(Xk)=C4k(14)k(34)4-k,(k0,1,2,3,4),即:P(X0)=(34)4=81256,P(X1)=C41(14)(34)3=2764
29、,P(X2)=C42(14)2(34)2=27128,P(X3)=C43(14)3(34)=364,P(X4)=(14)4=1256X的分布列为:X0123P81256276427128364数学期望为E(X)414=120(12分)在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(2,0),且PAB满足tanAtanB=34记点P的轨迹为曲线C(1)求C的方程,并说明是什么曲线;(2)若M,N是曲线C上的动点,且直线MN过点D(0,12),问在y轴上是否存在定点Q,使得MQONQO?若存在,请求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)设点P的坐标为(x,y),由tanAtanB=34
30、得yx+2yx-2=34(x2),化简得:x24+y23=1(x2),故曲线C的方程为x24+y23=1(x2)C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点);(2)假设存在的定点Q(0,m)符合题意,由题意知:直线AD,BD的斜率分别为kAD=14,kBD=-14,由题意及(1)知:直线MN与直线AD,BD均不重合,当直线MN的斜率k存在时,设方程为ykx+12(k14),M(x1,y1),N(x2,y2),由MQONQO,得直线MQ,NQ的倾斜角互补,由kMQ+kNQ=y1-mx1+y2-mx2=kx1+12-mx1+kx2+12-mx2=4k1x2+(1-2m)(x1+x2)2
31、x1x2=0,所以4kx1x2+(12m)(x1+x2)0,由x24+y23=1y=kx+12,消去y,整理得:(3+4k2)x2+4kx110,16k2+44(3+4k2)0,x1+x2=-4k3+4k2,x1x2=-113+4k2代入得:4k-113+4k2+(1-2m)-4k3+4k2=8k(m-6)3+4k2=0由k14,又k不恒为0,所以当且仅当m6时,式成立所以当直线MN的斜率k存在时,存在定点Q(0,6)满足题意,当直线MN的斜率不存在时,也符合题意,综上所述,定点Q(0,6)21(12分)已知函数f(x)ex(sinxax2+2ae),其中aR,e2.71828为自然数的底数(
32、1)当a0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当12a1时,求证:对任意的x0,+),f(x)0【解答】解:(1)当a0时,f(x)ex(sinxe),则f(x)ex(sinxe)+excosxex(sinxe+cosx),sinx+cosx=2sin(x+4)2e,sinx+cosxe0 故f(x)0 则f(x)在R上单调递减(2)当x0时,yex1,要证明对任意的x0,+),f(x)0则只需要证明对任意的x0,+),sinxax2+2ae0设g(a)sinxax2+2ae(x2+2)a+sinxe,看作以a为变量的一次函数,要使sinxax2+2ae0,则g(12)0g(1)0,即sinx
33、-12x2+1-e0;,sinx-x2+2-e0;,sinx+1e0恒成立,恒成立,对于,令h(x)sinxx2+2e,则h(x)cosx2x,设xt时,h(x)0,即cost2t0t=cost212,sintsin6=12,h(x)在(0,t)上,h(x)0,h(x)单调递增,在(t,+)上,h(x)0,h(x)单调递减,则当xt时,函数h(x)取得最大值h(t)sintt2+2esint(cost2)2+2esint-1-sin2t4+2e=14sin2t+sint+74-e(sint2+1)2+34-e(54)2+34-e=2716-e0,故式成立,综上对任意的x0,+),f(x)0(二
34、)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)在直角坐标系xOy中直线l的参数方程为x=1+tcosy=1+tsin(t为参数,0)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C:4cos(1)当=4时,求C与l的交点的极坐标;(2)直线l与曲线C交于A,B两点,且两点对应的参数t1,t2互为相反数,求|AB|的值【解答】解:(1)依题意可知,直线l的极坐标方程为=4(R),当0时,联立=4=4cos,解得交点(22,4),当0时,经检验(0,0)满足两方程,当0时,无交点;综上,曲线C与直线l的点极坐标为(
35、0,0),(22,4)(2)把直线l的参数方程代入曲线C,得t2+2(sincos)t20,可知t1+t20,t1t22,所以|AB|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2=22选修4-5:不等式选讲23已知函数f(x)|x+a|+|x2|()当a3时,求不等式f(x)3的解集;()若f(x)|x4|的解集包含1,2,求a的取值范围【解答】解:(1)当a3时,f(x)3 即|x3|+|x2|3,即x23-x+2-x3,或2x33-x+x-23,或x3x-3+x-23;解可得x1,解可得x,解可得x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4(2)原命题即f(x)|x4|在1,2上恒成立,等价于|x+a|+2x4x在1,2上恒成立,等价于|x+a|2,等价于2x+a2,2xa2x在1,2上恒成立故当 1x2时,2x的最大值为213,2x的最小值为0,故a的取值范围为3,0第21页(共21页)