1、2022-2023学年湖南省长沙外国语学校高三（上）第二次模拟考试（10月份）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合AxZ|1x3，Bx|lnx1，则AB的元素个数为（）A1B2C3D42（5分）设命题p：nN，n23n+4，则p的否定为（）AnN，n23n+4BnN，n23n+4CnN，n23n+4DnN，n23n+43（5分）已知曲线yaxb在点（1，a）处的切线方程为8xy+60，则（）Aa2，b4Ba2，b4Ca8，b1Da8，b14（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+3）f（x），且当x
2、（0，32时f（x）2x1，则f（2021）+f（2022）+f（2024）的值是（）A2B1C0D35（5分）已知数列an是公差不为零的等差数列，bn为等比数列，且a1b11，a2b2，a4b3，设cnan+bn，则数列cn的前10项和为（）A1078B1068C566D5566（5分）化简2cos10-cos70cos20的值为（）A12B1C32D37（5分）已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若OP-OA=（AB+12BC），0，+），则点P的轨迹一定过ABC的（）A外心B重心C垂心D内心8（5分）已知a，b，c（0，1），e是自然对数的底数，若ae44ea
3、，be33eb，2cecln2，则有（）AabcBbacCbcaDcab二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，在多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知向量a=（2，1），b=（3，t），c=（6，2），则（）A若ab，则t6B若ab，则t6C若t6，则c=5a+3bD若t6，则c=2a-23b（多选）10（5分）已知函数f(x)=sin3x-3cos3x，则（）Ayf（x）的图象可由函数ysin3x的图象向右平移3个单位Byf（x）在3，2上递减Cyf（x）的图象关于直线x=-18对称D当x0，2时，f（x）的
4、取值范围是-3，2（多选）11（5分）若函数f（x）ln（2x）+kx有大于零的极值，则实数k的可能取值为（）A2eB-12C-1eD1e（多选）12（5分）已知函数f（x）及其导函数f（x）的定义域均为R，记g（x）f（x），若f（3x），g(52-2x)均为奇函数，则（）Af（3）0Bg（3）0Cf(52)=f(72)Dg（5）g（8）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）设z=21-i+i（其中i为虚数单位），则|z| 14（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S51：2，则S15：S5 15（5分）已知定义域为R的可导函数yf（x）的导函数f（x）满足f
5、（x）f（x），且f（0）2，则不等式f（x）2ex的解集为 16（5分）在矩形ABCD中，AB4，AD3，P为矩形ABCD内一动点，且|BP|=1，则DPAC的取值范围是 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步17（10分）已知，(0，2)，cos=35，cos(+)=513（1）求sin的值；（2）求cos（+2）的值18（12分）已知数列an满足13a1+132a2+133a3+13nann（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bnlog3an，求数列1bnbn+1bn+2的前n项和为Tn19（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin
6、AacosC，c4（I）求角C的大小；（2）若3sinA=cos(B+4)+2，求ABC的面积20（12分）已知数列an的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2（nN*），数列bn满足bn=2nan（1）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设数列cn满足an(cn-3n)=n(-1)n-1（为非零整数，nN*），问是否存在整数，使得对任意nN*，都有cn+1cn21（12分）已知函数f（x）ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y2x2（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在1e，e上的单调区间和最值；（3）若存在实数m2，2，函数g（x）=
7、23x3lnx-29x3（2m+n）x在（1，e）上为单调减函数，求实数n的取值范围22（12分）已知函数f（x）exaxln2（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a2时，求函数g（x）f（x）cosx+ln2在（-2，+）上的零点个数2022-2023学年湖南省长沙外国语学校高三（上）第二次模拟考试（10月份）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合AxZ|1x3，Bx|lnx1，则AB的元素个数为（）A1B2C3D4【解答】解：Bx|lnx1x|0xe，AxZ|1x31，0，1，
8、2，AB1，2，故AB的元素个数为2，故选：B2（5分）设命题p：nN，n23n+4，则p的否定为（）AnN，n23n+4BnN，n23n+4CnN，n23n+4DnN，n23n+4【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为nN，n23n+4，故选：C3（5分）已知曲线yaxb在点（1，a）处的切线方程为8xy+60，则（）Aa2，b4Ba2，b4Ca8，b1Da8，b1【解答】解：将（1，a）代入8xy+60，得a2，又因为yabxb1，所以b（1）b14，b4故选：B4（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+3）f（x），且当x（0，32时f（x）2x1，则f（2021）+f（2
9、022）+f（2024）的值是（）A2B1C0D3【解答】解：因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）0，由f（x+3）f（x）得，f（x+6）f（x+3）f（x），所以函数f（x）为周期函数，周期为6，所以f（2021）f（33665）f（5）f（1）1，f（2022）f（3376+0）f（0）0，f（2024）f（3376+2）f（2）f（1+3）f（1）f（1）1，所以f（2021）+f（2022）+f（2024）1+0+12故选：A5（5分）已知数列an是公差不为零的等差数列，bn为等比数列，且a1b11，a2b2，a4b3，设cnan+bn，则数列cn的前10项和为（）A1078
10、B1068C566D556【解答】解：设等差数列an的公差为d0，等比数列bn的公比为q，a1b11，a2b2，a4b3，1+dq，1+3dq2，d0，解得：d1，q2an1+n1n，bn2n1cnan+bnn+2n1则数列cn的前10项和=10(1+10)2+210-12-1=1078故选：A6（5分）化简2cos10-cos70cos20的值为（）A12B1C32D3【解答】解：原式=2cos10-cos(60+10)cos20=32cos10+32sin10cos20 =3(32cos10+12sin10)cos20 =3cos(30-10)cos20 =3cos20cos20=3故选：
11、D7（5分）已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若OP-OA=（AB+12BC），0，+），则点P的轨迹一定过ABC的（）A外心B重心C垂心D内心【解答】解：设BC的中点为D，OP-OA=（AB+12BC）=(AB+BD)=AD，AP=AD，AD是ABC的中线，点P的轨迹必过ABC的重心故选：B8（5分）已知a，b，c（0，1），e是自然对数的底数，若ae44ea，be33eb，2cecln2，则有（）AabcBbacCbcaDcab【解答】解：ae44ea，be33eb，2cecln2，eaa=e44，ebb=e33，ecc=2ln2=4ln4=eln4ln4，设
12、f（x）=exx，x0，则f（x）=ex(x-1)x2，由f（x）0得，x1，当f（x）0得x1，当f（x）0得0x1，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，1ln434，f（ln4）f（3）f（4），f（c）f（b）f（a），又a，b，c（0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，abc，故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，在多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知向量a=（2，1），b=（3，t），c=（6，2），则（）A若ab，则t6B若ab，则t6C若t6，则c=5a+3bD若
13、t6，则c=2a-23b【解答】解：a=（2，1），b=（3，t），c=（6，2），若ab，则6t0，即t6，故A正确；若ab，则2t30，即t=32，故B错误；若t6，则b=(-3，-6)，5a+3b=(10，-5)+(-9，-18)=（1，23）c，故C错误；若t6，则b=(-3，-6)，2a-23b=(4，-2)-(-2，-4)=（6，2）=c，故D正确故选：AD（多选）10（5分）已知函数f(x)=sin3x-3cos3x，则（）Ayf（x）的图象可由函数ysin3x的图象向右平移3个单位Byf（x）在3，2上递减Cyf（x）的图象关于直线x=-18对称D当x0，2时，f（x）的取值范
14、围是-3，2【解答】解：由f(x)=sin3x-3cos3x，得f（x）2sin（3x-3），对于A：ysin3x的图象向右平移3，得到f（x）2sin3（x-3）2sin3x，故错误；对于B：当x3，2时，3x-323，762，32，故yf（x）在3，2上递减，B正确；对于C：f（-18）2sin3（-18）-32sin（-2）2，故x=-18是f（x）的对称轴；故C对；对于D：当x0，2时，3x-3-3，76，当3x-3=2时，f（x）取最大值2，当3x-3=-3时，f（x）取最小值-3，故值域为-3，2，D正确故选：BCD（多选）11（5分）若函数f（x）ln（2x）+kx有大于零的极值
15、，则实数k的可能取值为（）A2eB-12C-1eD1e【解答】解：由f（x）ln（2x）+kx，得f(x)=1x+k（x0），当k0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，无极值，不符合题意；当k0时，若0x-1k，则f（x）0；若x-1k，则f（x）0，所以当x=-1k时，函数f（x）取得极大值f(-1k)，因此f(-1k)=ln(-2k)-10，即ln(-2k)1，解得-2ek0，显然选项A，D不符合，B，C符合故选：BC（多选）12（5分）已知函数f（x）及其导函数f（x）的定义域均为R，记g（x）f（x），若f（3x），g(52-2x)均为奇函数，则（）Af（3）0Bg（3
16、）0Cf(52)=f(72)Dg（5）g（8）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（3x）是奇函数，f（x）的图象关于点（3，0）对称，则f（3）0，A正确；对于B，f（x）的图象关于点（3，0）对称，g（x）的图象关于直线x3对称，不能确定g（3）0，B错误；对于C，f（x）的图象关于点（3，0）对称，f（52）f（72），C错误；对于D，g（x）的图象关于直线x3对称，g(52-2x)均为奇函数，则g（5）g（8），D正确；故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）设z=21-i+i（其中i为虚数单位），则|z|5【解答】解：z=21-i+i，z=2(1
17、+i)(1-i)(1+i)+i=1+2i，|z|=12+22=5故答案为：514（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S51：2，则S15：S53：4【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S51：2，（S10S5）：S51：2，由等比数列的性质得（S15S10）：（S10S5）：S51：（2）：4，S15：S53：4，故答案为：3：415（5分）已知定义域为R的可导函数yf（x）的导函数f（x）满足f（x）f（x），且f（0）2，则不等式f（x）2ex的解集为（0，+）【解答】解：设g（x）=f(x)ex，则不等式f（x）2ex等价为f(x)ex2，f（0）2，g（0
18、）=f(0)e0=2，即不等式等价为g（x）g（0），函数g（x）的导数g（x）=f(x)ex-f(x)exex2=f(x)-f(x)ex，f（x）f（x），g（x）0，即g（x）在R上是减函数，则不等式g（x）g（0）的解为x0，即不等式的解集为（0，+），故答案为：（0，+）16（5分）在矩形ABCD中，AB4，AD3，P为矩形ABCD内一动点，且|BP|=1，则DPAC的取值范围是 （4，11）【解答】解：如图，以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A（4，0），C（0，3），D（4，3），由题意设P（cos，sin），02，AC=(-4，3)，DP=(cos-4，sin-3)，
19、则DPAC=164cos9+3sin7+3sin4cos7+5sin（），sin=35，cos=4502，2-，则35sin（）4，DPAC（4，11）故答案为：（4，11）四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步17（10分）已知，(0，2)，cos=35，cos(+)=513（1）求sin的值；（2）求cos（+2）的值【解答】解：（1）因为，均为锐角，所以0+又cos=35，cos(+)=513，所以sin=45，sin(+)=1213所以sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin=121335-51345=1665（2）根据第（1）问可知cos=6365，所
20、以cos(+2)=cos(+)+=cos(+)cos-sin(+)sin=5136365-12131665=12384518（12分）已知数列an满足13a1+132a2+133a3+13nann（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bnlog3an，求数列1bnbn+1bn+2的前n项和为Tn【解答】解：（）当n1时，a13，因为13a1+132a2+133a3+13nann，所以当n2时，有13a1+132a2+133a3+13n-1an1n1，两式相减得，13nan1，即an3n（n2），因为a13，满足上式，所以an3n（nN+）（）bnlog3anlog33nn，所以1bnbn+
21、1bn+2=1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2)，所以Tn=12112-123+123-134+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)=1212-1(n+1)(n+2)19（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinAacosC，c4（I）求角C的大小；（2）若3sinA=cos(B+4)+2，求ABC的面积【解答】解：（1）由正弦定理化简已知等式得：sinCsinAsinAcosC，A为三角形内角，sinA0，sinCcosC，即tanC1，由C（0，），可得C=4；（2）由（1）可知B=34-A，3sinA=cos(B+4)+2
22、，可得：3sinAcos（B+4）=3sinAcos（A）=3sinA+cosA2sin（A+6）2，可得sin（A+6）1，0A34，6A+61112，A+6=2，即A=3，此时，B=512，由正弦定理asinA=csinC，c4，可知a26，SABC=12acsinB=12264sin712=6+2320（12分）已知数列an的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2（nN*），数列bn满足bn=2nan（1）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设数列cn满足an(cn-3n)=n(-1)n-1（为非零整数，nN*），问是否存在整数，使得对任意nN*，都有cn+1cn【
23、解答】解：（1）证明：数列an的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2（nN*），n2时，anSnSn1an-(12)n-1+2an1-(12)n-2+2，化为：2nan2n1an11，bnbn11，n1时，a1a11+2，解得a1=12，b11数列bn是等差数列，公差为1bn1+n1n，n2nan，解得an=n2n（2）设数列cn满足an(cn-3n)=n(-1)n-1（为非零整数，nN*），n2n（cn3n）n（1）n1，解得cn3n+（1）n12n，假设存在整数，使得对任意nN*，都有cn+1cn则3n+1+（1）n2n+13n+（1）n12n，n2k1（kN*）时，化为：(32)n-
24、1，解得1n2k（kN*）时，化为：-(32)n-1，解得-32综上可得：1-32，0存在整数1满足对任意nN*，都有cn+1cn21（12分）已知函数f（x）ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y2x2（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在1e，e上的单调区间和最值；（3）若存在实数m2，2，函数g（x）=23x3lnx-29x3（2m+n）x在（1，e）上为单调减函数，求实数n的取值范围【解答】解：（1）f（x）3ax2+2bxlnx+bx，（x0）f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y2x2，f(1)=3a+b=2f(1)=a=0，解得a=0b=2，
25、f（x）2x2lnx（2）由（1）可知：f（x）4xlnx+2x2x（2lnx+1），令f（x）0，解得x=e-12 x 1e，1e) 1e (1e，e f（x） 0+ f（x） 单调递减 极小值 单调递增由表格可知：f（x）在1e，e上的单调递增区间为(1e，e，单调递减区间为1e，1e)最小值为f(1e)=-1e，又f(1e)=-2e2，f（e）2e2，故最大值为2e2（3）g(x)=2x2lnx+2x23-2x23-(2m+n)，由题意可知g（x）在（1，e）上为单调减函数，g（x）0恒成立，即2x2lnx（2m+n）0，2m+n2x2lnx2m+n(2x2lnx)max=2e2n2m+
26、2e2存在实数m2，2，使得上式成立，n（2m+2e2）min4+2e2，n的取值范围是4+2e2，+）22（12分）已知函数f（x）exaxln2（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a2时，求函数g（x）f（x）cosx+ln2在（-2，+）上的零点个数【解答】解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为R，f（x）exa，当a0时，因为f（x）0，所以f（x）在R上单调递增，当a0时，令f（x）0，得xlna；令f（x）0，得xlna，所以f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，综上所述，当a0时，f（x）在R上单调递增；当a0时，f（x）在（，lna）上单调
27、递减，在（lna，+）上单调递增；（2）由已知得g（x）ex2xcosx，x（-2，+），则g（x）ex+sinx2，当x(-2，0)时，因为g（x）（ex1）+（sinx1）0，所以g（x）在（-2，0）上单调递减，所以g（x）g（0）0，所以g（x）在（-2，0）上无零点，当x0，2时，因为g（x）单调递增，且g（0）1，g（2）e2-10，所以存在x0(0，2)，使得g（x0）0，当x（0，x0）时，g（x）0；当x(x0，2)时，g（x）0，所以g（x）在0，x0上单调递减，且g（0）0，所以g（x0）0，又因为g（2）=e2-0，所以g（x0）g(2)0，所以g（x）在（x0，2）上存在一个零点，所以g（x）在0，2上有两个零点，当x（2，+）时，g（x）ex+sinx2e2-30，所以g（x）在（2，+）上单调递增，因为g（2）0，所以g（x）在（2，+）上无零点，综上所述，g（x）在（-2，+）上的零点个数为2个第14页（共14页）
