1、第二十五章第二十五章 图形的相似图形的相似25.6 25.6 相似三角形的应用相似三角形的应用1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u利用光照下的影子利用光照下的影子u利用工具利用工具u利用镜子反射利用镜子反射埃及金字塔到底有多高埃及金字塔到底有多高?据史料记载：古希腊科学据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了金字塔的高度你知道他是怎样线下形成的影子测出了金字塔的高度你知道他是怎样测量的吗测量的吗?今天我们就利用这些知识测量一些不能直接今天我们就
2、利用这些知识测量一些不能直接测量的物体的高度吧！测量的物体的高度吧！1知识点知识点利用光照下的影子利用光照下的影子知知1 1导导对于学校里旗杆的高度，我对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的但是们是无法直接进行测量的但是我们可以根据相似三角形的知识，我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度结合下面图形测出旗杆的高度结合下面图形大家思考如何求出高度？大家思考如何求出高度？知知1 1导导 利用阳光下的影子测高：利用阳光下的影子测高：(1)构造相似三角形，如图，构造相似三角形，如图，(2)测量数据：测量数据：AB(身高身高)，BC(人影长人影长)，BE(旗杆影长旗杆影长)；待求数据：待求
3、数据：DE(旗杆高旗杆高)(3)计算理由：因为计算理由：因为ACDB(平行光平行光)，所以，所以ACBDBE.因为因为ABCDEB90(直立即为垂直直立即为垂直)，所以所以ABCDEB，有，有.ABBCAB BEDEDEBEBC，知知1 1讲讲 1.测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长如同一时刻，物高与影长)来解决常见的测量方式有四种，如图所示来解决常见的测量方式有四种，如图所示知知1 1讲讲 2.要点精析：要点精析：(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移由于
4、太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化因此，测量影子的长一定要在同一动而发生变化因此，测量影子的长一定要在同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性时刻下进行，否则就会影响结果的准确性(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光线近似地看太阳离我们非常远，因此可以把太阳光线近似地看成平行光线成平行光线(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高被测物体的影长，从而计算不出物体的高知知1 1讲讲如何测量旗杆的高度，说明具体过程及原理如何测量旗杆的高度，说明具体过程及原理具体过程：具体过程：(1)依据同一
5、时刻，物体的高度与其影长成比例依据同一时刻，物体的高度与其影长成比例(2)测量如图，让一名身高为测量如图，让一名身高为h的同学恰好站在旗的同学恰好站在旗杆的影子的顶端，然后测量该同学的影长杆的影子的顶端，然后测量该同学的影长l1，同，同时测量旗杆的影长时测量旗杆的影长l2.例例1 解：解：知知1 1讲讲 (3)计算计算太阳光线是平行光线，太阳光线是平行光线，ABCD，ABCDCE.ACBDEC90，ACBDEC，ACh，BCl1，ECl2，.ACBCDEEC 21.hlAC ECDEBCl 总总 结结知知1 1讲讲利用影长测量不能直接测量的物高利用影长测量不能直接测量的物高(可到底部可到底部)
6、的的方法：利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，方法：利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高人影来计算出物高 知知1 1练练1【中考中考陕西陕西】小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：计了一种测
7、量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相等，的影子重叠，且高度恰好相等，此时，测得小明落在墙上的影子此时，测得小明落在墙上的影子高度高度CD1.2m，CE0.8m，CA30m(点点A，E，C在同一条直线在同一条直线上上)已知小明的身高已知小明的身高EF是是1.7m，请你帮小明求出楼高，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到结果精确到0.1m)知知1 1练练 2如图，身高为如图，身高为1.6m的某学生想测量学校旗杆的高度，的某学生
8、想测量学校旗杆的高度，当他站在当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得的影子重合，并测得AC2.0m，BC8.0m，则旗，则旗杆的高度是杆的高度是()A6.4mB7.0mC8.0mD9.0m2知识点知识点利用工具利用工具知知2 2导导问题问题小明想利用树影测量树高，他小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为在某一时刻测得长为1m的竹竿影长的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如下图，他先测得留在墙上的
9、影高影子在墙上，如下图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少，他求得的树高是多少?知知2 2导导过点过点C作作CEAB于点于点E，因此，因此BECD1.2m，CEBD2.7 m，由，由 可得可得AE3 m，所以，所以ABAEBE1.234.2 m.这棵树的高度为这棵树的高度为4.2 m.1,2.70.9AE 分析：分析：答案：答案：知知2 2讲讲1.与测量有关的概念：与测量有关的概念：(1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点视点：观察物体时人的眼睛称为视点.(2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物仰角：测量物体的高度时，水平视
10、线与观察物 体的体的视线间的夹称为仰角视线间的夹称为仰角.(3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区盲区：人的视线看不到的区域称为盲区.2.测量原理：用标杆和直尺作为三角形的边，利用视点测量原理：用标杆和直尺作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构造相似三角形和盲区的知识构造相似三角形.知知2 2讲讲3.测量方法：如图，观察者的眼睛测量方法：如图，观察者的眼睛C必必须与标杆的顶端须与标杆的顶端 D 和物体的顶端和物体的顶端 A“三点共线三点共线”，标杆与地面要垂直，标杆与地面要垂直，测量出标杆的高度测量出标杆的高度DF，人眼离地面的高度，人眼离地面的高度CE，人与，人与标杆的距离标杆的距离EF，标
11、杆与物体的距，标杆与物体的距FG，利用相似三角，利用相似三角形形“对应边的比相等对应边的比相等”的性质求物体的高度的性质求物体的高度AG.要点精析：利用标杆测量物体的高度也叫目测，在日常要点精析：利用标杆测量物体的高度也叫目测，在日常生活中有着广泛的应用，必要时可生活中有着广泛的应用，必要时可 以用自己的身高和以用自己的身高和臂长等作为测量工具臂长等作为测量工具.知知2 2讲讲如图，左、右并排的两棵大树的高分别为如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB8m和和CD12 m，两树底部的距离，两树底部的距离BD5 m，一个人估，一个人估计自己眼睛距地面计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树
12、的一她沿着正对这两棵树的一条水平直路条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了了?例例2 知知2 2讲讲分析：分析：如图如图(1)，设观察者眼睛的位置为点，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察，画出观察者的水平视线者的水平视线FG，分别交，分别交AB,CD于点于点H，K.视视线线FA与与FG的夹角的夹角AFH是观察点是观察点A时的仰角时的仰角.类类似地，似地，CFK是观察点是观察点C时的仰角时的仰角.由于树的遮挡，由于树的遮挡，区域区域I和和II，观察者都看不到，观察者都
13、看不到.如图如图(2)，假设观察者从左向右走到点，假设观察者从左向右走到点E时，她的时，她的眼睛的位置点眼睛的位置点E与两棵树的顶端与两棵树的顶端A，C恰在一条直恰在一条直线上线上.解：解：知知2 2讲讲ABl，CD l，ABCD.AEHCEK.即即解得解得 EH8m.由此可知，如果观察者继续前进，当她与左由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于边的树的距离小于8 m时，由时，由 于这棵树的遮挡，于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端她看不到右边树的顶端C.,EHAHEKCK 81.66.4.5121.610.4EHEH 总总 结结知知2 2讲讲测量高度和距离时，往往需要建立几何模
14、型构造测量高度和距离时，往往需要建立几何模型构造相似三角形，利用相似三角形的性质直接求解或列方相似三角形，利用相似三角形的性质直接求解或列方程求解程求解 知知2 2练练1如图，为测量电视塔如图，为测量电视塔AB的高度的高度(包括台阶高包括台阶高)，小亮，小亮在他与电视塔之间竖立一根在他与电视塔之间竖立一根5m高的标杆高的标杆(即即CE)，当，当他距标杆他距标杆2m时时(即点即点D处），塔尖处），塔尖A、标杆的顶端、标杆的顶端E与小亮的眼睛与小亮的眼睛F恰好在一条恰好在一条直线上直线上.已知小亮的眼睛距已知小亮的眼睛距地面的高度是地面的高度是1.6m，标杆与，标杆与电视塔之间的距离是电视塔之间的
15、距离是108 m.求电视塔的高度求电视塔的高度.知知2 2练练2 【中考中考吉林吉林】如图，利用标杆如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，测量建筑物的高度，标杆标杆BE高高1.5m，测得，测得AB2m，BC14m，则楼高，则楼高CD为为_ 3知识点知识点利用镜子反射利用镜子反射知知3 3导导问题问题若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗度吗?知知3 3导导用镜面反射用镜面反射(如下图，点如下图，点A是个小镜子，根据光是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形)根据光的反射定律由入
16、射角等于反射角构造根据光的反射定律由入射角等于反射角构造AOB与与AFE相似，即可利用对应边的比相等求出相似，即可利用对应边的比相等求出BO.分析：分析：知知3 3讲讲利用相似三角形测量的一般步骤：利用相似三角形测量的一般步骤：利用相似三角形的知识对未知量利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等高度、宽度等)进行测进行测量，一般要经历以下几个步骤：量，一般要经历以下几个步骤：(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；利用平行线、标杆等构造相似三角形；(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长以及另外任测量与表示未知量的线段相对应的边长以及另外任意一组对应边的长度；意一组对应边的长度；(3)画出示
17、意图，利用相似三角形的性质，列出以上包画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；(4)检验并得出答案检验并得出答案 知知3 3讲讲如图所示，小丽为了测量高楼如图所示，小丽为了测量高楼MN的高度，在离的高度，在离N点点20m的的A处放了一个平面镜，小丽沿处放了一个平面镜，小丽沿NA方向向后退方向向后退到到C点，正好从镜中看到楼顶点，正好从镜中看到楼顶M点若点若AC等于等于1.5m，小丽的眼睛离地面的高度小丽的眼睛离地面的高度BC为为1.6m，请你帮助小丽，请你帮助小丽计算一下此楼的高度计算一下此楼的高度(精确到
18、精确到0.1m)例例3 导引：导引：根据反射角等于入射角，得到根据反射角等于入射角，得到BCA与与MNA相似，列出比相似，列出比例式，问题即可解决例式，问题即可解决知知3 3讲讲 解：解：如图，过点如图，过点A作作OACN，BCCA，MNNA，BCAMNA90.又又BAOMAO，BACMAN.BCAMNA.MN21.3m.即此楼的高度约为即此楼的高度约为21.3m.1.61.5.20BCACMNANMN，即即总总 结结知知3 3讲讲测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及相似两个相似三角形，利用能测量的三角形
19、的边长及相似三角形的性质求此距离三角形的性质求此距离 知知3 3练练1如图所示，小刚同学跳起将一个排球打在地面上，如图所示，小刚同学跳起将一个排球打在地面上，若他跳起的高度若他跳起的高度AB为为1.8米，且排球弹起后正好碰米，且排球弹起后正好碰到到6.3米高的墙头米高的墙头D点点(假设假设BPMDPM，PM AC)，而此时小刚距墙脚，而此时小刚距墙脚C点的距离正好是点的距离正好是9米，米，试求排球落地点试求排球落地点P距墙脚距墙脚C点的距离点的距离 2 【中考中考天水天水】如图是一位同学设计的用手电筒来测如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点量某古城墙高度的示意图点P处放一水
20、平的平面处放一水平的平面镜，光线从点镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端的顶端C处，已知处，已知ABBD，CDBD，测得，测得AB2m，BP3m，PD12m，那么该古城墙的高度，那么该古城墙的高度CD是是_知知3 3练练 知识总结知识总结知识方法要点知识方法要点关键总结关键总结注意事项注意事项利用相似三角形测利用相似三角形测高高根据根据利用阳光下的影子利用阳光下的影子测高测高测量要尽量减少误测量要尽量减少误差差,取每种方法计取每种方法计算出的高度的平均算出的高度的平均 值，可使误差降到值，可使误差降到最小最小方法规律总结方法规律总结用相似三角形知识解决实际问题时的方法：用相似三角形知识解决实际问题时的方法：将实际问将实际问题转化为相似三角形问题；题转化为相似三角形问题；构造出一对相似三角形；构造出一对相似三角形；根据相似三角形的性质，建立比例式，求出相应的量根据相似三角形的性质，建立比例式，求出相应的量 物物高高物物影影长长，人人高高人人影影长长
