1、核心素养理念下的核心素养理念下的数学教学变革数学教学变革 1一一、数学课改的数学课改的核心核心任务任务 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任务在于立德教育的根本任务在于立德树人树人”就是整个教育改革的核心任务。就是整个教育改革的核心任务。数学教育的核心任务是数学教育的核心任务是“数学育人数学育人”。如何把这个要求在如何把这个要求在数学教育数学教育中落实下来，中落实下来，抓手在哪里？抓手在哪里？2 教育部教育部的顶层的顶层设计，设计，数学学科的数学学科的“立德树人立德树人”是是“以以数学学科核心素养数学学科核心素养为为纲纲”。义教课标中义教课标中提出提出了了八八个个“核心概念核心概念”：数感、
2、：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型念、运算能力、推理能力、模型思想；思想；高中高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析学运算、直观想象、数据分析。数学课改的数学课改的核心核心任务任务是提升学生的数学学科核是提升学生的数学学科核心素养，心素养，要有具体措施要有具体措施，要要把数学学科核心素把数学学科核心素养落实在养落实在数学教育的数学教育的各个环节。各个环节。3二二、关于落实
3、、关于落实核心素养的思考核心素养的思考“学科育人学科育人”要依靠学科的内在力量要依靠学科的内在力量。“数学育人数学育人”要要用数学的方式，在用数学的方式，在数学数学内内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用各个环节中发挥作用。增强课程意识，把握教改方向，明确数学增强课程意识，把握教改方向，明确数学育人目标，提升数学育人的实效性，提高育人目标，提升数学育人的实效性，提高教育教学质量。教育教学质量。4问题思考问题思考 数学课程的育人力量是什么？数学课程的育人力量是什么？什么叫什么叫“数学的方式数学的方式”？一线教师的课程意识是如何表现的？一线教师
4、的课程意识是如何表现的？5一线一线教师的课程意识教师的课程意识（1）我教的是一门怎样的课）我教的是一门怎样的课课程性质课程性质（2）这门课这门课能发挥怎样的育人功能，在学生能发挥怎样的育人功能，在学生发展中的不可替代作用是什么发展中的不可替代作用是什么课程目标课程目标（3）如何教这门课）如何教这门课课程实施课程实施（4）这样教在多大程度上实现了它的育人功）这样教在多大程度上实现了它的育人功能能课程评价课程评价6数学是一门怎样的课？数学是一门怎样的课？数学是研究数学是研究数量关系和空间形式的科学。数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的数学源于对现实世界的抽象抽象，基于抽象，基于抽象结结构
5、构，通过符号运算、形式推理、模型构建，通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的等理解和表达现实世界中事物的本质本质、关关系系与与规律规律。课标如是说。课标如是说。7 数学数学是思维的是思维的科学，科学，具有具有“追求最大限度的一追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向般性模式特别是一般性算法的倾向”，有有一套一套具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑，简明种结构和符号形式是强大的，富有逻辑，简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一种思维环境的
6、一种思维方式方式，包括包括：抽象化、运用符：抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等一整套严谨的、行之有效的科学方法，这论等一整套严谨的、行之有效的科学方法，这是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式中必须使用的思维方式。8 推理是数学的命根子，推理是数学的命根子，运算是数学的运算是数学的“童童子功子功”。思维训练的载体
7、就是推理和运算。思维训练的载体就是推理和运算。数学是一门语言，与语文有相似的特性，数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式表达方式阅读、表达、交流的工具阅读、表达、交流的工具。9数学学科的独特育人功能数学学科的独特育人功能 主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑有逻辑地思考地思考”、创造性思考、创造性思考，使，使学学生成为善于生成为善于认识问题、认识问题、善于善于解决问题的人才。解决问题的人才。学会严格的逻辑推理，学会
8、运算的方法和学会严格的逻辑推理，学会运算的方法和技巧。技巧。学会使用学会使用数学数学语言，能用数学的方式阅读、语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。表达和交流。10以数学知识为载体发展学生的以数学知识为载体发展学生的核心素养核心素养 完整的数学学习过程：完整的数学学习过程：*数学研究对象的获得数学研究对象的获得 *研究数学对象研究数学对象 *应用数学知识解决问题应用数学知识解决问题 数学对象的获得，要注重数学对象的获得，要注重数学数学与现实之间与现实之间的的联系联系，也要注重数学内在的前后一致、也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从逻辑连贯性，从“事实事实”出发，让学生经出发，让学生经历归
9、纳、概括事物本质的过程，提升数学历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；抽象、直观想象等素养；11 对对数学数学对象的对象的研究研究，要注重以，要注重以“一般观念一般观念”为引导发现规律、获得猜想，通过数学的为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；过程，提升推理、运算等素养；应用数学知识解决问题，要注重利用数学应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理概念原理分析问题分析问题，体现建模的全过程，体现建模的全过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等学会分析数据，从数据中挖掘信息等。1
10、2“两个过程两个过程”的合理性的合理性 从数学知识发生发展过程的合理性、学生从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。数学学科核心素养的关键点。前一个的核心是数学的学科思想问题，后前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。一个是学生的思维规律、认知特点问题。13 以以发展学生发展学生数学素养为数学素养为追求，根据学生的追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排认知规律，螺旋上升地安排教教学学内容内容，特，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成别是要让重要的（往往也是难以一次完
11、成的）数学概念、思想方法得到反复理解的的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会机会。以以“事实事实概念概念性质（关系）性质（关系）结构（联系）结构（联系）应用应用”为明线为明线；以以“事实事实方法方法方法论方法论数学学数学学科本质观科本质观”为为暗线。暗线。14从数学思维、思想或核心素养角度看从数学思维、思想或核心素养角度看“事实事实概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（对对典型而丰富典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性归纳共性，抽抽象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出概念概念）；）；“概念概念性质性
12、质”主要是主要是“推理推理”，包括通过归纳，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；“性质性质结构结构”主要也是主要也是“推理推理”，是建立相关，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程大的数学认知结构的过程；“概念、性质、结构概念、性质、结构应用应用”主要是主要是“建模建模”，是是用用数学数学知识知识解决数学内外的问题。解决数学内外的问题。15强调获得强调获得“事实事实”的教育价值的教育价值“数学事实数学事实”是数学学习的是数学学习的“原材料原材料”，也是
13、数学育人的首要也是数学育人的首要素材素材；真正的学习必须经历真正的学习必须经历“感知感知感悟感悟知识知识”的的过程过程；以以“事实事实”为支撑的概念理解才是为支撑的概念理解才是真理真理解，解，才能形成对概念本质的深刻体悟才能形成对概念本质的深刻体悟，教学应，教学应从从让学生获得数学事实让学生获得数学事实开始开始。16 增加概括概念、发现性质所需的素材，提增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题供丰富的、真实的应用问题；调动所有感官参与学习，调动所有感官参与学习，安排安排动眼观察、动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获
14、取理解概念所需的通过自主活动获取理解概念所需的“事事实实”；增加增加“悟悟”的时间，长时间的的时间，长时间的“悟悟”，然，然后是有所体验、有所心得、有所发现。后是有所体验、有所心得、有所发现。17 在整个在整个教教学学过程过程中，都要发挥中，都要发挥“一般观念一般观念”的作用，加强的作用，加强“如何思考如何思考”、“如何发现如何发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要做的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么什么、“几何性质几何性质”“”“代数性质代数性质”“”“函数函数性质性质”指什么等问题指什么等问题上要及时引导，以使上要及时引导，以使学生明确思考方向学生明确思考方向。18教师的专业发展水
15、平和育人能力教师的专业发展水平和育人能力是落实核心素养的关键是落实核心素养的关键理解数学理解数学理解学生理解学生理解教学理解教学 当前的主要问题是教师在当前的主要问题是教师在“理解数学理解数学”上上不用功，数学水平不高导致数学课教不好不用功，数学水平不高导致数学课教不好数学，甚至数学课不教数学，使数学越来数学，甚至数学课不教数学，使数学越来越难学越难学，使学生越学越糊涂，使学生越学越糊涂。19理解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发启发学生，示以思维之道耳！学生，示以思维之道耳！20三三、系统观指导下的数学教学、系
16、统观指导下的数学教学系统观的内涵：系统观的内涵：整体性整体性把把研究对象看成一个整体研究对象看成一个整体，从，从整体整体出发，在组成系统的各要素相互关系中探究研出发，在组成系统的各要素相互关系中探究研究对象的本质和究对象的本质和规律。规律。层次性层次性系统是由系统是由要素组成的整体；每个系要素组成的整体；每个系统又是它的上位系统的组成要素，由此构成具统又是它的上位系统的组成要素，由此构成具有层级关系的整体，这就是层次性有层级关系的整体，这就是层次性。先。先把握基把握基本要素，再本要素，再看要素看要素组成的子系统，然后再看子组成的子系统，然后再看子系统组成的上位系统系统组成的上位系统这样这样才能
17、具有思想性、才能具有思想性、观念性观念性。21联系联系性性 系统系统和系统之间和系统之间、各、各要素之间、系统和要要素之间、系统和要素之间是相互联系、相互作用的。素之间是相互联系、相互作用的。任何事物都由若干部分、要素构成，任何事物都由若干部分、要素构成，各各部部分、要素相互依存、相互联系。只有这样，分、要素相互依存、相互联系。只有这样，事物才能成为有机整体。事物才能成为有机整体。任何事物都与周围的其他事物相互联系着任何事物都与周围的其他事物相互联系着，包括横向联系和纵向联系包括横向联系和纵向联系。22目的性目的性 数学数学育人育人目标目标有有一个从宏观到微观的层级一个从宏观到微观的层级系统。
18、系统。教学设计教学设计应该把应该把教学过程教学过程看成看成具有一定发具有一定发展规律和趋势的系统，在宏观目标指导下展规律和趋势的系统，在宏观目标指导下分析具体目标和内容，要注意把宏观目标分析具体目标和内容，要注意把宏观目标落实在具体课堂中，使每一堂课都为达到落实在具体课堂中，使每一堂课都为达到宏观目标服务宏观目标服务。问题问题：数学育人目标的层级系统是怎样的？：数学育人目标的层级系统是怎样的？23宏观到微观的目标体系宏观到微观的目标体系 教育方针教育方针 课程课程目标目标 单元单元目标目标 课时目标课时目标 课堂教学中课堂教学中，三维三维目标融为一体，目标融为一体，内容为内容为载体，过程中体现
19、思想方法、思维能力，载体，过程中体现思想方法、思维能力，挖掘内容所蕴含挖掘内容所蕴含的的育人育人资源，实现数学素资源，实现数学素养的逐步提升。养的逐步提升。24 当前数学教学中存在的主要问题仍然是：碎片当前数学教学中存在的主要问题仍然是：碎片化教学，做题目成为一切，充其量只是培养了化教学，做题目成为一切，充其量只是培养了做题目的机器。做题目的机器。从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学，从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学，培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，这是根本。这是根本。问题是：依靠什么来实现？问题是：依靠什么来实现？教学内容的整体性教学内
20、容的整体性载体；载体；系统思维系统思维目标；目标；单元教学单元教学途径途径。25单元教学的组织要义单元教学的组织要义 整体整体局部局部整体整体 前一前一个个“整体整体”是先行组织者，认识的结构、是先行组织者，认识的结构、普适性的思想方法、解决问题的策略，等等。普适性的思想方法、解决问题的策略，等等。“局部局部”是对数学对象的内涵、要素、概念的是对数学对象的内涵、要素、概念的定义和表示、分类、性质、特例定义和表示、分类、性质、特例的的研究研究，在这个过程中加强在这个过程中加强“如何归纳、抽象概念如何归纳、抽象概念”、“如何发现值得研究的问题如何发现值得研究的问题”、“如何研究性如何研究性质质”、
21、“如何找到证明的方法如何找到证明的方法”的引导。的引导。26 后一个后一个“整体整体”，在分课时学习基础上的，在分课时学习基础上的归纳、总结，不仅完善本单元的知识结构，归纳、总结，不仅完善本单元的知识结构，而且建立与相关知识的联系，形成结构功而且建立与相关知识的联系，形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构。能良好、迁移能力强的认知结构。27系统观指导下的单元教学设计系统观指导下的单元教学设计平面向量起始课平面向量起始课 课标要求课标要求：构建构建研究平面向量的基本线索，了研究平面向量的基本线索，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含
22、义，理解平面向量的几何和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素。表示和基本要素。教学设计要求教学设计要求：体现体现先行组织者思想，要在数先行组织者思想，要在数学的整体观指导下，构建研究一个数学对象学的整体观指导下，构建研究一个数学对象（平面向量）的基本线索，在此基础上构建平（平面向量）的基本线索，在此基础上构建平面向量的概念。提升学生的数学抽象、直观想面向量的概念。提升学生的数学抽象、直观想象素养象素养。28先行组织者：构建研究路径先行组织者：构建研究路径“平面向量平面向量”是高中数学中典型的是高中数学中典型的“新对象新对象”：既是几何研究对象，也是代数研究对象，既是几何研究对象
23、，也是代数研究对象，是是沟沟通几何与代数的通几何与代数的桥梁桥梁；向量向量理论是描述直线、理论是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本本工具工具。问题问题思考思考：“几何对象几何对象”指什么？指什么？“代数对代数对象象”指什么？向量是怎样的基本工具，如何指什么？向量是怎样的基本工具，如何使它好用？使它好用？方向很重要，方向如何方向很重要，方向如何“运算运算”是关键。是关键。29研究路径是什么？如何构建？研究路径是什么？如何构建？背景引入背景引入 概念定义、表示、性质（要素之间的特殊关系）概念定义、表示、性质（要素之间的特殊关系）运算和运算律
24、（引进一种量就要定义运算，定运算和运算律（引进一种量就要定义运算，定义一种运算就要研究运算律）义一种运算就要研究运算律）向量基本定理及坐标表示向量基本定理及坐标表示 应用应用 问题思考问题思考：章引言怎么用？：章引言怎么用？“研究路径研究路径”非出不可，什么时候出？开头、中间或结尾？非出不可，什么时候出？开头、中间或结尾？30“获得向量概念获得向量概念”要做哪些事？要做哪些事？获得研究对象：定义向量概念，认识获得研究对象：定义向量概念，认识“平平面向量集合面向量集合”中的元素。中的元素。现实背景（现实背景（力、速度、力、速度、位移位移等等）定定义义表示（图形、符号、方向、大表示（图形、符号、方
25、向、大小）小）特例（零向量、单位向量）特例（零向量、单位向量）性质（向量与向量性质（向量与向量的关系，相等是最重要的关系，相等是最重要的关系；重点考虑的关系；重点考虑“方向方向”，所以先有平，所以先有平行、共线、相反向量；等等行、共线、相反向量；等等）。）。31延伸问题：如何定义向量加法？延伸问题：如何定义向量加法？既有大小，又有方向既有大小，又有方向“方向方向”如何相如何相加？加？“位移位移”是最好的模型，得到是最好的模型，得到“三角形法三角形法则则”；接下来研究什么问题？接下来研究什么问题？定义定义a+0=0+a=a（完备性）；（完备性）；向量加法的性质：特例（共线）、三角形向量加法的性质
26、：特例（共线）、三角形不等式；运算律。不等式；运算律。32四四、构建构建研究研究几何几何对象对象的的整体思路整体思路 立体几何研究立体几何研究现实世界中物体的形状、大现实世界中物体的形状、大小与位置小与位置关系关系。位置关系：位置关系：用用数学语言表述有关平行、垂数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证直的性质与判定，并对某些结论进行论证；研究方法：研究方法：直观直观感知、操作确认、推理论感知、操作确认、推理论证、度量计算证、度量计算等等。33 总体目标：总体目标：认识和探索空间图形认识和探索空间图形的的概念、概念、判定和判定和性质性质，建立空间观念；提升直观想，建立空间观
27、念；提升直观想象、逻辑推理和数学抽象象、逻辑推理和数学抽象素养素养。位置关系的具体内容：点、直线、平面作位置关系的具体内容：点、直线、平面作为为“基本图形基本图形”，四个基本事实（平面三，四个基本事实（平面三公理，平行公理）、一个等角定理；直线、公理，平行公理）、一个等角定理；直线、平面的平行和垂直的判定、性质。平面的平行和垂直的判定、性质。341.1.平面三公理平面三公理 课标要求：课标要求：借助借助长方体，在直观认识空间长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面位置关系的定义，象出空间点、直线、平面位置关系的定义，了
28、解三个公理。了解三个公理。教学设计要求：教学设计要求：要要引导学生体会刻画空间引导学生体会刻画空间中点、直线、平面的基本特征（如平面的中点、直线、平面的基本特征（如平面的“平平”）的方法，要注意）的方法，要注意“三种语言三种语言”的的训练，建立空间观念，提升直观想象、数训练，建立空间观念，提升直观想象、数学抽象素养。学抽象素养。35 问题问题1 1“平面三公理平面三公理”的内容是什么？它的内容是什么？它的数学功能是什么？的数学功能是什么？问题问题2 2 从中能体会刻画平面的从中能体会刻画平面的“平平”的数的数学思想方法吗？学思想方法吗？问题问题3 3 在理解点、直线、平面位置关系的在理解点、直
29、线、平面位置关系的过程中，作图的作用是什么？过程中，作图的作用是什么？362 2.关于位置关系的性质关于位置关系的性质 什么叫什么叫“性质性质”？只有明白了这个问只有明白了这个问题，才能使学生在独立面对一个数学对象题，才能使学生在独立面对一个数学对象时知道从哪里下手研究性质，才能使学生时知道从哪里下手研究性质，才能使学生自主探究，才能使发现问题、提出问题的自主探究，才能使发现问题、提出问题的能力的培养落在实处。这样，核心素养的能力的培养落在实处。这样，核心素养的落实也就自然而然、水到渠成落实也就自然而然、水到渠成。37“性质就是一类事物共有的特性性质就是一类事物共有的特性”，正确但，正确但过过
30、于于宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针对具体内容进行归纳。例如：对具体内容进行归纳。例如：运算中的不变性（规律性）就是性质运算中的不变性（规律性）就是性质研究研究代数性质，代数性质，“算算看算算看”是基本方法；是基本方法；变化中的不变性（规律性）就是性质变化中的不变性（规律性）就是性质研究研究函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方法；法；要素和要素之间确定的关系就是性质要素和要素之间确定的关系就是性质观察观察几何图形的构成要素之间的相互关系（位置关几何图形的构成要素之间的相互关系（位置关系、大小关系等）是研究几
31、何性质的基本方法系、大小关系等）是研究几何性质的基本方法；38几何性质的分类几何性质的分类 几何问题可以几何问题可以分为两大分为两大类：类：几何图形的结构特征几何图形的结构特征 几何图形的位置几何图形的位置关系关系 几何图形的性质几何图形的性质：一个几何图形的组成要：一个几何图形的组成要素、相关要素之间的相互关系（定性、定素、相关要素之间的相互关系（定性、定量）；量）；位置关系的性质位置关系的性质：点、直线、平面的位置：点、直线、平面的位置关系，核心是平行、垂直，距离、角度、关系，核心是平行、垂直，距离、角度、对称等是刻画位置关系的基本方法。对称等是刻画位置关系的基本方法。39什么叫什么叫“几
32、何体的结构特征几何体的结构特征”？结构特征就是这类几何对象（如棱柱）组结构特征就是这类几何对象（如棱柱）组成要素之间确定的关系。成要素之间确定的关系。结构特征有多种表现形式，选刻画这类对结构特征有多种表现形式，选刻画这类对象的充要条件作为定义（包含的要素关系象的充要条件作为定义（包含的要素关系尽量少），作为研究的出发点，其他的特尽量少），作为研究的出发点，其他的特征作为性质。征作为性质。定义定义充要条件；性质充要条件；性质必要条件；必要条件；判定判定充分条件（研究直线垂直于平面充分条件（研究直线垂直于平面的判断，就是探究什么条件能确保垂直）。的判断，就是探究什么条件能确保垂直）。40思考：位置
33、关系的思考：位置关系的性质如何表现？性质如何表现？例如：两例如：两条直线平行，从条直线平行，从“同位角相等同位角相等”、“内错角相内错角相等等”以及以及“同旁内角互补同旁内角互补”可以想到，这时的可以想到，这时的“性质性质”是与是与“第三条直线第三条直线”构成某种关系构成某种关系平行、相交，相平行、相交，相交时又形成一些交时又形成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。系所决定的这些角之间有什么确定的关系。从方法论的高度，研究从方法论的高度，研究两个两个几何元素（两条直线）的几何元素（两条直线）的某某种位置种位置关系（平行）
34、的性质，就是探索在这种关系（平行）的性质，就是探索在这种位置关系位置关系下的两个下的两个几何元素与同类几何元素之间几何元素与同类几何元素之间是否形成确定的是否形成确定的关系。关系。具体方法是让具体方法是让“同类元素同类元素”动起来，看动起来，看“变化中的不变变化中的不变性性”。41空间中直线、平面的垂直关系空间中直线、平面的垂直关系 课标要求：课标要求：探索探索空间直线与平面、平面与空间直线与平面、平面与平面垂直的性质，如：垂直于同一个平面平面垂直的性质，如：垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；两个平面垂直，如果一个平个平面平行；
35、两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直；等等那么这条直线与另一个平面垂直；等等。42 教学设计要求教学设计要求：在明确在明确“什么是图形的位什么是图形的位置关系的性质置关系的性质”的基础上，通过类比直线、的基础上，通过类比直线、平面平面“平行关系平行关系”的性质，从整体上提出的性质，从整体上提出“垂直关系的性质垂直关系的性质”的猜想。选择的猜想。选择“垂直垂直于同一个平面的两条直线平行于同一个平面的两条直线平行”等典型猜等典型猜想给出证明。要体现研究几何问题的想给出证明。要体现研究几何问题的“基基本套路本
36、套路”，提升直观想象、逻辑推理、数，提升直观想象、逻辑推理、数学抽象学抽象素养素养43这样处理有什么好处？这样处理有什么好处？完整的、统一的解决方案，立意完整的、统一的解决方案，立意高，思想高，思想性强，性强，“数学味数学味”浓；浓；反映数学知识的发生发展过程，是自然反映数学知识的发生发展过程，是自然而而水到渠成的；水到渠成的；探索性更强，能探索性更强，能更好地落实更好地落实“发现和提出发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的培问题的能力、分析和解决问题的能力的培养养”，创造性也更强；，创造性也更强；44 符合数学思维规律，体现数学的整体观，符合数学思维规律，体现数学的整体观，使性质的发现
37、具有必然性，能给学生更多使性质的发现具有必然性，能给学生更多智慧的启迪，思维的教学更加到位；智慧的启迪，思维的教学更加到位；更能体现学习的自主性，更能激发学生的更能体现学习的自主性，更能激发学生的学习主动性学习主动性。45 学生已经完整地学过学生已经完整地学过直线、直线、平面平行的判平面平行的判定及其性质定及其性质，已经了解了研究一种几何位，已经了解了研究一种几何位置关系的置关系的“基本套路基本套路”：从判定到性质，：从判定到性质，性质的内容、过程和方法，因此与学生的性质的内容、过程和方法，因此与学生的认知准备相适应。认知准备相适应。当前的问题是对当前的问题是对“什么叫判定什么叫判定”、“什么
38、什么叫性质叫性质”的归纳不够，导致学生的盲目探的归纳不够，导致学生的盲目探究，无逻辑的猜想，使发现和提出猜想成究，无逻辑的猜想，使发现和提出猜想成为偶然。为偶然。为什么可以这么做？为什么可以这么做？46直线与平面垂直的性质的问题串直线与平面垂直的性质的问题串一、复习回顾一、复习回顾 前面我们学习了直线与平面垂直的定义及判定前面我们学习了直线与平面垂直的定义及判定定理，请大家回顾一下内容和研究定理，请大家回顾一下内容和研究思路思路。二、引入新课二、引入新课 研究了研究了直线直线与平面垂直的与平面垂直的判定，判定，你觉得接下来你觉得接下来我们研究我们研究什么什么？性质性质 追问：具体地，就是要研究
39、追问：具体地，就是要研究什么？什么？以以“直直线与平面垂直线与平面垂直”为为条件能条件能推出什么推出什么结论结论。47 定义既可以作为判定，又可以作为性质定义既可以作为判定，又可以作为性质。此外。此外，还有其它性质吗？如何发现还有其它性质吗？如何发现性质性质？（学生没有思路时）回顾直线（学生没有思路时）回顾直线与与平面平面平行性质平行性质的研究过程的研究过程，它，它是从什么角度入手发现是从什么角度入手发现的的？类类比比一下，你觉得如何入手？一下，你觉得如何入手？教师引导：教师引导：平行平行性质的研究，是以直线性质的研究，是以直线a与平与平面面平行为条件，借助经过平行为条件，借助经过直线直线a的
40、的平面平面，发发现现a与与、的交线的交线b平行，而且这个平行平行，而且这个平行关系不关系不会随会随的改变而改变，的改变而改变，从而得到从而得到了一条线面平了一条线面平行的性质行的性质。仿照仿照上面的上面的归纳归纳，你能，你能说说说说平平面面与平与平面面平行的平行的性质是如何发现的吗？性质是如何发现的吗？48 你能总结一下如何研究一种位置关系的性质了你能总结一下如何研究一种位置关系的性质了吗？吗？平行平行关系的性质，就是以线面、面面平行为条关系的性质，就是以线面、面面平行为条件，通过考察它们与另一条直线、另一个平面件，通过考察它们与另一条直线、另一个平面形成的关系中，有哪些不变的特性形成的关系中
41、，有哪些不变的特性。接下来接下来，类比，类比直线与平面平行性质的直线与平面平行性质的研究思路研究思路和方法和方法，先独立思考、探究，得出结果后再相先独立思考、探究，得出结果后再相互交流、讨论。要求：把互交流、讨论。要求：把你你发现发现的的线面线面垂直性垂直性质质总结提炼出来，并用图形语言和符号语言总结提炼出来，并用图形语言和符号语言表表达。达。49五五、认知观指导下的概念教学、认知观指导下的概念教学 理解概念是数学学习的首要任务。理解概念是数学学习的首要任务。理解概念主要靠归纳思维，概念教学要用归纳理解概念主要靠归纳思维，概念教学要用归纳式式。概念教学要遵循一定之规，这是由数学概念的概念教学要
42、遵循一定之规，这是由数学概念的发生发展过程和学生认知概念的思维过程所决发生发展过程和学生认知概念的思维过程所决定的定的。概念课的教学设计，主要任务是：选择典型丰概念课的教学设计，主要任务是：选择典型丰富的具体实例，设计归纳具体实例的共同特征、富的具体实例，设计归纳具体实例的共同特征、抽象出本质特征，并概括到同类事物中去的过抽象出本质特征，并概括到同类事物中去的过程。程。50概念教学的基本环节概念教学的基本环节 背景背景引入引入借助具体事例，从数学概念体系的借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；发展过程或解决实际问题的需要引入概念；共性归纳共性归纳提供典型丰富的具体
43、例证，进行属提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；征；下定义下定义明确本质属性，给出准确的数学语言明确本质属性，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；描述（文字的、符号的）；51 概念的辨析概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；（恰当使用反例）；概念的巩固应用概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；形成用概念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”纳入概念系统，建立与相关纳入概念系统，建立与相关概念的联系。概念的联
44、系。52函数函数概念的教学概念的教学 课标要求课标要求：在初中用变量之间的依赖关系描述在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合与对应关系的语言刻画函数的基础上，用集合与对应关系的语言刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用对应关系在刻画函数概念中的作用。教学设计要求教学设计要求：要体现以概念形成的方式学习要体现以概念形成的方式学习数学概念的基本环节，通过适当的问题情境引数学概念的基本环节，通过适当的问题情境引导学生体会进一步学习函数概念的必要性，体导学生体会进一步学习函数概念的必要性，体会用集合对应语言刻画函数
45、概念的思想方法。会用集合对应语言刻画函数概念的思想方法。提升学生的数学抽象素养。提升学生的数学抽象素养。53“理解数学理解数学”（课标说）（课标说）函数函数是现代是现代数学数学的的最最基本概念，基本概念，是描述客观世界中变量关系和规律的是描述客观世界中变量关系和规律的最基最基本本的数学模型和工具，有广泛的实际应用的数学模型和工具，有广泛的实际应用。从从“刻画刻画变量之间依赖关系的数学模型和变量之间依赖关系的数学模型和工具工具”到到“实数实数集合之间的对应集合之间的对应关系关系”；高中函数概念强调了定义域和对应高中函数概念强调了定义域和对应关系关系；对应对应关系指的是对应的结果，而不是对应关系指
46、的是对应的结果，而不是对应过程过程；“y=f(x)，xA”是一个整体。是一个整体。54如何设计归纳过程如何设计归纳过程 以概念形成方式，要完成以概念形成方式，要完成“实例实例共性共性归纳归纳定义定义辨析辨析简单应用简单应用”的的过程。过程。其中，对其中，对“事实事实”的分析、共性归纳是关的分析、共性归纳是关键之一，键之一，“辨析辨析”又是一个关键。又是一个关键。55认真讲好三个实例认真讲好三个实例 有解析式的，要引导学生关注有解析式的，要引导学生关注x在哪个范围取在哪个范围取值，例如值，例如“炮弹炮弹距离地面的距离地面的高度高度h随随时间时间t的变的变化而变化的规律是化而变化的规律是h=130
47、t-5t2，经过，经过26s落地落地”，应该问：应该问：时间时间t的变化范围是什么？的变化范围是什么？问题问题“100s时对应的高度是多少时对应的高度是多少”有没有意有没有意义？义？没有意义了，因为炮弹发射的过程在没有意义了，因为炮弹发射的过程在26s时已经结束。时已经结束。你认为如何描述才能真实反映炮弹发射过程？你认为如何描述才能真实反映炮弹发射过程？56臭氧空洞面积变化图臭氧空洞面积变化图57（1）时间的变化范围是什么？空洞面积）时间的变化范围是什么？空洞面积s的的变化范围是什么？变化范围是什么？（2）s是是t的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？不能仅仅不能仅仅以以“因为任意一个时间因为任
48、意一个时间t都有唯一一个面积都有唯一一个面积s与与之对应之对应”了事，应该让学生在图上找出来，了事，应该让学生在图上找出来，再借助信息技术，把对于过程表达出来！再借助信息技术，把对于过程表达出来！（3）从所给的图中能回答）从所给的图中能回答“2002年对应的臭年对应的臭氧空洞面积是多少氧空洞面积是多少”吗？吗？（4）这是一个函数，有解析式吗？如果让你）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？把这个图搬表示出这个函数，你会怎么做？把这个图搬出来吗？出来吗？符号意识，符号意识，s=f(t)呼之欲出。呼之欲出。58恩格尔系数变化表恩格尔系数变化表时 间时 间（年）（年）9192
49、939495969798990001恩恩 格格尔 系尔 系数数(%)53.8 52.950.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.939.2 37.959（1）这个表格中，时间的变化范围是什么？能）这个表格中，时间的变化范围是什么？能不能用不能用1991,2001表示？恩格尔系数的变化范围表示？恩格尔系数的变化范围是什么？（可以是是什么？（可以是0.37,0.54，其实是（，其实是（0,1）（2）由这个表格，能判断恩格尔系数是不是年）由这个表格，能判断恩格尔系数是不是年份的函数？你能说清楚到底是怎么对应的吗？份的函数？你能说清楚到底是怎么对应的吗？（3）由这个表格，能得到
50、）由这个表格，能得到2002年的恩格尔系数年的恩格尔系数吗？吗？（4）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？把示出这个函数，你会怎么做？把这个表搬出这个表搬出来来吗？吗？符号意识符号意识，设恩格尔系数为，设恩格尔系数为w，年份为，年份为t，w=f(t)呼之欲出。呼之欲出。60归纳共同特征归纳共同特征 它们都是函数，有什么共同特征？它们都是函数，有什么共同特征？数数集集A，B，一个对应关系；对应关系的表示，一个对应关系；对应关系的表示形式不同（解析式、图、表），但本质一形式不同（解析式、图、表），但本质一样：对于集合样：对于集合A中任
