1、1量子力学量子力学第一章第一章II.波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释不确定度关系不确定度关系2平面波与傅里叶变换的回顾平面波与傅里叶变换的回顾只考虑空间只考虑空间(t=t0)，一维情况下平面波为一维情况下平面波为 =Aexp(i kx)将将f(x)用用exp(i kx)展开，有展开，有 F(k)为为f(x)的傅里叶变换的傅里叶变换特别地，若特别地，若 ，有，有1()(),2ikxf xF k e dkdxexfkFikx)(21)(21)(kF)(21)(xdkexfikx3第第2讲目录讲目录一、一、自由粒子的波函数自由粒子的波函数二、二、一般粒子的波函数及其物理意义一般粒子的波函数及其物
2、理意义三、三、波函数的统计诠释及其性质波函数的统计诠释及其性质四、四、动量分布概率动量分布概率五、五、测不准关系（不确定度关系）测不准关系（不确定度关系）4 自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量的质点。因此，其能量E和动量和动量 都是常量。都是常量。根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为率和波长分别为 n n=E/h，=h/p (1.1-1)又因为波矢为又因为波矢为 ，其中，其中k=2/，因此，自由因此，自由粒子的粒子的 n n和和k都为常量。由都为常量。由(1.1-
3、1)得到得到 (1.1-2)pppe2/,En2/pkep 一、自由粒子的波函数（一、自由粒子的波函数（1）kke/2h5一、自由粒子的波函数（一、自由粒子的波函数（2）v v和和k都为常量的波应该是平面波，可都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述用以下函数描述 将将(1.1-2)代入，得到代入，得到(1.1-3)这就是自由粒子的波函数，它将粒这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即它是时间和空间的函数，即)(exptrkiA)(expEtrpiAk(,)x y z t 6二、一般粒子的波函数及其物理意义二、
4、一般粒子的波函数及其物理意义(1)当粒子受到外力的作用时，其能量和动量当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用不再是常量，也就无法用这样简单的函数来描述，但总可以用某个这样简单的函数来描述，但总可以用某个波函数波函数 来描述这个粒子的特来描述这个粒子的特性。性。问题是，该如何理解波函数所代表的问题是，该如何理解波函数所代表的物理意义呢？物理意义呢？)(exp)(exptrkiAEtrpiAk(,)x y z t 7二、一般粒子的波函数及其物理意义二、一般粒子的波函数及其物理意义(2)历史上对粒子波动性的认识有两种误解：历史上对粒子波动性的认识有两种误解：(1)波包说，认为粒子
5、波就是粒子的某种实波包说，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。(2)群体说，认为体现粒子波动性的衍射行群体说，认为体现粒子波动性的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。结果。8二、一般粒子的波函数及其物理意义二、一般粒子的波函数及其物理意义(3)1、波包波
6、包能量和动量的关系为，能量和动量的关系为，利用利用得到得到 这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。显然物质波包的观点夸大了波动性的一面，显然物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。抹杀了粒子性的一面，与实际不符。220dhdkm,n hEpk mpE2/22/(2),kmv 9三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义(4)2、群体说群体说认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。疏密分布而产生的行为。然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而然而，电子衍射实
7、验表明，就衍射效果而言，言，弱电子密度长时间强电子密度短时间弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。定的概率存在于空间的某个位置。10二、一般粒子的波函数及其物理意义（二、一般粒子的波函数及其物理意义（5）3、概率波（、概率波（Born，1926）粒子的波动性可以用波函数来表示，粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅其中，振幅 表示波动在空间一表示波动在空间一点点(x,y,z)上的强弱。所以，上的强弱。所以，应该应该表示
8、表示 粒子出现在点粒子出现在点(x,y,z)附件的概率附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。子的波函数称为概率波。(,)(,)|(,)|ix y zx y zx y ze|(,)|x y z2|(,)|x y z1112三、波函数的统计诠释及其性质三、波函数的统计诠释及其性质 表示粒子出现在点表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。附近的概率。表示点表示点(x,y,z)处的体积元处的体积元 中找到粒子的概率。中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然引入归一化条件这就是波函数的统计诠释。自然引入归一化条件2|(,)|1x
9、y zdxdydzx y z 2|(,)|x y z2|(,)|x y zx y z *(,),dddxdydz 数学上，称为积分形式表示的内积。(,)1 归一化条件可以用内积表示为13对实际波函数的要求对实际波函数的要求1、可积性、可积性2、归一化、归一化3、单值性，要求、单值性，要求 4、连续性、连续性2|(,)|1x y zdxdydz(,)(x y z及其一阶导数连续)02|(,)|x y zdxdydz有限值2|(,)|x y z单值14简短的回顾简短的回顾量子力学的诞生过程；量子力学的诞生过程；Einstein的光子概念的光子概念 E=h，p=h/;德布罗意的物质波思想。微观粒子都
10、具有粒德布罗意的物质波思想。微观粒子都具有粒子和波动二重性，即波粒二象性。德布罗意子和波动二重性，即波粒二象性。德布罗意关系：关系：=E/h，=h/p;Born给出了物质波的正确解释：几率波给出了物质波的正确解释：几率波(或或概率波）。概率波）。问题：宏观物体的波动性问题：宏观物体的波动性?15四、动量分布概率（四、动量分布概率（1）设设 ，则，则 表示粒表示粒子出现在点子出现在点 附件的概率。附件的概率。设设 为粒子的动量，那么粒子具为粒子的动量，那么粒子具有动量有动量 的概率如何表示？的概率如何表示？平面波的波函数为平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开任意粒子的波函数
11、可以按此平面波做傅立叶展开kzj yi xrrkpjpippzyx/)(rp ierppdeprrp i3/23)()2(1)(22|()|(,)|rx y z16四、动量分布概率（四、动量分布概率（2）其中其中可见，可见，代表代表 中含有平面波中含有平面波 的成分，因此，的成分，因此，应该应该代表粒子具代表粒子具有动量有动量 的概率。的概率。rderprp i3/23)()2(1)(2|()|ip/iip re()ipipirp iirp iieppdepr/3/23)()()2(1)()r2233()1()1rd rpd p17五五、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(1)经
12、典粒子：可以同时具有确定的动量和空经典粒子：可以同时具有确定的动量和空间位置，即间位置，即 和和 可以同时成立。可以同时成立。微观粒子：微观粒子：和和 不能同时成立。不能同时成立。例例1：设一维自由粒子具有确定的动量：设一维自由粒子具有确定的动量 ，即即 ，其相应的波函数为平面波，其相应的波函数为平面波 故故 且且 0 xp0 x0 xp0 x0p1|)(|20 xp0px/00)(xippex 18例例2：设一维粒子具有确定的位置：设一维粒子具有确定的位置 ，即即 ，则其波函数为，则其波函数为 相应的傅立叶变换为相应的傅立叶变换为 故故 ，即，即000,0)(2)(0 xxxxxxxx/00
13、0)(21)(pixpxxxedxexp0 x1|)(|20pxp 常数px)()()(00 xfdxxfxx这里用到了0 x五五、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(2)极限分析极限分析：22001limexp/NxxxxNN（)=19 电子可在缝宽电子可在缝宽 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽确定量就是缝宽 ，电子在，电子在 x方向的动量不确定量方向的动量不确定量:xxsin,xppsin,x由衍射公式:x入射电子束入射电子束狭缝狭缝照相底版照相底版P Pxxx ph ,xhpx下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题下面以电子单缝
14、衍射为例讨论这个问题20例例3：有限长波列：有限长波列axaxeaxxik|,0|,21)(0121|2xdaxdaa)()sin(221)(000kkakkdxeekikxaaxikak/,1pxkpkx可得出由xa 五五、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(3)21严格证明表明，对一般粒子，有严格证明表明，对一般粒子，有物理意义：粒子的坐标和动量不可能同物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时被准确测量。或者说，微观粒子的位时被准确测量。或者说，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。定的值。px五五、测不准关系测不准关系(不确定度
15、关系不确定度关系)(4)22测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，的必然结果。这是因为，对波动而言对波动而言，不，不能提能提“空间某一点空间某一点x的的波长波长”。从而，对。从而，对微观粒子，微观粒子，只要承认其具有波粒二象性只要承认其具有波粒二象性，“微观粒子在空间某一点微观粒子在空间某一点x的动量的动量”，这，这样的提法也没有意义。所以，对一个样的提法也没有意义。所以，对一个给定给定点点x，动量只能是不确定的，这就是不确，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。定度关系。五五、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(5)23
16、1927，波尔，波尔 互补原理的基本思想：互补原理的基本思想：微观粒子同时具有微观粒子同时具有波动性与粒子性，而这两个性质是相互排波动性与粒子性，而这两个性质是相互排斥的，不能用一种统一的图像去完整地描斥的，不能用一种统一的图像去完整地描述量子现象，但波动性与量子性对于描述述量子现象，但波动性与量子性对于描述量子现象又是缺一不可的，必须把两者结量子现象又是缺一不可的，必须把两者结合起来，才能提供对量子现象的完备描述合起来，才能提供对量子现象的完备描述，量子现象必须用这种既互斥又互补的方，量子现象必须用这种既互斥又互补的方式来描述式来描述。六六、波尔的互补原理（波尔的互补原理（1）24波尔的互补原理中的互补概念有以下多层含义：1)“两类经典概念互补两类经典概念互补”，象微观粒子的特，象微观粒子的特征只能用波和粒子这样两个相互排斥的经征只能用波和粒子这样两个相互排斥的经典概念来反映；典概念来反映；2)两种实验装置互补，不可能在同一种实两种实验装置互补，不可能在同一种实 验装置中和实验条件下同时观测到两类互验装置中和实验条件下同时观测到两类互相排斥的现象。相排斥的现象。六六、波尔的互补原理（波尔的互补原理（2）
