1、昆山市2020届高三第一学期模块调研试卷数学注意事项：1本试卷共4页，考试时间120分钟2请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效3答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内一、填空题(本大题共14小题，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1.已知集合，则_【答案】【分析】先化简集合B,再求得解.【详解】由题得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合的表示和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.已知，i是虚数单位，若（1i）（1bi）=a，则的值为_.【答案】2试题分析：由，可得，所以，故答案为2考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查
2、复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为.3.已知向量，且，则 _.【答案】8【解析】，,又，解得答案：84.函数的值域为_【答案】【分析】求出范围，进而求出函数的值域【详解】因为，即，函数的值域为5.已知平面，和直线，且，则“”是“”的_条件（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写）【答案】充分不必要【分析】从充分性和必要性两方面分析判断得解.【详解】由题得，所以“”是“”的充分条件；当时，不一定有，有可能不与平面b垂直，也有可能在平面b内
3、.所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分非必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充要条件的判断和空间几何元素的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.若函数，则函数f(x)的振幅为_【答案】【分析】化简函数得，即得函数的振幅.【详解】,所以函数的振幅是.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的振幅，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2，则该四棱锥的体积_ 【答案】【分析】利用侧面积求出斜高，再计算正四棱锥的高，然后求解体积【详解】顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心， 正四棱锥的侧面积为S侧面
4、=4PE= 正四棱锥的高OP=所以棱锥的体积故答案为【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征及棱锥体积公式的应用.8.已知函数，若关于的方程有且仅有1个实根，则实数的取值范围是_【答案】【分析】先作出函数的图象，再分析图象得解.【详解】由题得,所以.当时，关于的方程有且仅有1个实根；当时，关于的方程有且仅有1个实根.故答案为：【点睛】本题主要考查函数图象的作法和函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则_【答案】【分析】因为所以直线过圆心，求出直线的方程，利用直线的倾斜角和的长即可求出【详解】圆，圆心，半径，直线过圆心，
5、直线，倾斜角为，过，分别做的垂线与轴交于，两点，故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是基础题10.正项等差数列中，则的最小值为_【答案】【分析】由题得，再化简后，利用基本不等式求解.【详解】由题得，所以=.当且仅当时取等.所以最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查等差中项的应用和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为_【答案】【分析】双曲线焦点到渐近线的距离为，再由a,b,c的关系得到离心率.【详解】双曲线焦点到渐近线的距离为，.故答案为.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线
6、的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).12.设数列的前项和为满足（），若，则的取值范围为_【答案】【分析】因为，把上面的两式相减得，再把这两个等式相减，得，所以数列的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列若，恒成立，当且仅当，解得，即可求出答案【详解】因为，把上面的两式相减得，再把这两个等式相减，得，所以数列的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列若，恒成立，当且
7、仅当，又，所以，所以，所以，解得，所以，故答案为：，【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列中最值的计算，属于中档题13.已知为的外心，且，（），若，则值为_【答案】【分析】如图，不妨设CA=2CB=2,根据已知得到解方程组即得解.【详解】不妨设CA=2CB=2,又，所以所以得方程组.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知，是函数，的两个极值点，若，则的取值范围为_【答案】【分析】先由题得所以，.化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.【详解】由题得函数的定义域为，所以是方程的两个实数根，所以，因为，所以，所以.所以=记，
8、所以由，所以在单调递减，又由洛必达法则得当时，即，所以函数g(x)的值域为.即的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、解答题：本大题共6小题，在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骡15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定
9、理解三角形.16.如图，在三棱柱中，点，分别在棱，上（均异于端点），且，求证：（1）平面平面；（2）平面【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）先证明平面即证得平面平面；（2）先证明，即证平面【详解】（1）三棱柱中，因为，所以又，平面，所以平面又因为平面，所以平面平面（2）因为，所以所以又所以四边形是平行四边形从而又平面，平面，所以平面【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.如图所示，沿河有、两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理
10、厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为（万元），表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），表示输送污水管道的长度（千米）已知城镇和城镇的污水流量分别为，、两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题：（1）若在城镇和城镇单独建厂，共需多少总费用?（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇到拟建厂距离为千米，求联合建厂的总费用与的函数关系式，并求的取值范围【答案】（1）若在城镇和城镇单独建厂，共需210万元（2）（），的取值范围为【分析】（1）总费用为
11、，计算即得解；（2）联合建厂，共需总费用（），化简即得与的函数关系式（）,再求函数的值域得解.【详解】（1）分别单独建厂，共需总费用万元所以若在城镇和城镇单独建厂，共需210万元（2）联合建厂，共需总费用（）所以与的函数关系式为（）令（）所以的取值范围为【点睛】本题主要考查函数的应用，考查函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点到椭圆两焦点距离之和为，如图，为坐标原点，平行与的直线l交椭圆于不同的两点、（1）求椭圆方程；（2）若的横坐标为，求面积的最大值；（3）当在第一象限时，直线，交x轴于，若PEPF，求点的坐标【答案】（1）（2）面积
12、的最大值为2（3）点坐标为【分析】（1）由题得，解方程即得椭圆的方程；（2）设直线为，先求出，点到直线的距离，即得；（3）设点的坐标为，根据得到，又，解方程组即得解.【详解】（1）因为椭圆上一点到两焦点距离之和为，所以，即又因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以椭圆方程为（2）设点，的横坐标代入，解得的纵坐标为，所以直线的斜率为1，因为，所以设直线为，联立，得，解得，所以，点到直线的距离，当时取得等号，所以面积的最大值为2（3）设点的坐标为，所以，即则，设直线，联立，整理得，所以，因为，所以，所以，化简得，把，代入上式，化简得，所以，因此点坐标为【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中最值
13、的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.已知函数，（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有两个零点，求的取值范围【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【分析】（1）先求出，再写出切线方程；（2）先求出，再通过对分类讨论的单调性；（3）对分类讨论，结合函数的图象求出的取值范围.【详解】（1）当时，所以，所以在处的切线方程为（2）时，所以，得；，得，所以在单调递减，在单调递增：时，解得或当时，恒成立，所以在单调递增；当，则，故当时，；时，所以在单调递增，在单调递减当，则，故当时，；时，所以在单调递增，在单调递减（
14、3）设，由（2）知，在单调递减，在单调递增又，所以在有一解：取且，则，所以在有一解，所以有两个零点；设，只有一个零点；设，若，由（2）知，在单调递增，又当时，故不存在两个零点；若，由（2）知，在单调递增，在单调递减，又当时，故不存在两个零点；【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知数列中，对任意的，有（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足（，），求数列的前项和；设是正整数，若存在正数，对任意的正整数，当时，都有，求m的最大值【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）的最大值为5【分析】（1）先证明是首项
15、，公差都为1的等差数列，再写出数列的通项；（2）先求出，（），再分类讨论求出数列的前项和；原题等价于存在正数，对任意的正整数（），当时，都有，再对分类讨论求出m的最大值【详解】（1）由，令，则，所以是首项，公差都为1的等差数列，所以的通项公式为（2）由题意，（），两式相减得（），（），当时，满足上式，所以，（）所以时，；时，且时，（3）等价于，原题等价于存在正数，对任意的正整数（），当时，都有，当时，与题目要求不符；当时，与题目要求不符；当时，当时，上式取对数得，等价于，设，则，单调递增；，单调递减；所以在取最大值，又因为，所以；设，则，设，时，所以在递减，又，所以在恒成立，即在递减时，存在；时，递减，所以的最大值为5【点睛】本题主要考查等差数列性质的判定和通项的求法，考查递推公式求数列的通项，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
