1、 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .） 1复数1 2 2 i i 的共轭复数是（ ） A 3 5 i B 3 5 i Ci Di 【答案】D 【解析】 试题分析：由于1 2 2 i i i ii ii )2( )21 ( ,因此应选 D 考点：复数的运算 2已知集合 2 4 0 ,210 1 x AxRBxR xaxa x ，若AB ，则实数 a的取值范围是（ ） A2, B2, C12, D1, 【答
2、案】C 考点：二次不等式的解法和集合的运算 3某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k，现用分层抽样方法 抽出一个容量为 120 的样本，已知A种型号产品共抽取了 24 件，则C种型号产品抽取的件数为（ ） A24 B30 C36 D40 【答案】C 【解析】 试题分析：因 120 24 8 k k ,故36120 10 3 , 2k,应选 C. 考点：抽样方法及计算 4如图给出的是计算 1111 24620 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A8?i B9?i C10?i D11?i 【答案】C 【解析】 试题分析：从所给算法流程可以看出当10
3、i时仍在运算,当1011i时运算就结束了,所以应选 C. 考点：算法流程图的识读和理解 5已知把函数 sin3cosf xxx的图像向右平移 4 个单位，再把横坐标扩大到原来的 2 倍， 得到函数 g x，则函数 g x的一条对称轴为（ ） A 6 x B 7 6 x C 12 x D 5 6 x 【答案】D 【解析】 试题分析：因 sin3cosf xxx) 3 sin(2 x,向右平移 4 个单位后变为 ) 12 sin(2) 43 sin(2)( xxxf,再将其横坐标扩大到原来的两倍后得到) 122 1 sin(2)( xxg, 应选 D. 考点：三角函数的图象和性质 6已知等比数列
4、n a的前n项的和为 1 2n n Sk ，则 32 21f xxkxx的极大值为（ ） A2 B3 C 7 2 D5 2 【答案】D 考点：等比数列的前n项和与函数的极值. 7已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行， 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A48 种 B72 种 C78 种 D 84 种 【答案】A 【解析】 试题分析：先将穿红衣服的两人排定有 2 2 A种排法；再将穿黄衣服的两人插空有 2 3 A种排法；最后将穿蓝衣 服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有48462种排法,应选 A. 考点：排列组合数公式及两个计
5、数原理的运用. 8已知椭圆 22 1 167 xx 的左、右焦点 12 ,F F与双曲线 22 22 10 xx ab ab 的焦点重合且直线 10xy 与双曲线右支相交于点P，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ） A 2 2 1 8 x x B 22 1 63 xx C 22 1 72 xx D 22 1 54 xx 【答案】D 【解析】 考点：双曲线的几何性质 【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设 法建构含cba,的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离 心率的目标函数,再进一步探求该函
6、数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的ba,的值.本题 中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出ba,的值. 9一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG，在这个长方体中把四面体EFHG截出如图所 示，则四面体EFHG的侧视图是（ ） A B C D来源:学_科_网Z_X_X_K 【答案】D 【解析】 试题分析：侧视图就是左视图,也就是从几何体的左侧向右看,几何体所投射到平面上所得到的图形,由于 EF被遮挡故应画虚线,所以应选 D. 考点：三视图的识读和理解 10已知函数 32 1f xxax的对称中心的横坐标为 00 0xx ，且 f x有三个零点，则实 数
7、a的取值范围是（ ） A,0 B 3 3 2 , 2 C0, D, 1 【答案】B 考点：导数在研究函数的零点中的运用 11已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，若2PAAB，1AC ，120BAC， 且PA 平面ABC，则球O的表面积为（ ） A 40 3 B 50 3 C12 D15 【答案】A 【解析】 试题分析：设球心为O,ABC外接圆的圆心为 1 O,外接圆的半径为r,则 1 OO平面ABC,由于PA 平 面ABC,因此1 2 1 / 1 PAOO,在ABC中,由余弦定理得7) 2 1 (21241BC,所以 r2 120sin 7 0 ,即 3 7 r.由此可得 3 10
8、) 3 7 (1 22 R,所以球的面积是 3 40 S,应选 A. 考点：球的几何性质与表面积的计算 【易错点晴】 本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的 半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角 形ABC的外接圆的半径 3 7 r,再借助PA 平面ABC,球心O与ABC的外接圆的圆心 1 O的连线也 垂直于ABC所在的平面,从而确定球心O与 1 ,OAP共面.求出了球的半径,找到解题的突破口. 12已知函数 2 1,0, log,0, kxx f x x x 下列是关于函数 1yff x的零
9、点个数的四种判断： 当0k 时，有 3 个零点；当0k 时有 2 个零点；当0k 时，有 4 个零点；当0k 时，有 1 个零点则正确的判断是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 试题分析：若xxfx 2 log)(, 0.当0log2x,即1x时,01)(loglog)( 22 xxff,解得 2x； 当0l og 2 x,即10 x时,011)(log)( 2 xkxff,当0k,解得12 2 k x适合； 当0k,解得12 2 k x不适合.若1)(, 0kxxfx,若01kx,则011)( 2 kxkxff, 即02 2 kxk,当 2 2 , 0 k k xk 合适,0k时不
10、合适；若01kx,则 01) 1(log)( 2 kxxff,即 2 1 1kx也即 k x 2 1 ,当0k时适合；当0k不合适.因此当 0k时有四个根 kk k k 2 1 , 2 ,2 ,2 2 2 ；当0k只有一个根2x,应选 A. 考点：函数的零点和分类整合思想 【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思 想,通过对变量x的分类讨论,建立了关于函数)(xf的方程,再通过对参数k的分类讨论,求解出方程 01)(xff的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何 转化方程01)(xff,如何进行分类整
11、合. 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分 ）分 ） 13已知抛物线 2 20ypx p的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足 FAFBFC，则 111 ABBCCA kkk _ 【答案】0 【解析】 试题分析：设)0 , 2 (),(),(),( 332211 p FyxCyxByxA,由FAFBFC可得0 321 yyy.因 2112 12 2 yy p xx yy kAB ,故 31 2 yy p kAC , 32 2 yy p kBC ,则 111 AB
12、BCCA kkk 233112 222 yyyyyy ppp 0. 考点：抛物线的几何性质 14设曲线 1*n yxxN 在点1,1处的切线与x轴的交点横坐标为 n x，则 20151201522015320152014 loglogloglogxxxx的值为_ 【答案】1 考点：导数的几何意义 15已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2cos22cos2ABC， 则cosC的最小值为_ 【答案】 2 1 【解析】来源:Z,xx,k.Com 试题分析：由cos2cos22cos2ABC得CBA 222 sin2sinsin,即 222 2cba.因为 abcba22 2
13、22 ,即1 2 ab c ,所以 2 1 22 cos 2222 ab c ab cba C,即Ccos的最小值为 2 1 . 考点：余弦定理和基本不等式的运用 【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题 的关键是如何将题设条件cos2cos22cos2ABC与cosC的最小值进行联系,这也是解答好本题的突 破口.解答时先运用二倍角公式将其化为CBA 222 sin2sinsin,再运用正弦定理将其转化为三角形的 边的等式 222 2cba.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出cosC的最小值. 16若函数 f x在定义域D内的
14、某个区间I上是增函数，且 f x F x x 在I上也是增函数， 则称 yf x是I上的“完美函数” 已知 ln1 x g xexx，若函数 g x是区间, 2 m 上的 “完美函数” ，则整数m的最小值为_ 【答案】3 考点：导函数的几何意义 【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题. 解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数m的值.求解时依据题设条件先对函数 ln1 x g xexx和 x xg xF )( )(求导,建立不等式组,求参数m的值时运用的是试验验证法,即根 据题设条件对适合条件的实数m的值进行逐一检验,最终获得答案. 三、解
15、答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17 （本小题满分 12 分） 设数列 n a的前n项和为 n S，且首项 * 11 3,3n nn aaSnN （1）求证：3n n S 是等比数列； （2）若 n a为递增数列，求 1 a的取值范围 【答案】(1)证明见解析；(2), 33 , 9. 【解析】 （2）由（1）得， 1 1 332 nn n Sa ，所以 1 1 323 nn n Sa 当2n时， 121 111 323322 3 nnnn nnn aSSaa
16、 21 1 322 3 nn a 8 分 若 n a为递增数列，则 1nn aa 对 * nN恒成立 当2n时， 121 11 322 3322 3 nnnn aa ， 则 2 2 1 3 21230 2 n n a 对 * 2,nnN恒成立， 则 1 9a ；10 分 又 211 3aaa 所以 1 a的取值范围为, 33 , 9 考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用 18 （本小题满分 12 分） 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公 路，且通过这两条公路所用的时间互不影响据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆 汽
17、车所用时间的频率分布如下表： 所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路 1 的频数 20 40 20 20 通过公路 2 的频数 10 40 40 10 假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前 11 天出发，汽车B只能在约定日期的前 12 天出发（将频 率视为概率） （l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路 径；来源:学科网 （2）若通过公路 1、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元（其他费用忽略不计） ，此项费 用由生产商承担如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商 40 万元
18、， 若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万元；若在约定日期后送到，每迟到一天， 生产商将支付给销售商 2 万元如果汽车,A B按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获 得的毛利润更大 【答案】(1) 汽车A选择公路1，汽车B选择公路2；(2)汽车B为生产商获得毛利润更大. 【解析】 试题分析： (1)依据题设条件计算概率,通过比较分析求解； (2)借助题设条件运用数学期望的大小分析推证. 试题解析: （1）频率分布表，如下： 所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路 1 的频数 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路 2 的频数 0.1 0.4
19、0.4 0.1 设 12 ,A A分别表示汽车A在约定日期前 11 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙； 1 B、 2 B分别表示汽车 B在约定日期前 12 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙； 0.20.40.6P A ， 2 0.1 0.40.5P A， 1 0.20.40.20.8P B ， 2 0.1 0.40.40.9P B， 所以汽车A选择公路 1，汽车B选择公路 2 （）设X表示汽车A选择公路 1 时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X X的分布列如下： X 42 40 38 36 P 0.2 0.4 0.2 0.2 42 0.240 0.438 0.
20、236 0.239.2E X 表示汽车A选择公路 1 时的毛利润为39.2 3.236.0（万元） 设Y表示汽车B选择公路 2 时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y 则Y的分布列如下： X 42.4 40.4 38.4 36.4 P 0.1 0.4 0.4 0.1 42.4 0.1 40.4 0.4 38.4 0.4 36.4 0.139.4E Y 36.039.4，汽车B为生产商获得毛利润更大 考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用 19 （本小题满分 12 分） 如图，平面PAC 平面ABC，ACBC，PAC为等边三角形，PEBC，过BC作平面交AP、 AE
21、分别于点N、M （1）求证：MNPE； （2）设 AN AP ，求的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45 【答案】(1)证明见解析；(2) 3 1. 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件建立空间直角坐标系推证；(2)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程 求解. 试题解析: （2） 13 0,0 ,1, 22 MNtCMt ， 设平面CMN的法向量 1111 ,x y zn，则 11 0,0MNCMnn，可取 1 2 1,0, 3 n， 又 0 0,0,1n是平面ABC的一个法向量， 由 01 01 cos nn nn ，以及45可得 2 2 2 23 2 2 1 3
22、， 即 2 2440，解得3 1（负值舍去） ，故3 1来源:163文库 考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用 【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运 算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角 坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进 行推证的； 第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出3 1.如何通过计算 建立方程是解答好本题的难点和关键之所在. 20 （本小题满分 12 分） 如图，已知
23、圆 2 2 :316Exy，点 3,0F，P是圆E上任意一点线段PF的垂直平分线和半 径PE相交于Q （1）求动点Q的轨迹的方程； （2） 设直线l与 （1） 中轨迹相交下,A B两点， 直线, ,OA l OB的斜率分别为 12 , ,k k k（其中0k ） O A B 的面积为S，以,OA OB为直径的圆的面积分别为 12 ,S S若 12 , ,k k k恰好构成等比数列，求 12 SS S 的取 值范围 【答案】(1) 2 2 1 4 x y；(2) 5 , 4 . 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件运用椭圆的定义建立方程求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系 建立函数
24、求解. 试题解析: （1）连结QF，根据题意，=QPQF， 则|4 |2 3QEQFQEQPEF， 故动点Q的轨迹是以,E F为焦点，长轴长为 4 的椭圆2 分 设其方程为 22 22 10 xx ab ab ，可知 22 2,3acab，则1b，3 分 所以点Q的轨迹的方程为为 2 2 1 4 x y4 分 （2）设直线l的方程为ykxm， 1122 ,A x yB x y 由 2 2 1 4 ykxm x y 可得 222 148410kxkmxm， 由韦达定理有： 12 2 2 12 2 8 14 41 14 km xx k m x x k 且 22 16 140km 6 分 12 ,
25、,k k k构成等比数列， 122 1 2 12 kxmkxm kk k x x ， 即： 2 12 0km xxm 由韦达定理代入化简得： 2 1 4 k 0k ， 1 2 k 8 分 此时 2 16 20m ，即 2, 2m 又由A、O、B三点不共线得0m 从而 2,00, 2m 故 2 12 2 11 1 22 1 m SAB dkxx k 2 2 1212 1 42 2 xxx xmmm10 分 又 22 22 12 12 1 44 xx yy 则 222222 12112212 33 2 4444 SSxyxyxx 2 1212 35 2 1624 xxx x 为定值12 分 12
26、2 515 44 2 SS S mm 当且仅当1m时等号成立 综上： 12 5 , 4 SS S 14 分 考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ln0 x f xx a ax （l）求函数 f x的单调区间； （2）当1a 时，求 f x在 1 ,2 2 上的最大值和最小值0.69ln20.70； （3）求证： 2 1 ln ex xx 【答案】(1) 若0a，函数 f x的单调减区间为0,，若0a， f x的单调增区间为 1 0, a ，单 调减区间为 1 , a ；(2)最大值为0，最小值为1 ln2 ；(3)证明见解析. 【解析】 试
27、题分析：(1)依据题设条件依据导数和函数的单调性的关系分类求解；(2)借助题设条件运用导数求解； (3)运用导数的知识及最大最小值进行推证. （2）1a 时， 11 ln1ln x f xxx xx ， 由（1）可知， 1 1lnf xx x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减， 故在 1 ,1 2 上单调递增，在1,2上单调递减， 所以函数 f x在 1 ,2 2 上的最大值为 1 11ln10 1 f ； 而 11 12ln1ln2 22 f ； 11 21ln2ln2 22 f ， 113 2ln21 ln22ln21.52 0.70.10 222 ff ， 所以 1 2 2 ff ，
28、故函数 f x在 1 ,2 2 上的最小值为 1 1 ln2 2 f （3）由（2）可知，函数 1 1lnf xx x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减， 故函数 f x在0,上的最大值为 11 1 ln10f ，即 0f x 故有 1 1ln0x x 恒成立，所以 1 1 ln x x ，故 1 2ln1x x ， 即 2 1 ln ex xx 考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用 【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关 系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问 中的最值求
29、解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等 式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的 数学思想的巧妙运用. 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做，则按所做的第一题记分. .解答时请解答时请 写清题号写清题号. . 22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 已知直线AC与圆O相切于点B，AD交圆O于F、D两点，CF交圆于,E F，BDCE，ABBC， 2AD ，1BD （1）求证：BDFFBC
30、； （2）求CE的长 【答案】(1)证明见解析；(2)4CE . 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件构造等角,探寻相似三角形的条件推证；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆 幂定理求解. 试题解析: （1）因为BDCE，所以DBFBFC，因为AC与圆O相切于点B，所以CBFBDF，所 以BDFFBC 考点：圆的有关知识的及运用 23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C的方程为2 cos0aa，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直 角坐标系，设直线l的参数方程为 31, 43 xt yt （t为参数） （1）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
31、 （2）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围 【答案】(1) 4350xy， 2 22 xaya；(2) 5 9 a 或5a. 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件消参化直角坐标方程,再将极坐标化为直角坐标；(2)借助题设条件运用点到直 线的距离公式建立不等式求解. 试题解析: （1）由 31 43 xt yt 得 1 13 3 334 4 x t xy y t 所以直线l的普通方程为：4350xy，2 分 由 2 2 cos2cosaa 又 222, cosxyx 所以，圆C的标准方程为 2 22 xaya，5 分 考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用 24 （本小题满分 1
32、0 分）选修 4-5：不等式选讲 （1）设函数 5 , 2 f xxxa xR，若关于x的不等式 f xa在R上恒成立，求实数a的最大 值； （2）已知正数, ,x y z满足231xyz，求 321 xyz 的最小值 【答案】(1) 5 4 ；(2)168 3. 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解. 试题解析: （1）由绝对值的性质得 555 22 f xxxaxxaa a ，3 分 所以 f x的最小值为 5 2 a，从而 5 2 aa，解得 5 4 a ， 因此a的最大值为 5 4 5 分 （2）由于, ,0x y z ，所以 321321 23xyz xyzxyz 2 2 321 23323168 3xyz xyz 来源:Z&xx&k.Com 当且仅当 23 321 xyz xyz ，即:3:3:1x y z 时，等号成立8 分 321 xyz 的最小值为168 310 分 考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用
