1、南省衡阳市重点高中2023届高三上学期第二次月考数学试卷考试时量：120分钟分值：150分一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.1.集合，则（ ）A. B. C. D.2.命题的否定形式为（ ）A. B.C. D.3.函数的图象在的大致为（ ）A. B.C. D.4.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0a1”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.已知函数的定义域均为，且.若的图像关于直线对称，则（ ）A. B. C. D.6.已知是上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点.对称，且，则（ ）A.6 B.3 C.0 D.7
2、.当时，函数取得最大值，则（ ）A. B. C. D.8.对于定义在上的函数，若存在正常数，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：；.是“控制增长函数”的有（ ）个A.1 B.2 C.3 D.4二多选题：每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9.已知函数，则（ ）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线10.如果满足，且，那么下列选项成立的是（ ）A. B.C. D.11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.的一个周期是C.的最大值为2D.是区间上的减函数12.在现代社会中，信号
3、处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（ ）A.函数为周期函数，且最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数导函数的最大值为4三填空题13.写出一个同时具有下列性质的函数：_.；当时，；是奇函数.14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则_.15.设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_.16.若是奇函数，则_；_.四解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：已知
4、的三边，所对的角分别为，若，_，求的面积.18.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前2020项和.19.如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，设点在线段上运动.（1）证明：；（2）设平面与平面所成锐二面角为，求的最小值.20.甲乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0
5、500.0102.7063.8416.63521.如图，点A为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于，两点，点是的中点.（1）若点A在抛物线的准线上，求抛物线的标准方程：（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于，两点，（i）证明：点的横坐标是定值，并求出该定值：（ii）当的面积最大时，求的值.22.已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.）（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，当时，.答案题号123456789101112答案DDDADDCBACACDBDBCD13.（答案不唯一，均满足）14.1 15. 16.；.8.【详解】对于，可化为，即对一切恒成立，由函数的定义域为可知
6、，不存在满足条件的正常数，所以，函数不是“控制增长函数”；对于，若函数为“控制增长函数”，则可化为，对一切恒成立，又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；对于，当且为任意正实数时，恒成立，所以，函数是“控制增长函数”；对于，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，若，即，所以，函数是“控制增长函数”.因此，是“控制增长函数”的序号是.故选：C【点睛】方法点睛：类似这种存在性问题的判断，常用的方法有：（1）特例说明存在性；（2）证明它不存在；（3）证明它存在.要根据已知条件灵活选择方法解答.12.【详解】，所以，不是函数的最小正周期，A选项错误；，所以，故函数的图象关
7、于点对称，B选项正确；，所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；，则，又，所以函数的最大值为，D选项正确.故选：BCD.17.选由得：，又所以.选由得：，解得，又，所以.选由得：，得，又，所以.又因为，所以.由，所以或.当时，又因为，所以，.所以面积.当时，所以.又因为，所以.所以面积.18.【详解】（1）由，可得，所以，即，当，也满足，所以；（2）.19.【详解】（1）证明：在梯形中，因为，所以，所以，所以，所以.因为平面平面，平面平面，因为平面，所以平面.所以；（2）解：由（1）可建立分别以直线，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，.，.设为平面的一个法向量，由得，取，则，是
8、平面的一个法向量，当时，有最大值，的最小值为.20.（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，（2）有21.（1）；（2）（i）点的横坐标为定值，证明见详解；（ii）解：（1）由题意得，点A在抛物线的准线上，则，即所以抛物线的标准方程为；（2）（i）证明：因为过A的直线和抛物线交于两点，所以的斜率存在且不为0，设的方程为，其中m是斜率的倒数，设，联立方程组，整理得，且，因为C是AB的中点，所以，所以，所以点的横坐标为定值；（ii）因为直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以的斜率和的斜率互为相反数.设直线的方程为，即，联立方程组整理得，所以，.因为点C是AB中点，所以，因为到的距离，所以.令，
9、则，当且仅当，时等号成立，所以，.22.【详解】（1）.当时，函数在R上单调递增；当时，由解得，由解得.故在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证法一：原不等式等价于令，则.当时，令，则当时，当时，单调递增，即，当时，；当时，；当时，即，故.证法二：原不等式等价于.令，则.当时，；当时，.，即，当且仅当时等号成立.当时，显然成立；当且时，.欲证对任意的，成立，只需证思路1：，不等式可化为，令，则，易证当时，当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，即，从而，对任意的，当时，.思路2：令，则.，或在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.，即.从而，对任意的，当时，.证法三：原不等式等价于.令，则.令，则，其中.当时，在上单调递增.注意到，故当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增.，即.当时，.当时，单调递减；当时，单调递增.（i）：若，则.当时，；当时，.与同，不等式成立.（ii）：若，则，使得，且当时，；当时，；当时，.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.此时，即.
