1、第二章自动控制系统数学模型自动控制系统的数学模自动控制系统的数学模型型第二章自动控制系统数学模型本章概述本章概述 2.1 动态微分方程式的编写动态微分方程式的编写 2.2 传递函数传递函数 2.4 系统动态结构图系统动态结构图 2.6系统传递函数的求取系统传递函数的求取 2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 2.5系统结构图等效变换和化简系统结构图等效变换和化简第二章自动控制系统数学模型本章重点本章重点 本章介绍了建立控本章介绍了建立控制系统数学模型和制系统数学模型和简化的相关知识。简化的相关知识。包括线性定常系统包括线性定常系统微分方程的建立、微分方程的建立、传递函数概念与应传递函数
2、概念与应用、方框图及其等用、方框图及其等效变换、梅逊公式效变换、梅逊公式的应用等。的应用等。通过本章学习，通过本章学习，应着重应着重准确掌握准确掌握传递函数的概念传递函数的概念及其求取方法及其求取方法、控制系统方框图控制系统方框图的构成和等效变的构成和等效变换方法、典型闭换方法、典型闭环控制系统的传环控制系统的传递函数的基本概递函数的基本概念和梅逊公式的念和梅逊公式的应用应用。本章主要内容本章主要内容第二章自动控制系统数学模型 概概 述述微分方程（时域数学模型）传递函数（复域数学模型）频率特性（频域数学模型）动态结构图(几何模型)1.数学模型-描述系统变量之间关系的数学表达式2.建模的基本方法
3、:(1)解析法(2)实验辩识法3.经典控制理论常用数学模型的主要形式:第二章自动控制系统数学模型2.1 2.1 系统的微分方程式系统的微分方程式 步骤：1.确定系统输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控制量,也称系统响应)2.列写系统各部分的微分方程3.消去中间变量,求出系统的微分方程4.将微分方程整理成标准形式。一、线性系统微分方程的建立一、线性系统微分方程的建立第二章自动控制系统数学模型图2-1RC电路例2.1编写如图2-1所示RC电路的微分方程式第二章自动控制系统数学模型 dttduCtituRtituooi)()()()()()()()(tudttduRCtuooi解解:(1)确定输入
4、、输出量ui(t)-输入量uo(t)-输出量(2)列写微分方程（3）消去中间变量,可得电路微分方程式第二章自动控制系统数学模型图 2-2 直流电动机电枢电路例2-2编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式第二章自动控制系统数学模型nKedtdnJTTiKTedtdiLRiueGLdaTeaaaaa(2)列写微分方程式：解：(1)确定输入量和输出量：取输入量为电动机的电枢电压ua，取输出量为电动机的转速n。第二章自动控制系统数学模型（3）消去中间变量并予以标准化后得)(1222LLdTeaaemdmTdtdTTKKRuKndtdnTdtndTT电枢回路的电磁时间常数：dddRLT电动机的机电时间
5、常数：2TedGmKKRJT第二章自动控制系统数学模型若不考虑电动机的负载转矩TL，即设TL=0，则有aemdmuKndtdnTdtndTT122第二章自动控制系统数学模型1、叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即 Lf1(t)f2(t)=Lf1(t)Lf2(t)=F1(s)F2(s)复习复习 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义dtetftfLsFst0)()()(二、拉氏变换的运算定理二、拉氏变换的运算定理其中，原来的实变量函数f(t)原函数 变换后的复变量函数F(s)象函数第二章自动控制系统数学模型)()(ssFtfL)()(sFstf
6、Lnn5、终值定理：2、比例定理：K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍。即 LKf(t)=KLf(t)=KF(s)3、微分定理：在零初始条件下4、延迟定理：Lf(t-)=e-sF(s)0)(lim)(limstssFtf第二章自动控制系统数学模型通过查表，已知原函数f(t)，可求得象函数F(s)；同理，已知象函数f(t)，可求得原函数F(s)。三、原函数和象函数之间的变换三、原函数和象函数之间的变换第二章自动控制系统数学模型2.2 2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数一、传递函数的定义一、传递函数的定义当初始条件为零时，输出量c(t)的拉氏变换式C(s)与输入量r(t)的拉氏变换
7、式R(s)的之比。即 )()()(sRsCsG二、传递函数的一般表达式二、传递函数的一般表达式 设系统的输入量为r(t)，输出量为c(t)，则系统微分方程一般形式为第二章自动控制系统数学模型)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbtdtrdbtdtrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有)()()()()()()()(01110111sRbssRbsRsbsRsbsCassCasCsasCsammmmnnnn第二章自动控制系统数学模型 01110111)()()(asasasabsbsbsb
8、sRsCsGnnnnmmmm1、直接变换法 先建立微分方程，然后在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，即可根据传递函数的定义求得传递函数。根据传递函数的定义，得传递函数的一般表达式为：三、传递函数的求取方法三、传递函数的求取方法第二章自动控制系统数学模型解：初始条件为零时，拉氏变换为)()()1(sUsURCsio该电路的传递函数为1111)()()(sTRCssUsUsGio 式中 RC电路的时间常数。RCT)()(tutudtduRCioo，求此电路的传递函数。例2-3图2-1所示RC电路的微分方程式为第二章自动控制系统数学模型解：在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，有s2C(s)+
9、10sC(s)+100C(s)=100R(s)根据传递函数的定义，有可见，只要将微分方程中的微分式d(i)/dt(i)换成相应的s(i)，即可求得传递函数。10010100)()()(2sssRsCsG)(100)(100)(10)(22trtcdttdcdttcd求此环节的传递函数。例2-4已知某环节的微分方程为第二章自动控制系统数学模型在电工基础中，对于电阻、电感、电容，有电阻 u=iR 拉氏变换式为 U(s)=I(s)R电感 拉氏变换式为 U(s)=LsI(s)电容 拉氏变换式为 I(s)=CsU(s)由以上讨论可见，将电工基础复数阻抗中的j换成s即可。dtdiLu dtduCi 2、电
10、路复阻抗法第二章自动控制系统数学模型11)()(1)(1)()(1)(1)()()()(RCssUsURCssUCssIsURCsCssUCsRsUsZsUsIioioiii解：例2-5用复数阻抗法求RC串联电路的传递函数。第二章自动控制系统数学模型解：根据电子技术基础学过的知识，有Ii(s)+I(s)=If(s)又因为A点为虚地，即 UA 0，所 以I(s)0，因此有)()()()(00sZsZsUsUfi所以)()()()(0sZsUsZsUfii例2-6求图2-3所示运算放大器的传递函数G(s)。第二章自动控制系统数学模型四、传递函数的性质四、传递函数的性质（1）传递函数和微分方程存在一
11、一对应关系，对于一个确定的系统，微分方程是唯一的，其传递函数也是唯一的。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入 信号的大小、形式无关。（3）传递函数是一种数学抽象，因此不能反映系统的物理结构。不同性质的物理结构，完全可以有相同的传递函数。（4）传递函数的分母是它所对应的系统的微分方程的特征方程式。而特征方程的根反映系统动态过程的性质，所以由系统传递函数可以研究系统的动态特性。第二章自动控制系统数学模型2.3 2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数比例环节比例环节：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示)()(tKrtc 式中 环节的放大系数，为一常数。K 传递函数为
12、：KsRsCsG)()()(比例环节比例环节第二章自动控制系统数学模型惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数可以写成如下表达式。11)()()(TssRsCsG现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系 TsssC/111)(求拉氏反变换得)1()(/Ttetc第二章自动控制系统数学模型积分环节积分环节 传递函数为：TssRsCsG1)()()(当输入量为阶跃函数时，则输出量为：rutTtc1)(理想微分环节理想微分环节传递函数为：sTsRsCsGc)()()(第二章自动控制系统数学模型比例微分环节比例微分环节传递函数为：1)()()(sTsRsCsGc振荡环节振荡环节微分方程为：)(
13、)()(2)(2222trtcdttdcdttcdnnn其传递函数为：222222121)()()(nnnssTssTsRsCsG自然振荡角频率阻尼比第二章自动控制系统数学模型当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：)2()(222nnnssssC当 时，上式特征方程的根为共轭复数1输出量为：)1sin(11)(22tetcntn21arctan第二章自动控制系统数学模型延迟环节延迟环节 传递函数为：0)()()(sesRsCsG微分方程为：)()(0tKrtc第二章自动控制系统数学模型2.4 2.4 系统的动态框图（结构图）系统的动态框图（结构图）框图又称结构图，是传递函数的一种图形描述式
14、，可以形象地描述系统各单元之间和各作用量之间的相互关系，比较直观。、框图的组成、框图的组成1、信号线：带有箭头的直线，线上标注信号的象函数名称，箭头表示信号的流向。2、比较点：表示对两个或两个以上的信号进行代数运算，输入信号处应标明极性。第二章自动控制系统数学模型3、功能框：表示环节对信号的变换，框中写入环节的传递函数4、引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上引出的信号，大小和性质完全相同功能框比较点引出点第二章自动控制系统数学模型二、框图的画法二、框图的画法1、由输入到输出，依次列写系统的全部运动方程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、从输入开始，由左向右，根据相互作用的顺序
15、，依次画出各个环节，直至所需的输出量3、由内向外，画出反馈环节第二章自动控制系统数学模型解：直流电动机的基本工作原理：ua ia Te nnKedtdnGDTTiKTedtdiLRiueLedTeaaaaa3752)()(1/1)(sEsUsTRsIaaaa根据得例例2.7 画出他励直流电动机的框图。画出他励直流电动机的框图。第二章自动控制系统数学模型)(375)()()()(2ssNGDsTsTsiIKsTLedTesGDsTsTsNLd375)()()(2)()(sNKsEe)(375)()()()(2ssNGDsTsTsiIKsTLedTe第二章自动控制系统数学模型 按照信号传递关系依次
16、连接各环节，即可得到直流电动机的框图：第二章自动控制系统数学模型例2-8 画出图2-6 所示系统的系统框图。第二章自动控制系统数学模型7670)()(RRRsUsUf解：系统由3个运算放大器串联组成。120011)()()()()(RRsZsZsUsUsGfisCRRsCsZsZsUsUsGf133100102211)()()()()(sCRsCRRsCRsZsZsUsUsGf242542500203311)()()()()(第二章自动控制系统数学模型2.5 2.5 系统框图的等效变换和化简系统框图的等效变换和化简 任何复杂的系统结构图，各方框之间的基任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接
17、方式只有串联、并联和反馈连接三种。本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。并联和反馈连接的方框合并。变换前后的变量之间关系保持不变换前后的变量之间关系保持不变变等效变换的原则等效变换的原则第二章自动控制系统数学模型1、串联等效、串联等效)()()()()()(122sRsGsGsUsGsC)()()()()(21sGsGsRsCsG一、典型连接的等效传递函数一、典型连接的等效传递函数2、并联等效、并联等效)()()
18、()()()()()(2121sRsGsGsRsGsRsGsC第二章自动控制系统数学模型)()()(21sGsGsG3、反馈等效、反馈等效)()()()()()()()()()()(sCsHsGsRsGsBsRsGsEsGsC)()()()()(1)()(sRssRsHsGsGsC第二章自动控制系统数学模型1、相加点从单元的输入端移到输出端、相加点从单元的输入端移到输出端，如图，如图2-5 图 2-5 相加点后移变位运算R(S)GR(S)C(S)G2R(S)1R(S)G12二、相加点及分支点的换位运算二、相加点及分支点的换位运算原则：原则：移动前后保持信号的等效性移动前后保持信号的等效性第二章
19、自动控制系统数学模型图2-6 相加点前移变位运算R(S)C(S)G1/GR(S)12R(S)C(S)G2R(S)12、相加点从单元的输出端移到输入端，如图、相加点从单元的输出端移到输入端，如图2-6所示所示第二章自动控制系统数学模型3、分支点从单元的输入端移到输出端，如图、分支点从单元的输入端移到输出端，如图2-7所示所示图 2-7 分支点后移的变位运算R(S)C(S)GR(S)C(S)GR(S)1/GR(S)第二章自动控制系统数学模型4、分支点从单元的输出端移到输入端，如图、分支点从单元的输出端移到输入端，如图2-8所示所示 图 2-8 分支点前移的变位运算 R(S)C(S)GC(S)R(S
20、)C(S)GC(S)G第二章自动控制系统数学模型5、非单位反馈的等效变换、非单位反馈的等效变换第二章自动控制系统数学模型例2-9化简下图所示的多回环系统第二章自动控制系统数学模型第二章自动控制系统数学模型第二章自动控制系统数学模型2.6 2.6 系统传递函数的求取系统传递函数的求取 一、系统的开环传递函数一、系统的开环传递函数1、开环传递函数：、开环传递函数：2、前向通道传递函数：、前向通道传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出 E(s)到输入端到输入端对应的比较器的反馈对应的比较器的反馈 信号信号 B(s)之间所有传递函数的乘积，之间所有传递函
21、数的乘积，记记 为为 Go(s),Go(s)=G(s)H(s)输入端对应比较器输出输入端对应比较器输出 E(s)到输出端输出到输出端输出 C(s)所有所有传递函数的乘积，记为传递函数的乘积，记为G(s)第二章自动控制系统数学模型3、反馈通道传递函数：、反馈通道传递函数：输出输出 C(s)到到 输入端比较器的反馈信号输入端比较器的反馈信号 B(s)之间的之间的所有传递函数之乘积，记所有传递函数之乘积，记 为为 H(s)(sH)(sG)(sR)(sB)(sE)(sC第二章自动控制系统数学模型二、系统闭环传递函数二、系统闭环传递函数 在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之在初始条件为零时
22、，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。态性能的主要的数学模型。)(sC)(sR)(1sG)(2sG)(1sH例例2-10 试简化图示系统结构图，并求系统传递函数试简化图示系统结构图，并求系统传递函数)()()()()(1)()()()()(1212121sHsGsGsGsGsGsGsRsCs第二章自动控制系统数学模型三、系统对给定作用和扰动作用的闭环传递函数三、系统对给定作用和扰动作用的闭环传递函数 图图2-11所示系统中有两个输入量所示系统中有两个输入量给定作用量和扰动作给
23、定作用量和扰动作用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量2-11 Rr(s)和D(s)同时作用于系统第二章自动控制系统数学模型)()()()(1)()()()()()(1)()()()()(21212121sRsHsGsGsGsGsCsHsGsGsGsGsRsCsRRR1、只有给定作用时的闭环传递函数 和输出量 为：)(sCR)(sR第二章自动控制系统数学模型)()()()(1)()()()()(1)()()()(212
24、212sDsHsGsGsGsCsHsGsGsGsDsCsDDD)()()()(1)()()()()(1)()()()()(2122121sDsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsCsCsCDR因此当两个输入量同时作用于系统时，则输出量 为：)(sC2、只有扰动作用时的闭环传递函数 和输出量 为：)(sD)(sCD第二章自动控制系统数学模型四、系统对给定作用和扰动作用的误差传递函数四、系统对给定作用和扰动作用的误差传递函数误差的定义：单回环系统中，给定输入r(t)与反馈信号b(t)的差值，以e(t)表示，即e(t)=r(t)-b(t)或E(s)=R(s)-B(s)当只有给定信号R(s)作用下
25、的误差传递函数和系统误差R(s)作用时，可认为D(s)=0，所以有 )()()(11)(21sHsGsGsRsEsrRE第二章自动控制系统数学模型)()()()(1121sRsHsGsGsER当只有扰动信号D(s)作用下的闭环传递函数和系统输出D(s)作用时，可认为R(s)=0，所以有 )()()(1)()()(212sHsGsGsHsGsDsEsDED)()()()(1)()(212sDsHsGsGsHsGsED第二章自动控制系统数学模型五、五、梅逊增益公式梅逊增益公式nkkkps11)(从输入端到输出端的前向通路总数的余子式，即在中，除去与第k条前向通道相接触的所有回路的L项主特征式从输入
26、端到输出端第k条前向通路的总增益（或传递函数之积）闭环传递函数（或总增益）第二章自动控制系统数学模型aLcbLLfedLLL所有单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和系统的主特征式fedcbaLLLLLL1第二章自动控制系统数学模型例 2-11 求如图2-11所示系统的传递函数。第二章自动控制系统数学模型解：（1）该 系 统 只 有 一 条 通 道，即 n=1，所 以P1=G1G2G3G4G5G6。(2)该系统有4个负反馈回路，L1=-G1G2G3G4G5G6H1 L2=-G2G3H2 L3=-G4G5H3 L4=-G3G4H4 并且只有两个回路互不接触，即
27、L2L3=(-G2G3H2)(-G4G5H3)=G2G3G4G5 H2H3第二章自动控制系统数学模型所以有La=L1+L2+L3+L4=-G1G2G3G4G5G6H1-G2G3H2-G4G5H3-G3G4H4=1-La+LaLb=1+G1G2G3G4G5G6H1+G2G3H2+G4G5H3+G3G4H4+G2G3G4G5 H2H3(3)所有回路L1、L2、L3、L4均与前向通道相接触，即1=1第二章自动控制系统数学模型（4）根据梅逊公式求得系统传递函数为：543244335423216543216543211111)(HGGGHGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGPPskknk第二章自动
28、控制系统数学模型数学模型的基本概念。数学模型是描述系统暂态过程的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。通过解析法对实际系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。小小 结结第二章自动控制系统数学模型传递函数。通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数s域的数学模型传递函数以及典型环节的传递函数。动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。第二章自动控制系统数学模型动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。
