1、 圆锥曲线中的探究性问题近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高模块1 整理方法 提升能力圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种：一是先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、
2、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证例1椭圆：（）的左焦点为，右焦点为，离心率过的直线交椭圆于、两点，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】（1）因为，即，而，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为（2）法1：假设平面内存在定点满足条件，由对称性可知点必在轴上，设由，消去可得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即设
3、，则，所以联立，可得因为，由可得，整理可得，由解得，所以存在定点，使得以为直径的圆恒过点法2：假设平面内存在定点满足条件，由对称性可知点必在轴上若直线为，则，以为直径的圆为，与轴交于点和下面进行验证由，消去可得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即设，则，所以联立，可得因为，所以因为，所以综上所述，存在定点，使得以为直径的圆恒过点【点评】由对称性得到：如果存在定点，则一定在轴上，由此可减少未知数的引入，降低题目的难度法2是根据对称性和选取特殊情况，求出具体的圆与轴的交点：和，此时只需对这两个点进行检验，如果有满足条件的，则表示点存在，如果都不满足，则表示点不存在例2椭圆（）经过点，离心率
4、，直线的方程为（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、的斜率分别为、问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解析】（1）由在椭圆上，所以又因为，解得，所以椭圆的方程为（2）显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为联立消去可得，设，则有，点的坐标为，所以，于是，又因为，所以所以存在常数符合题意【点评】引进直线的斜率，然后用去表示、，将转化为的方程，该方程有解，则说明实数存在，否则不存在我们也可以考虑特殊情况，让直线的斜率，则有，此时也就是说，要么常数不存在，要么常数该猜测能使解题方向更为清晰明确例3椭圆：（）的离心率为，轴被曲线：
5、截得的线段长等于的长半轴长（1）求、的方程；（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交于、（i）证明：；（ii）记、的面积分别是、问：是否存在直线，使得？请说明理由【解析】（1）由题意知，又因为，解得，所以、的方程分别为，【证明】（2）（i）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，于是，又点的坐标为，所以，所以，即【解析】（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由可得或，所以点的横坐标为设直线的斜率为，同理可得点的横坐标为，于是由可得，解得或，所以点的横坐标为同理可得点的横坐标为，于是，因此由题意知，解得或于是直线的斜率为，解得，所以满足条件的直线存在，且有两
6、条，其方程分别为和【点评】引入直线的斜率，则、的坐标都能用去表示，进而用表示，由得到有关的方程，该方程有解，则点存在，从而直线存在，否则点不存在，直线也不存在模块2 练习巩固 整合提升练习1：在直角坐标系中，曲线：与直线（）交于、两点（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由【解析】（1）不妨设，因为，所以在处的导数值为，所以在处的切线方程为，即在处的导数值为，所以在处的切线方程为，即所以在点和处的切线方程为或（2）存在符合题意的点设点为符合题意得点，直线、的斜率分别为、，则联立，消去，可得，所以，于是当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所
7、以，所以符合题意练习2：如图，：（）的顶点为、，焦点为、，（1）求椭圆的方程；（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与椭圆相交于、两点的直线，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解析】（1）由可得，由可得，又因为，解得，所以椭圆的方程为（2）设、当垂直于轴时，点就是右焦点，此时，直线不满足条件当不垂直于轴时，设的方程为由与垂直相交于点且可得，即因为且，所以，于是由消去可得，于是，于是，即因为方程组无解，所以不存在满足条件的直线 综上所述，不存在直线，使成立练习3：已知定点，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍设点的轨迹为，过点的直线交于
8、、两点，直线、分别交于点、（1）求的方程；（2）试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由【解析】（1）设，依题意有，化简可得（）（2）法1：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上，设设直线的方程为，由，消去可得，由题意知设，则，因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理，于是，由可得，即，即，即，解得或，所以以线段为直径的圆过定点和法2：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上若垂直于轴，则，直线方程为，所以点坐标为，此时以为直径的圆的方程为，该圆与轴交于点和下面进行验证设直线的方程为，由，消去可得，由题意知设，则，因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理因为，所以同理所以以线段为直径的圆过定点和
