1、北师大版九年级数学下册-31.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.2.2.圆周角定理圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.同弧同弧(等弧等弧)所对的圆周角相等所对的圆周角相等.3.3.圆周角定理推论圆周角定理推论:相等的圆周角所对的弧相等.4.4.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧不一定相等.（优劣弧的区别）5.5.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,OBAD复习巩固BCOA圆周角定理的推论用于判断某条弦是否是直径用于构造直角用于构造直角半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.O ODAB
2、C例1.如图,AB是O的直径，BD是O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?解析：BD=CD；理由：如图，连接AD.AB是O的直径，ADB=90，即ADBC.又AC=AB，BD=CD.例2 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，ACDO解：AB是直径，ACB=ADB=90在RtABC中，CD平分ACB，AD=BD.86102222ACABBC 如图A，B，C，D，是O上的四点，AC为O的直径，则BAD与BCD之间有什么关系？为什么？解析：AC是 O的直径，ADB90 A
3、BC90 BAD BCD=36090 90 180 议一议议一议 如图A，B，C，D，是O上的四点，点C的位置发生了变化，则BAD与BCD的关系还成立吗？为什么？解析：成立解析：成立连结连结OB，OD 弧弧BAD与弧与弧BCD所对的圆心角之和所对的圆心角之和为为360 BAD BCD 180 议一议议一议 四边形ABCD四个顶点都在O上，这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.读一读读一读圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补 A+DCE=180 B+D=180 定理推论：任何一个外角都等于它的内对角。C CB BA AD DO OE EF
4、 FDDBB180180AACC180180EABBCDFCBBAD对角对角外角外角内对角内对角ECBAO1例：如图，O1和O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，经过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。求证：CEDF有两个圆的题目常用的一种有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。辅助线：作公共弦。此图形是一个考试热门图形。此图形是一个考试热门图形。证明：连接AB，C=ABF,ABF+D=180,C+D=180,CEDF1.如图，已知O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F.若CFAD，AB2，求CD的长练一练2如图，ABC内接于O，
5、且ABCC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交直线AB于点E，连结BD.(1)证明：证明：DEBC，ABCE，ADB、C都是都是所对的圆周角，所对的圆周角，ADBC，(1)求证：ADBE；又又ABCC，ADBE；(2)求证：AD2ACAE；2如图，ABC内接于O，且ABCC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交直线AB于点E，连结BD.(3)当点D运动到什么位置时，DBEADE？请你利用图进行探索和证明(3)解：点解：点D运动到弧运动到弧BC中点时，中点时，DBEADE.证明：证明：DEBC，EDBDBC，又，又DBC所对的是弧所对的是弧DC，EAD所对的是弧所对的是弧DB，
6、D是弧是弧BC的中点，的中点，DBCEAD，EDBEAD，又，又DEBAED，DBEADE.1要理解好圆周角定理的推论.2构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法：（1）构造直径上的圆周角.（2）构造同弧所对的圆周角.3要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.2.如图，AB是O的直径，C=15，求BAD的度数。BCO解：连接BCAB为直径 BCA=90（直径所对的圆周角为直角）BCD+DCA=90，ACD=15BCD=9015=75BAD=BCD=75（同弧所对的圆周角相等）方法一：方法一：习题答案习题答案2.如图，AB是O的直径，C=15，求B
7、AD的度数。BCO解：连接ODACD=15 AOD=2ACD=30（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）OA=ODOAD=ODA又AOD+OAD+ODA=180BAD=75方法二：方法二：3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若E=40，F=60,求A的度数。ADO解：四边形ABCD是圆内接四边形ADC+CBA=180（圆内接四边形的对角互补）EDC+ADC=180，EBF+ABE=180 EDC+EBF=180EDC=F+A,EBF=E+AF+A+E+A=180E=40，F=60 A=40.O1O2AB.CP.CP大小不变的角有：ACB APBBCP C
8、BP1.如图,0A,0B是0的半径且0A0B,作0A的垂直平分线交0于点C,D,连接CB,AB.求证:ABC=2CBO.证明:连接0C,AC.CD垂直平分OA,0C=AC,0C=AC=OA,OAC是等边三角形,AOC=60.ABC=A0C=30.212.如图，四边形ABCD内接于0,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.(1)若CBD=39,求BAD的度数;(2)求证:1=2.3.如图,已知ABC内接于0,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF/BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.(1)证明
9、:易证RtABDRtACD,BAD=CAD,AB=AC,BE=CE;(2)解:四边形BFCD是菱形.理由:由（1）可知AD是BE的垂直平分线BF=CF,BD=CD.在BED和CEF中FCE=LDBE,BE=CE,BED=CEF=90,CF=BD,BF=CF=BD=CD四边形BFCD是菱形;(三线合一)BEDCEF,3.如图,已知ABC内接于0,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF/BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.4.正方形ABCD内接于0,如图所示，在劣弧AB_上取一点E,连接DE,B
10、E,过点D作DF/BE交0于点F,连接BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证:(1)四边形EBFD是矩形;(2)DG=BE.4.正方形ABCD内接于0,如图所示，在劣弧AB_上取一点E,连接DE,BE,过点D作DF/BE交0于点F,连接BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证:(1)四边形EBFD是矩形;(2)DG=BE.5.如图,AB是半圆的直径，ABC的平分线交半圆于点D,AD和BC的延长线交于圆外一点E,连接CD.(1)求证:EDC是等腰三角形;(2)若AB=5,BC=3，求四边形ABCD的面积.(1)证明AB是半圆的直径,ADB=ACB=90.ABC的平分线交半圆于点D,BA=BE,AD=ED,CD为RTACE斜边上的中线，5.如图,AB是半圆的直径，ABC的平分线交半圆于点D,AD和BC的延长线交于圆外一点E,连接CD.(1)求证:EDC是等腰三角形;(2)若AB=5,BC=3，求四边形ABCD的面积.6.如图,在RtABC中，ABC=90，点M是AC的中点,以AB为直径作0分别交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:若AB=6,当AD=2DM时,DE=（）;连接OD,OE,当A的度数为（）时,四边形ODME是菱形.602
