1、第第3讲讲 两角和与差及二倍两角和与差及二倍角的三角函数公式角的三角函数公式最新考纲1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.tan_tan_两角和与差的正切公式：1两角和与差的余弦、正弦、正切公式基础知识基础知识cos_cos+_ 两角和与差的余弦公式：coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossintantan1tantantantan1tantansin_sin+_ 两角和与差的正弦
2、公式：2 2两倍角公式两倍角公式sin2_cos2_tan2_2sincos22cossin22cos1212sin22tan1tan3公式的逆用、变形等基础知识基础知识4 4辅助角公式辅助角公式sincos_ab22sin()ab 1 sincos2 1 sin2 223 cos4 sin 5 tantansin222sincoscos2121 cos22tan()(1tantan)tanba其中 1 1 sin15()136262.2244122sin,13cos()_.653sin,(,),tan2_.52ABCD【例】已知是第三象限角，则已知则D125 32643 2222121()2
3、5tan22.5.2cos1.121tan 22.5.cos 15sin 15.sin75 cos7512sincos,sin2_.5113sincos,sincos,sin().32ABCD【例】下列各式的值为 的是已知则已知求B24255cos61tan24cos301sin150221(sincos)1 sin225 5972两式平方相加51sincos,sin2_.532sin,55sin()cos()tan().634 、已知则、已知是第四象限角，求、的值课堂练习：课堂练习：335sincos,sincos_.5 变式：已知则 3tan42tan181tan42 tan182 tan
4、72tan27tan72 tan27【例】求值：1tan 4218tan603tan 72271tan72 ttan27an72 tan27tan45 1tan72 tantan722tan2771tan72 tan2tan772 tan271 41 cos24 cos54sin24 sin54_2 sin347 cos148sin77 cos58_313cos15sin15_224 sin15sin75_【例】化简：cos(2454)cos77(sin58)sin77 cos58 sin(5877)2232sin60 cos15cos60 sin15sin(6015)22sin15cos15
5、2sin(1545)62cos403cos251 sin40【例】求值：2cos40cos25(sin20cos20)=cos40cos25|sin20cos20|=cos40cos25(cos20sin20)=22cos 20sin 20cos25(cos20sin20)=cos20sin20cos25=2cos(4520)cos25=2=11 sin20 cos10cos160 sin102 cos75sin751tan1531tan154 tan20tan403tan20 tan40cos103sin1021 cos80、求下列各式的值：、求值：课堂练习：课堂练习：难点突破难点突破1 1
6、拆角思想拆角思想 1 1tan3,tan5tan2_32sin 30,60150,cos_.5【例】已知，则已知则将所求角用已知角与特殊角来表示2()()47(30)3034 310 tan2tan解：3541 3 57 tantan1tantan3sin 30,60150,5解：coscos303034 31049030180cos 30,5 cos 30cos30sin 30sin30难点突破难点突破1 1拆角思想拆角思想 313cos()sin2_45【例】若，则将所求角用已知角与特殊角来表示22()24725sin 2sin2()24解：725 cos2()422cos()149212
7、5【规律方法规律方法】三角函数的给角求值问题，关键是把待三角函数的给角求值问题，关键是把待求角用已知角表示求角用已知角表示(拆角思想拆角思想)：已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差；差；已知角为一个时，待求角一般与已知角成已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关倍的关系系”或或“互余、互补互余、互补”的关系；的关系；特殊角为默认的已知角特殊角为默认的已知角.难点突破难点突破2 2已知值求角已知值求角53 102sin,cos510.【例】已知钝角、，且，求53 10(,)sin,cos2510 、，：且解2 510cos,sin510
8、求角，关键是通过求角的某一三角函数值，再通过角的范围来确定cos()coscossinsin2 53 10510()()510510 22(,)(,2)2由、，所以74难点突破难点突破2 2已知值求角已知值求角102 52sin,sin105.【例】已知锐角、，且，求102 5(0,)sin,sin2105、，且解：3 105cos,cos105求角，关键是通过求角的某一三角函数值，再通过角的范围来确定sin()sincoscossin1053 102 510510522(0,)(,)22 2 由、，所以4 难点突破难点突破2 2已知值求角已知值求角23tan,tan3 340(,0).2xx
9、【例】已知是方程的两个根，且，求角的大小求角，关键是通过求角的某一三角函数值，再通过角的范围来确定2tantan3 340,xx、是方程的解两个根：tantan3 3,tantan4,tantantan1tantan3 31 43(,0)(,0)2 由、，所以23【规律方法规律方法】三角函数求角问题，是通过求角的某一三角函数求角问题，是通过求角的某一三角函数值来求角，关键点是选取求哪一三角函数三角函数值来求角，关键点是选取求哪一三角函数.已知正切函数值，选正切函数；已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正、余弦函数；要先确定已知正、余弦函数值，选正、余弦函数；要先确定所求角的范围，
10、再选择在该范围内具有单调性的对应所求角的范围，再选择在该范围内具有单调性的对应三角函数求解三角函数求解.(0,)_(,)_(0,)2 22_.如：所求的角，选；所求的角，选；所求的角，选余弦余弦正弦正弦正、余弦均可正、余弦均可 11tan2,tan,tan_.742,45cos.11330coscos().27141tan22.、若则、设钝角的终边与单位圆交点的纵坐标为求、已知，求；求角 的大小课堂练习：课堂练习：难点突破难点突破3 3辅助角公式辅助角公式先将角统一，若能变形为同一个角正余弦的一次式，再利用辅助角公式 21.1()3sincos2()2cossin2.f xxxf xxx【例】
11、求下列函数的最值和周期；31()3sincos2sincos22f xxxxx解：2sin()6x22,2T最大值，最小值周期()cos21 sin2f xxx 解：222cos2sin2122xx2sin()14x2112,T最大值，最小值周期难点突破难点突破3 3辅助角公式辅助角公式先将角统一，若能变形为同一个角正余弦的一次式，再利用辅助角公式 2()4cos sin()1.61()2(),.6 4f xxxf xf xx【例】已知函数求的最小正周期；求在区间的最大值，并求出对应的 的值()4cos sin()16f xxx解：314cos(sincos)122xxx23sin22cos1
12、xx3sin2cos2xx2sin(2)6xT,6 4x 22,663x 2,626xx即时max()2f x难点突破难点突破3 3辅助角公式辅助角公式先将角统一，若能变形为同一个角正余弦的一次式，再利用辅助角公式3()sin2coscos.xf xxx【例】已知当时，函数取得最大值，求的值()sin2cosf xxx解：52 55(sincos)55xx5sin()x52 5cossin55其中，max()52xf x当时，2coscos()2sin 2 55 课堂练习：课堂练习：21()(sincos)cos2.1()2()0,.2f xxxxf xf x、已知函数求的最小正周期；求在区间
13、上的最大值和最小值【规律方法规律方法】在处理三角函数问题时，尽量做到三在处理三角函数问题时，尽量做到三个统一，即角的统一、函数名统一、次数统一，其个统一，即角的统一、函数名统一、次数统一，其中角的统一是第一位的合一变换与降次都是经常中角的统一是第一位的合一变换与降次都是经常使用的方法，合一变换的目的是把一个角的两个三使用的方法，合一变换的目的是把一个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数角函数的和转化为一个角的一个三角函数.降次的目降次的目的，一方面是把一个角变为原来的两倍，另一方面的，一方面是把一个角变为原来的两倍，另一方面是为了次数的统一是为了次数的统一三角函数求值的类型及方法三角
14、函数求值的类型及方法(1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于的三角函数值，解题关键在于“变角变角”，使其角相同或，使其角相同或具有某种关系具有某种关系(3)给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围
