1、经典奥数专题经典奥数专题 1 小升初小升初经典经典奥数专题奥数专题汇总汇总 2019 年年 6 月月 第一讲 行程问题 - 1 - 1.1 追及与相遇 - 2 - 1.2 环形路上的行程问题 - 10 - 1.3 稍复杂的问题 - 18 - 1.4 流水行程 . - 26 - 第二讲 和、差与倍数的应用题 - 27 - 2.1 和差问题 - 27 - 2.2 倍数问题 - 33 - 2.3 盈不足问题 - 38 - 第三讲 数论的方法技巧之一 . - 44 - 3.1 利用整数的各种表示法 - 45 - 3.2 枚举法 - 49 - 3.3 归纳法 - 53 - 第四讲 数论的方法技巧之二 .
2、 - 57 - 4.1 反证法 - 57 - 4.2 构造法 - 60 - 4.3 配对法 - 61 - 4.4 估计法 - 64 - 第五讲 整数问题之一 . - 66 - 经典奥数专题经典奥数专题 2 5.1 整除 - 66 - 5.2 分解质因数 - 75 - 5.3 余数 - 83 - 第六讲 图形面积 - 94 - 6.1 三角形的面积 - 95 - 6.2 有关正方形的问题 - 100 - 6.3 其他的面积 - 106 - 6.4 几种常见模型 .- 111 - 第七讲 工程问题 . - 116 - 7.1 两个人的问题 - 118 - 7.2 多人的工程问题 - 124 - 7
3、.3 水管问题 - 130 - 第八讲 比和比例关系 - 138 - 8.1 比和比的分配 - 138 - 8.2 比的变化 - 146 - 8.3 比例的其他问题 - 153 - 第九讲 经济问题 . - 161 - 第十讲 溶液问题 . - 168 - 第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算 - 175 - 11.1 四种常见几何体的平面展开图 - 175 - 11.2 四种常见几何体表面积与体积公式 . - 176 - 11.3 例题选讲 - 177 - 经典奥数专题经典奥数专题 3 第十二讲 循环小数化分数 . - 188 - 12.1 纯循环小数化分数 - 188 - 12.2 混
4、循环小数化分数 - 189 - 12.3 循环小数的四则运算 - 190 - 第十三讲 估计与估算 - 193 - 第十四讲 列方程解应用题 . - 204 - 14.1 列简易方程解应用题 - 204 - 14.2 引入参数列方程解应用题 - 210 - 14.3 列不定方程解应用题 - 213 - 第十五讲 巧算技巧 . - 217 - 第十六讲 鸡兔同笼与假设法 . - 221 - 第十七讲 牛吃草问题 - 227 - 第十八讲 年龄问题 . - 242 - 第十九讲 剩余、余数定理 . - 250 - 第二十讲 周期问题 . - 260 - 第二十讲 还原问题 . - 291 - 第二
5、十一讲 盈亏问题 - 300 - 第二十二讲 抽屉问题 - 332 - 22.1 抽屉原理 1 . - 332 - 22.2 抽屉原理 2 . - 338 - 第二十三讲 分数拆分 . - 343 - 23.1 拆成两个分数单位 - 343 - 经典奥数专题经典奥数专题 4 23.2 拆成几个分数的和 - 346 - 23.3 拆成两个分数差 - 347 - 23.4 应用 - 350 - 第二十四讲 找次品、打电话 - 356 - 24.1 找次品 . - 356 - 24.2 打电话 - 357 - 经典奥数专题经典奥数专题 - 1 - 第一讲第一讲 行程问题行程问题 走路、 行车、 一个
6、物体的移动， 总是要涉及到三个数量： 距离走了多远， 行驶多少千米， 移动了多少米等等； 速度在单位时间内（例如 1 小时内）行走或移动的 距离； 时间行走或移动所花时间. 这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度时间 很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三 个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学 的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如 总量=每个人的数量人数. 工作量=工作效率时间. 因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关 系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题. 当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中， 行程问题的内容最
7、丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而 且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此， 我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的 思考方法和处理技巧. 这一讲，用 5 千米/小时表示速度是每小时 5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒 3 米 经典奥数专题经典奥数专题 - 2 - 1.11.1 追及与相遇追及与相遇 有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走 得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生 了追及问题.实质上，要算走得快的人在某一段时间内， 比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差. 如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内， 甲走的距离-
8、乙走的距离 = 甲的速度时间-乙的速度时间 =（甲的速度-乙的速度）时间. 通常，追及问题要考虑速度差. 例例 1 1 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米， 小轿 车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比 面包车早 10 分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车 已离城门 9 千米，问学校到城门的距离是多少千米？ 解：解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少 时间. 此时，小轿车比面包车多走了 9 千米，而小轿车与面包 车的速度差是 6 千米/小时，因此 所用时间=961.5（小时）. 小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，面包车到达时， 小轿车离城门 9 千米，说
9、明小轿车的速度是 经典奥数专题经典奥数专题 - 3 - 面包车速度是 54-648（千米/小时）. 城门离学校的距离是 481.572（千米）. 答：学校到城门的距离是 72 千米. 例例 2 2 小张从家到公园， 原打算每分种走 50 米.为了提早 10分钟到， 他把速度加快， 每分钟走75米.问家到公园多远？ 解一：解一：可以作为追及问题处理. 假设另有一人，比小张早 10 分钟出发.考虑小张以 75 米/分钟速度去追赶，追上所需时间是 50 10（75- 50） 20（分钟） 因此，小张走的距离是 75 20 1500（米）. 答：从家到公园的距离是 1500 米. 还有一种不少人采用的
10、方法. 家到公园的距离是 一种解法好不好，首先是易于思考，其次是计算 方便.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比 较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路. 经典奥数专题经典奥数专题 - 4 - 例例 3 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进， 有一辆汽车 要去追赶.如果速度是 30 千米/小时，要 1 小时才能追上； 如果速度是 35 千米/小时，要 40 分钟才能追上.问自行车 的速度是多少？ 解一：解一：自行车 1 小时走了 301-已超前距离， 自行车 40 分钟走了 自行车多走 20 分钟，走了 因此，自行车的速度是 答：自行车速度是 20 千米/小时. 解二：解二：因为追上所
11、需时间=追上距离速度差 1 小时与 40 分钟是 32.所以两者的速度差之比是 2 3.请看下面示意图： 马上可看出前一速度差是 15.自行车速度是 35- 15 20（千米/小时）. 经典奥数专题经典奥数专题 - 5 - 解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解 法的好处是，想清楚后，非常便于心算. 例例 4 4 上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟 后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他. 然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小 明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？ 解：解：画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次
12、追上到第二次追上，小明 走了 8-44（千米）. 而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸 可以骑行 8324（千米）. 但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 41216（千米）. 少骑行 24-168（千米）. 摩托车的速度是 1 千米/分，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟. 881632. 经典奥数专题经典奥数专题 - 6 - 答：这时是 8 点 32 分. 下面讲相遇问题. 小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相 遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如
13、 果两人同时出发，那么 甲走的距离+乙走的距离 =甲的速度时间+乙的速度时间 =（甲的速度+乙的速度）时间. 相遇问题，常常要考虑两人的速度和. 例例 5 5 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行 车从乙地到甲地需要 12 分钟.他们同时出发，几分钟后两人 相遇？ 解：解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间 的 36123 （倍） ， 因此自行车的速度是步行速度的 3 倍， 也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走 的距离的 3 倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的 4 段， 小王走了 3 段，小张走了 1 段，小张花费的时间是 36（31）9（分钟）. 答
14、：两人在 9 分钟后相遇. 例例 6 6 小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙 地到甲地， 每小时步行 4 千米.两人同时出发， 然后在离甲、 乙两地的中点 1 千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离. 经典奥数专题经典奥数专题 - 7 - 解：画一张示意图解：画一张示意图 离中点 1 千米的地方是 A 点，从图上可以看出，小张走 了两地距离的一半多 1 千米，小王走了两地距离的一半少 1 千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2 千米 小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所 用的时间是 2（5-4）2（小时）. 因此，甲、乙两地的距离是 （5 4）218（千米）. 本题
15、表面的现象是相遇，实质上却要考虑小张比 小王多走多少？岂不是有追及的特点吗？对小学的应 用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本 质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条 件好好想一想.千万不要两人面对面就是相遇，两 人一前一后就是追及. 请再看一个例子. 例例 7 7 甲、 乙两车分别从 A， B 两地同时出发， 相向而行， 6 小时后相遇于 C 点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地 点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 经典奥数专题经典奥数专题 - 8 - 千米，且两车还从 A，
16、B 两地同时出发相向而行，则相遇地 点距 C 点 16 千米.求 A，B 两地距离. 解：解：先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于 D 点， 甲加速后与乙相遇于 E 点. 同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速， 还是乙加速，它们的速度和比原来都增加 5 千米，因此，不 论在 D 点相遇，还是在 E 点相遇，所用时间是一样的，这是 解决本题的关键. 下面的考虑重点转向速度差. 在同样的时间内，甲如果加速，就到 E 点，而不加速， 只能到 D 点.这两点距离是 12 16 28（千米），加速与 不加速所形成的速度差是 5 千米/小时.因此，在 D 点 （或 E 点）相遇所用时
17、间是 285 5.6（小时）. 比 C 点相遇少用 6-5.60.4（小时）. 甲到达 D，和到达 C 点速度是一样的，少用 0.4 小时， 少走 12 千米，因此甲的速度是 120.430（千米/小时）. 同样道理，乙的速度是 160.440（千米/小时）. A 到 B 距离是（30 40）6 420（千米）. 经典奥数专题经典奥数专题 - 9 - 答： A，B 两地距离是 420 千米. 很明显，例 7 不能简单地说成是相遇问题. 例例 8 8 如图，从 A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千 米平路，从 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小张和小王步行，下 坡的速度
18、都是 6 千米/小时，平路速度都是 4 千米/小时，上 坡速度都是 2 千米/小时. 问：（1）小张和小王分别从 A， D 同时出发，相向而 行，问多少时间后他们相遇？ （2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点 时，另一人离终点还有多少千米？ 解：解： （1） 小张从 A 到 B 需要 1660 10 （分钟） ； 小王从 D 到 C 也是下坡，需要 2.5660 25（分钟）； 当小王到达 C 点时， 小张已在平路上走了 25-1015 （分钟） ， 走了 因此在 B 与 C 之间平路上留下 3- 1 2（千米）由小 张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是 2 （4 4）60 1
19、5（分钟）. 从出发到相遇的时间是 25 15 40 （分钟）. 经典奥数专题经典奥数专题 - 10 - （2）相遇后，小王再走 30 分钟平路，到达 B 点，从 B 点到 A 点需要走 1260=30 分钟， 即他再走 60 分钟到达 终点. 小张走 15 分钟平路到达 D 点，45 分钟可走 小张离终点还有 2.5-1.5=1（千米）. 答：40 分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张 离终点还有 1 千米. 1 1.2.2 环形路上的行程问题环形路上的行程问题 人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长 有关. 例例 9 9 小张和小王各以一定速度， 在周长为 500 米的环形
20、 跑道上跑步.小王的速度是 180 米/分. （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？ （2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步， 小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 解：解：（1 ）75 秒-1.25 分.两人相遇，也就是合起来跑 了一个周长的行程.小张的速度是 5001.25-180=220（米/分）. 经典奥数专题经典奥数专题 - 11 - （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比 小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是 500（220-180）12.5（分）. 22012.55005.5（圈）. 答：（1）小张的
21、速度是 220 米/分；（2）小张跑 5.5 圈后才能追上小王. 例例 10 10 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小 王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆 的周长. 解：解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相 遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起 来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程 是第一次相遇时合起来所走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的 距离，应该是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是 803240（米）.
22、 240-60=180（米）. 1802360（米）. 答：这个圆的周长是 360 米. 经典奥数专题经典奥数专题 - 12 - 在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极 为类似，因此也归入这一节. 例例 11 11 甲村、乙村相距 6 千米，小张与小王分别从甲、 乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马 上返回）.在出发后 40 分钟两人第一次相遇.小王到达甲村 后返回，在离甲村 2 千米的地方两人第二次相遇.问小张和 小王的速度各是多少？ 解：解：画示意图如下： 如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第 二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的 3 倍，因此所
23、需时间是 403602（小时）. 从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了 62-210（千米）. 小王已走了 62=8（千米）. 因此，他们的速度分别是 小张 1025（千米/小时）， 小王 82=4（千米/小时）. 经典奥数专题经典奥数专题 - 13 - 答：小张和小王的速度分别是 5 千米/小时和 4 千米/小 时. 例例 1212 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村 之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇， 在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他 们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？ 解：解：画示意图如下. 第二次相遇两
24、人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因 此张走了 3.5310.5（千米）. 从图上可看出， 第二次相遇处离乙村 2 千米.因此， 甲、 乙两村距离是 10.5-28.5（千米）. 每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍 的路程.第四次相遇时， 两人已共同走了两村距离 （322） 倍的行程.其中张走了 3.5724.5（千米）， 24.5=8.58.57.5（千米）. 就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1（千米）. 经典奥数专题经典奥数专题 - 14 - 答：第四次相遇地点离乙村 1 千米. 下面仍回到环行路上的问题. 例例 13 13 绕湖一周是 24 千米， 小张
25、和小王从湖边某一地点 同时出发反向而行.小王以 4 千米/小时速度每走 1 小时后休 息 5 分钟；小张以 6 千米/小时速度每走 50 分钟后休息 10 分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？ 解：解：小张的速度是 6 千米/小时，50 分钟走 5 千米我们 可以把他们出发后时间与行程列出下表： 121527 比 24 大，从表上可以看出，他们相遇在出 发后 2 小时 10 分至 3 小时 15 分之间. 出发后 2 小时 10 分小张已走了 此时两人相距 24-（811）=5（千米）. 由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这 5 千 米所需时间是 5（46）0.5（小时）. 2 小时
26、 10 分再加上半小时是 2 小时 40 分. 答：他们相遇时是出发后 2 小时 40 分. 经典奥数专题经典奥数专题 - 15 - 例例 14 14 一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等 分，3 只爬虫 A，B，C 分别在这 3 个点上.它们同时出发，按 顺时针方向沿着圆周爬行.A 的速度是 10 厘米/秒，B 的速度 是 5 厘米/秒，C 的速度是 3 厘米/秒，3 只 爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？ 解：解：先考虑 B 与 C 这两只爬虫，什么时候能到达同一位 置.开始时，它们相差 30 厘米，每秒钟 B 能追上 C（5-3）厘 米 0. 30（5-3）15（秒）.
27、 因此 15 秒后 B 与 C 到达同一位置.以后再要到达同一位 置，B 要追上 C 一圈，也就是追上 90 厘米，需要 90（5-3）45（秒）. B 与 C 到达同一位置，出发后的秒数是 15，105，150，195， 再看看 A 与 B 什么时候到达同一位置. 第一次是出发后 30（10-5）=6（秒）， 以后再要到达同一位置是 A 追上 B 一圈.需要 90（10-5）18（秒）， 经典奥数专题经典奥数专题 - 16 - A 与 B 到达同一位置，出发后的秒数是 6，24，42，78，96， 对照两行列出的秒数，就知道出发后 60 秒 3 只爬虫到 达同一位置. 答：3 只爬虫出发后
28、60 秒第一次爬到同一位置. 请思考， 3 只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少 秒？ 例例 15 15 图上正方形 ABCD 是一条环形公路.已知汽车在 AB 上的速度是90千米/小时， 在BC上的速度是120千米/小时， 在 CD 上的速度是 60 千米/小时，在 DA 上的速度是 80 千米/ 小时.从 CD 上一点 P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 中点相遇.如果从 PC 中点 M，同时反向各发出一辆汽车， 它们将在 AB 上一点 N 处相遇.求 解：解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题 中有两个相遇，解题过程就是时间的计算.要计算方便， 取什么作计算单位是很重要
29、的. 设汽车行驶 CD 所需时间是 1. 根据走同样距离，时间与速度成反比，可得出 经典奥数专题经典奥数专题 - 17 - 分数计算总不太方便， 把这些所需时间都乘以 24.这样， 汽车行驶 CD，BC，AB，AD 所需时间分别是 24，12，16，18. 从 P 点同时反向各发一辆车，它们在 AB 中点相遇.PD A 与 PCB 所用时间相等. PC 上所需时间-PD 上所需时间 =DA 所需时间-CB 所需时间 =18-12 =6. 而（PC 上所需时间+PD 上所需时间）是 CD 上所需时间 24.根据和差计算得 PC 上所需时间是（24+6）215， PD 上所需时间是 24-159.
30、 现在两辆汽车从 M 点同时出发反向而行，MPDA N 与 MCBN 所用时间相等.M 是 PC 中点.PDAN 与 CBN 时间相等，就有 BN 上所需时间-AN 上所需时间 =PDA 所需时间-CB 所需时间 =（918）-12 = 15. 经典奥数专题经典奥数专题 - 18 - BN 上所需时间+AN 上所需时间=AB 上所需时间 =16. 立即可求 BN 上所需时间是 15.5，AN 所需时间是 0.5. 从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理， 会使问题变得简单些. 1 1.3.3 稍复杂的问题稍复杂的问题 在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧： （1）在行程中能设置一
31、个解题需要的点； （2）灵活地运用比例. 例例 16 16 小王的步行速度是 4.8 千米/小时， 小张的步行速 度是 5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行 车的速度是 10.8 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同 时出发，在小张与小李相遇后 5 分钟，小王又与小李相遇. 问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 解：解：画一张示意图： 图中 A 点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个 B 点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与 经典奥数专题经典奥数专题 - 19 - 小李相遇，也就是 5 分钟的时间，小王和小李共同走了 B 与 A 之间这段距离，它
32、等于 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小 张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段 距离，需要的时间是 1.3（5.4-4.8）60=130（分钟）. 这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速 度 10.8 千米/小时是小张速度 5.4 千米/小时的 2 倍.因此小 李从 A 到甲地需要 1302=65（分钟）. 从乙地到甲地需要的时间是 13065=195（分钟）3 小时 15 分. 答：小李从乙地到甲地需要 3 小时 15 分. 上面的问题有 3 个人，既有相遇，又有追及， 思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而 解了.在图中设置一个
33、 B 点，使我们的思考直观简明些. 例例 17 17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去 某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐： 是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公 园门口步行向东去快？姐姐算了一下说：如果骑车与步 行的速度比是 41，那么从公园门口到目的地的距离超过 2 经典奥数专题经典奥数专题 - 20 - 千米时，回家取车才合算.请推算一下，从公园到他们家 的距离是多少米？ 解：解：先画一张示意图 设 A 是离公园 2 千米处，设置一个 B 点，公园离 B 与公 园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时 间，就能往东走到 B 点.现在问题
34、就转变成： 骑车从家开始，步行从 B 点开始，骑车追步行，能在 A 点或更远处追上步行. 具体计算如下： 不妨设 B 到 A 的距离为 1 个单位，因为骑车速度是步行 速度的 4 倍，所以从家到 A 的距离是 4 个单位，从家到 B 的 距离是 3 个单位.公园到 B 是 1.5 个单位.从公园到 A 是 11.52.5（单位）. 每个单位是 20002.5800（米）. 因此，从公园到家的距离是 8001.51200（米）. 答：从公园门口到他们家的距离是 1200 米. 这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者 仿照采用的.请再看一例. 例例 18 18 快车和慢车分别从 A， B
35、 两地同时开出， 相向而行. 经过 5 小时两车相遇.已知慢车从 B 到 A 用了 12.5 小时，慢 经典奥数专题经典奥数专题 - 21 - 车到 A 停留半小时后返回.快车到 B 停留 1 小时后返回.问： 两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？ 解：解：画一张示意图： 设 C 点是第一次相遇处.慢车从 B 到 C 用了 5 小时， 从 C 到 A 用了 12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为 1 个单位.B 到 C10 个单位，C 到 A15 个单位.慢车每小时走 2 个单位，快车每小时走 3 个单位. 有了上面取单位准备后，下面很易计算了. 慢车从 C 到 A，再加停留
36、半小时，共 8 小时.此时快车在 何处呢？去掉它在 B 停留 1 小时.快车行驶 7 小时， 共行驶 3 7=21 （单位） .从 B 到 C 再往前一个单位到 D 点.离 A 点 15-1 14（单位）. 现在慢车从 A，快车从 D，同时出发共同行走 14 单位， 相遇所需时间是 14（23）2.8（小时）. 慢车从 C 到 A 返回行驶至与快车相遇共用了 7.50.52.810.8（小时）. 答：从第一相遇到再相遇共需 10 小时 48 分. 例例 1919 一只小船从 A 地到 B地往返一次共用 2 小时.回来 时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时 比第一小时多行驶
37、6 千米.求 A 至 B 两地距离. 经典奥数专题经典奥数专题 - 22 - 解：解：1 小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小 船到达不了 B 地.我们在 B 之前设置一个 C 点，是小船逆水 行驶 1 小时到达处.如下图 第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是 C 至 B 距离 的 2 倍，它等于 6 千米，就知 C 至 B 是 3 千米. 为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶 8 千米， 在图中再设置 D 点， D 至 C 是 8 千米.也就是 D 至 A 顺水行驶 时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶， 与 C 至 B 逆水行驶 3 千米时间一样多.因此 顺
38、水速度逆水速度=53. 由于两者速度差是 8 千米.立即可得出 A 至 B 距离是 123=15（千米）. 答：A 至 B 两地距离是 15 千米. 例例 20 20 从甲市到乙市有一条公路， 它分成三段.在第一段 上，汽车速度是每小时 40 千米，在第二段上，汽车速度是 每小时 90 千米，在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米. 已知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍.现有两辆汽车分 别从甲、乙两市同时出发，相向而行。 1 小时 20 分后， 在 经典奥数专题经典奥数专题 - 23 - 第二段的 解一：解一：画出如下示意图： 当从乙城出发的汽车走完第三段到 C 时，从甲城出发的 汽车走
39、完第一段的 到达 D 处，这样，D 把第一段分成两部分 时 20 分相当于 因此就知道，汽车在第一段需要 第二段需要 30390（分钟）； 甲、乙两市距离是 答：甲、乙两市相距 185 千米. 经典奥数专题经典奥数专题 - 24 - 把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车 逐段所用时间都相应地一样.这样通过所用时间使各段 之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例 8、 例 13 也是 类似思路，仅仅是问题简单些. 还可以用比例分配方法求出各段所用时间. 第一段所用时间第三段所用时间=52. 时间一样. 第一段所用时间第二段所用时间=59. 因此，三段路程所用时间的比是 592. 汽
40、车走完全程所用时间是 802160（分种）. 例例 21 21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高 20，可 以比原定时间提前一小时到达； 如果以原速行驶 120 千米后， 再将速度提高 25，则可提前 40 分钟到达.那么甲、乙两地 相距多少千米？ 解：解：设原速度是 1. 经典奥数专题经典奥数专题 - 25 - 后，所用时间缩短到原时间的 这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比. 用原速行驶需要 同样道理，车速提高 25，所用时间缩短到原来的 如果一开始就加速 25，可少时间 现在只少了 40 分钟， 72-4032（分钟）. 说明有一段路程未加速而没有少这个 32 分钟，它应是 这段
41、路程所用时间 真巧，320-160160（分钟），原速的行程与加速的行 程所用时间一样.因此全程长 答：甲、乙两地相距 270 千米. 十分有意思，按原速行驶 120 千米，这一条件只在最后 用上.事实上，其他条件已完全确定了原速与加速 经典奥数专题经典奥数专题 - 26 - 两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关 系. 全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为 x，就有 x1207232. 1.4 流水行程流水行程 流水问题：顺水行程=（船速+水速） 顺水时间 逆水行程=（船速-水速） 逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=（顺水速度+逆水速度） 2 水
42、 速=（顺水速度-逆水速度） 2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、时间（相遇 时间、追及时间） 、速度（速度和、速度差）中任意两个量， 求第三个量。 经典奥数专题经典奥数专题 - 27 - 第二讲第二讲 和、差与倍数的应用题和、差与倍数的应用题 做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算， 而且要 多思考，善于发现题目中的数量关系，可以说做应 用题是运用数学的开始. 加、减、乘是最基本的运算，和、差、倍数是两数之间 最简单的数量关系. 2.12.1
43、 和差问题和差问题 说到和差问题，小学高年级的同学，人人都会说： 我会！和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的 和与差，求两数，有计算公式： 大数=（和+差）2 小数=（和-差）2 会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问 题来算. 先看几个简单的例子. 例 1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得 分是 95 分，数学比语文多得 8 分，张明这两门功课的成绩 各是多少分？ 解：95 乘以 2，就是数学与语文两门得分之和，又知道 数学与语文得分之差是 8.因此 经典奥数专题经典奥数专题 - 28 - 数学得分=（9528）299. 语文得分=(952-8）2 91. 答：张
44、明数学得 99 分，语文得 91 分. 注：也可以从 952-9991 求出语文得分. 例 2 有 A，B，C 三个数，A 加 B 等于 252，B 加 C 等 于 197， C 加 A 等于 149，求这三个数. 解：从 B+C197 与 A+C149，就知道 B 与 A 的差是 197-149，题目又告诉我们，B 与 A 之和是 252.因此 B=（252 197-149） 2 150， A252-150102， C149-10247. 答：A，B，C 三数分别是 102，150，47. 注：还有一种更简单的方法 （A+B）（BC）（CA）2（ABC）. 上面式子说明，三数相加再除以 2，
45、就是三数之和. ABC（252197149）2299.因此 C299-25247， B299-149150， A299-197102. 例 3 甲、乙两筐共装苹果 75 千克，从甲筐取出 5 千克 苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多 7 千克.甲、乙两筐 原各有苹果多少千克？ 经典奥数专题经典奥数专题 - 29 - 解：画一张简单的示意图， 就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多 57 5 17（千克） 因此，甲、乙两数之和是 75，差为 17. 甲筐苹果数=（7517）2 46（千克）. 乙筐苹果数=75-4629（千克）. 答：原来甲筐有苹果 46 千克，乙筐有苹果 29 千克. 例4 张强用2
46、70元买了一件外衣， 一顶帽子和一双鞋子. 外衣比鞋贵 140 元，买外衣和鞋比帽子多花 210 元，张强买 这双鞋花多少钱？ 解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格 和是 270 元，差是 210 元. 外衣和鞋价之和=（270 210）2 240（元）. 外衣价与鞋价之差是 140，因此 鞋价=（240-140）250（元）. 答：买这双鞋花 50 元. 再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那 样计算，那么就可以说，和差问题的解法，你已能灵活 运用了. 例 5 李叔叔要在下午 3 点钟上班， 他估计快到上班时间 了，到屋里看钟，可是钟早在 12 点 10 分就停了.他开
47、足发 经典奥数专题经典奥数专题 - 30 - 条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还 有 10 分钟.夜里 11 点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一 看钟才 9 点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同， 那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？ 解： 到厂时看钟是 2 点 50 分， 离家看钟是 12 点 10 分， 相差 2 小时 40 分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一 起产生的.就有 钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）. 晚上下班时，厂里钟是 11 点，到家看钟是 9 点，相差 2 小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上 所用时间抵
48、消了. 因此 钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）. 现在已把问题转化成标准的和差问题了. 钟停的时间=（160120） 2 140（分钟）. 路上用的时间=160-14020（ 分钟）. 答：李叔叔的钟停了 2 小时 20 分. 还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间： 以李叔叔家的钟计算，他在 12 点 10 分出门，晚上 9 点 到家，在外共 8 小时 50 分钟，其中 8 小时上班，10 分钟等 待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以 经典奥数专题经典奥数专题 - 31 - 上班路上所用时间=（8 小时 50 分钟-8 小时-10 分钟） 220（分钟）. 钟停时间=2 小时 40 分钟-20 分钟 =2 小时 20 分钟. 例 6 小明用 21.4 元去买两种贺卡，甲卡每张 1.5 元， 乙卡每张 0.7 元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作 乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明 3.2 元. 问小明买甲、乙卡各几张？ 解：甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7 0. 8（元），售 货员错找还小明 3.2 元，就知小明买的甲卡比乙卡多 3.2 0.84（张）. 现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问 题就解决了.如何求呢？请注意 1.5甲卡张数+0.7乙卡
