1、2 直角坐标系下二重 积分的计算 二重积分计算的要点是把它化为定积分.这里有多种方法,其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分.一、在矩形区域上二重积分的计算 二、在 x 型或 y 型区域上二重积分 的计算 三、在一般区域上二重积分的计算 一、在矩形区域上二重积分的计算 (,)f x y,Da bc d 定理定理21.8 设设 在矩形区域在矩形区域 ,xa b(,)ddcf x yy上可积上可积,且对每个且对每个 积分积分 存在存在,则累次积分则累次积分 d(,)d(,)ddbdbdacacxf x yyf x yyx 也存在也存在,且且(,)dd(,)d.(1)bdacDf x yxf x
2、yy()(,)d,dcF xf x yy()F x证证 令令 定理要求证明定理要求证明 在在 ,a b上可积上可积,且积分的结果恰为二重积分且积分的结果恰为二重积分.为此为此,a b,c d对区间对区间 与与 分别作分割分别作分割 01,raxxxb 01.scyyyd 按这些分点作两组直线按这些分点作两组直线 (1,2,1),ixxir (1,2,1),kyyks 21 4 图图Oyxcdab1ixixi ky1kyik 把矩形把矩形 D 分为分为 rs 个小矩形个小矩形(图图21-4).记记 ik 为小矩为小矩 11,(1,iikkxxyyi 2,;1,2,).r ks 形形 (,)f x
3、 yik ikM设设 在在 上的上确界和下确界分别为上的上确界和下确界分别为 和和 ikm1,iixx,i.在区间在区间 中任取一点中任取一点 于是就有不等于是就有不等 式式 1(,)d,kkyikkiikkymyfyyMy 其中其中 1.kkkyyy 因此因此 11()(,)d,ssdikkiiikkckkmyFfyyMy11111(),(2)rsrrsikkiiiikkiikiikmyxFxMyx 1.iiixxx ik ikd其中其中 记记 的对角线长度为的对角线长度为 ,于是于是 ,|max.iki kTd 由于二重积分存在由于二重积分存在,由定理由定理21.4,当当|0T时时,使使
4、,ikkii kmyx,ikkii kMyx和和有相同的极限有相同的极限,且极限且极限 (,)d.Df x y|0T值等于值等于因此当因此当时时,由不等式由不等式 (2)可得可得:|01lim()(,)d.riiTiDFxf x y (3)|0T1max0,ii rx 由于当由于当 时时,必有必有因此由定积因此由定积 分定义分定义,(3)式左边式左边|01lim()()dd(,)d.rbbdiiaacTiFxF xxxf x yy(,)f x y,Da bc d 定理定理21.9 设设 在矩形区域在矩形区域 ,yc d(,)dbaf x yx上可积上可积,且对每个且对每个 积分积分存在存在,则
5、累次积分则累次积分 也存在也存在,且且 (,)dd(,)d.dbcaDf x yyf x yx 定理定理21.9的证明与定理的证明与定理21.8相仿相仿.(,)f x y,Da bc d 特别当特别当在矩形区域在矩形区域上连续上连续 时时,则有则有dc(,)dd(,)dd(,)d.bdbacaDf x yxf x yyyf x yx d(,)d(,)dddbdbcacayf x yxf x yyx 2()d,Dxy 0,1 0,1.D 例例1 计算计算 其中其中 解解 应用定理应用定理21.8(或定理或定理21.9),有有 11200(,)dd()dDf x yxxyy 3310(1)7d.3
6、36xxx对于一般区域对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进通常可以分解为如下两类区域来进 行计算行计算.称平面点集称平面点集12(,)|()(),(4)Dx yyxyyxaxb 为为x型区域型区域(图图21-5(a);称平面点集称平面点集12(,)|()(),(5)Dx yxyxxycyd 为为y型区域型区域(图图21-5(b).二、在 x 型或 y 型区域上二重积分的计算这些区域的特点是当这些区域的特点是当 D 为为 x 型区域时型区域时,垂直于垂直于 x 轴轴 的直线的直线00()xx axb 至多与区域至多与区域 D 的边界交于的边界交于 21 5 图图(a)x 型型区区域域Ox
7、cd(b)y 型型区区域域DyOxcdab2()yyx1()yyxDy两点两点;当当 D 为为 y 型区域时型区域时,直线直线 00()yy cyd 至至 多与多与 D 的边界交于两点的边界交于两点.定理定理21.10 若若 (,)f x y在如在如(4)式所示的式所示的 x 型区域型区域 D 12(),()yxyx,a b上连续上连续,其中其中 在在 上连续上连续,则则 21()()(,)dd(,)d.byxayxDf x yxf x yy 即二重积分可化为先对即二重积分可化为先对 y、后对后对 x 的累次积分的累次积分.1()yx2()yx,a b证证 由于由于 与与在闭区间在闭区间上连续
8、上连续,故存故存 在矩形区域在矩形区域 ,a bc dD (如图如图21-5(a).现作一现作一 定义在定义在 ,a bc d 上的函数上的函数 (,),(,),(,)0,(,).f x yx yDF x yx yD (,)F x y,a bc d 容易知道容易知道函数函数 在在 上可积上可积,而且而且 ,(,)d(,)dd(,)dbdacDa bc df x yF x yxF x yy 2211()()()()d(,)dd(,)d.byxbyxayxayxxF x yyxf x yy类似可证类似可证,若若 D 为为 (5)式所示的式所示的 y 型区域型区域,其中其中 1(),xy2()xy,
9、c d在在上连续上连续,则二重积分可化为先则二重积分可化为先 对对 x、后对后对 y 的累次积分的累次积分 21()()(,)dd(,)d.dxycxyDf x yyf x yx 0,x 例例2 设设 D 是由直线是由直线 1y yx 及及围成的区域围成的区域(图图21-6),试计算试计算:22edyDIx 的值的值.yxyx216 图图1DO解解 若用先对若用先对 y、后对后对 x 的积分的积分,则有则有 21120ded.yxIxxy由于由于 2ey 的原函数无法求得的原函数无法求得,因此改用另一种顺序因此改用另一种顺序 的累次积分来计算的累次积分来计算:2211230001deded3y
10、yyIyxxyy2110111ee.663ey 2221112200011d ee2 ed66yyyyyyy 例例3 计算二重积分计算二重积分d,D 其中其中D为由直线为由直线 2,yx 2xy 3xy 及及所围的所围的 三角形区域三角形区域(图图21-7).解解 当把当把 D 看作看作 x 型区域型区域 时时,相应的相应的 122,01,(),()23,12.xxxy xyxxx 217 图图Ox122yx 231D2Dy3xy 2xy 所以所以 1212230122dddddddxxxxDDDxyxy12012d3d22xxxxxx1222013333.442xxx例例4 求两个底面半径相
11、同的直交圆柱所围立体的体求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体 积积 V.解解 设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为两个圆柱方程为 222222.xyaxza 与与利用对称性利用对称性,只要求出在第一卦限只要求出在第一卦限(即即 0,0,xy 0z )部分部分(见第十章图见第十章图10-9)的体积的体积,然后再乘以然后再乘以8 即得所求的体积即得所求的体积.第一卦限部分的立体是一曲顶柱第一卦限部分的立体是一曲顶柱 所以它的体积为所以它的体积为 220,0.yaxxa D:22,zax底为底为四分之一圆域四分之一圆域 体体,曲顶为曲顶为 221d8DVax 22302()d.3a
12、axxa于是于是316.3Va 222200ddaaxxaxy三、在一般区域上二重积分的计算边界为分段光滑曲线的有界闭域边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解一般可把它分解 成有限个除边界外无公共成有限个除边界外无公共内点的内点的 x 型区域或型区域或 y 型区型区 域域.如图如图21-8 所示所示,D 被分被分 218 图图OxIIIIIIyD为为 x 型区域型区域,为为 y 型区域型区域.II解成三个区域解成三个区域,其中其中 、IIII22(,)24,(,)Dx yxxyxf x yD例例5 设设 为为 上的连续函数上的连续函数,试将二重积分试将二重积分 (,)d dDIf x y
13、x y化为不同顺序的累次积分化为不同顺序的累次积分.yx解解(1)先对先对积分积分,再对再对积分积分.221(,)24,02,Dx yxxyxxx123DDDD (见图见图21-9),其中其中 为此设为此设 Ox219 图图2D3D1Dy24222(,)42,02,Dx yxxyxxx 223(,)44,24.Dx yxxyxxx所以有所以有 222224220204d(,)dd(,)dxxxxxxxxIxf x yyxf x yy224424d(,)d.xxxxxf x yy xy(2)先对先对积分积分,再对再对积分积分.类似地有类似地有:1234,DGGGG (见图见图21-10)21 1
14、0 图图Ox2G3G1G4Gy122122224124d(,)dyyIyf x yx22124111d(,)dyyyf x yx22124224d(,)dyyyf x yx22111124d(,)dyyyf x yx例例6 计算计算1d d,4Dxyx y其中其中0,1 0,1.D 解解 记记 (见图见图 21-11)11(,)0,4Dx y xyD21(,)0.4Dx y xyD21 11 图图Ox11D2D14xy 1y则又有则又有 111(,)1,1,44Dx yyxx21110,0,1(,)0,1.444Dx yyxx 12111d d()d d()d d444DDDxyx yxyx
15、yxyx y111 41 41dd4xxxyy3131ln2ln26416641631ln2.32811 411d2432xxx1 401d42xx11 41d32xx1 4111 4001 4011dddd44xxxyyxxyy(2)若若(,)(,),fx yf x y 则则 1(,)d d2(,)d d,DDf x yx yf x yx y复习思考题 1.若可求面积的区域若可求面积的区域D满足条件满足条件:(,)(,),x yDx yD (,)f x yD又设又设在在上可积上可积.证明证明:(,)d d0;Df x yx y(1)若若(,)(,),fx yf x y 则则 (,)F u vD(1)在在上连续上连续;(,)f x yD(2)若若在在上连续上连续,求证求证:22(,).FFf x yx yy x (,)f x y,Da bc d2.设设是区域是区域上的可积函数上的可积函数.,(,),(,)(,)d d,x yDx yD F x yf u vu v其中其中,.x yDa xc y 求证求证:其中其中1(,)R.Dx y xD
