1、2020 年年高考模拟高考模拟（3 月份）高考数学模拟试卷月份）高考数学模拟试卷 一、一、填空填空题题 1已知集合已知集合 Ax|0x2，Bx|x1，则，则 AB 2设复数设复数 z 满足（满足（2i）z1+i（i 为虚数单位），则复数为虚数单位），则复数 z 3某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为 45s，黄灯吋间为，黄灯吋间为 3s，绿灯时间为，绿灯时间为 60s，从西向，从西向 东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 4在某频率分布直方图中，从左往右有在某频率分布直方图中，从左往右有 10 个小矩形，若
2、第一个小矩形的面积等于其余个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余 9 个小矩形的面积和的个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为，且第一组数据的频数为 25，则样本容量为，则样本容量为 5如图是一个算法的流程图，则输出的如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为的值为 6棱长均为棱长均为 2 的正四棱锥的体积为的正四棱锥的体积为 7将函数将函数 f（x）sin（x）（）（0）的图象向左平移）的图象向左平移个单位后，所得图象关于个单位后，所得图象关于 直线直线 x 对称，则对称，则 的最小值为的最小值为 8已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的偶函数当上的偶函数当 x0 时，时，f（x
3、），则不等式，则不等式 f（ （lnx） l 的解集为的解集为 9已知公差不为零的等差数列已知公差不为零的等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a26，若，若 a1，a3，a7成等比数列，成等比数列， 则则 S8的值为的值为 10若椭圆若椭圆+1 的焦点在的焦点在 x 轴上轴上，过点（，过点（1，）作圆）作圆 x2+y21 的切线，切点分别的切线，切点分别 为为 A，B，直线，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 11已知函数已知函数 f（x）mlnx 图象与函数图象与函数 g（x）2图象在交点处切线方程相同，则图象在
4、交点处切线方程相同，则 m 的的 值为值为 12在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线中，已知直线 l1：ymx 与曲线与曲线 f（x）2x3+x 从左到右依次交从左到右依次交 A、B、C 三点，若直线三点，若直线 l2： ：ykx+2 上存在上存在 P 满足满足|1，则实数，则实数 k 的取值范围的取值范围 是是 13在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆中，已知圆 O：x2+y21，圆，圆 C：（：（x4）2+y24，动点，动点 P 在在 直线直线 x+y20 上的两点上的两点 E，F 之间，过点之间，过点 P 分别作圆分别作圆 O，C 的切线，切点为的切线，
5、切点为 A，B， 若满足若满足 PB2PA，则线段，则线段 EF 的长度为的长度为 14 若 若ABC 中，中， AB， BC8， ， B45， D 为为ABC 所在平面内一点且满足 （所在平面内一点且满足 （ ） ，则，则 AD 长度的最小值为长度的最小值为 二、解答题二、解答题 15如图，在如图，在ABC 中，中，a，b，c 为为 A，B，C 所对的边，所对的边，CDAB 于于 D，且，且 （1）求证：）求证：sinC2sin（AB）；）； （2）若）若，求，求 tanC 的值的值 16如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知中，已知 M，N 分别为线段分别为线段 BB1，
6、A1C 的中点，的中点，MN AA1，且，且 MA1MC求证：求证： （1）平面）平面 A1MC平面平面 A1ACC1 （2）MN平面平面 ABC 17已知点已知点 O 为坐标原点，椭圆为坐标原点，椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为 F1、F2， 离心率为离心率为，点，点 I，J 分别是椭圆分别是椭圆 C 的右顶点、上顶点，且的右顶点、上顶点，且IOJ 的边的边 IJ 上的中线长为上的中线长为 （1）求椭圆）求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； （2）过点）过点 H（2，0）的直线交椭圆）的直线交椭圆 C 于于 A，B 两点，若两点，若 AF1BF1，求直线，求直线
7、 AB 的方的方 程程 18（16 分）某校有一块圆心分）某校有一块圆心 O，为半径为，为半径为 200 米，圆心角为米，圆心角为 的扇形绿地的扇形绿地 OPQ，半径，半径 OP，OQ 的的中点分别为中点分别为 M，N， ，A 为弧为弧 PQ 上的一点，设上的一点，设AOQ，如图所示，拟准备，如图所示，拟准备 两套方案对该绿地再利用两套方案对该绿地再利用 （1）方案一：将四边形绿地）方案一：将四边形绿地 OMAN 建成观赏鱼池，其面积记为建成观赏鱼池，其面积记为 S1，试将，试将 S1表示为关于表示为关于 的函数关系式；并求的函数关系式；并求 为何值时，为何值时，S1取得最大？取得最大？ （2
8、）方案二：将弧）方案二：将弧 AQ 和线段和线段 AN，NQ 围成区域建成活动场地，其面积记为围成区域建成活动场地，其面积记为 S2，试将，试将 S2表示为关于表示为关于 的函数关系式；并求的函数关系式；并求 为何值时，为何值时，S2取得最大？取得最大？ 19（16 分）已知正项数列分）已知正项数列an，其前，其前 n 项和为项和为 Sn，满足，满足 2Snan 2+a n， ，nN* （1）求数列）求数列an的通项公式的通项公式 an； （2）如果对任意正整数如果对任意正整数 n，不等式，不等式都成立，求证：实数都成立，求证：实数 c 的最大的最大 值为值为 1 20（16 分）已知函数分）
9、已知函数 f（x）（其中（其中 a，bR） （1）当）当 a1 时，若函数时，若函数 yf（x）在）在0，+）上单调递减，求）上单调递减，求 b 的取值范围；的取值范围； （2）当）当 b1，a0 时，时， 求函数求函数 yf（x）的极值；）的极值； 设函数设函数 yf（x）图象上任意一点处的切线为）图象上任意一点处的切线为 l，求，求 l 在在 x 轴上的截距的取值范围轴上的截距的取值范围 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22、23 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内 作答， 若多做， 则按作答的前两小题评分， 解
10、答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤作答， 若多做， 则按作答的前两小题评分， 解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选选 修修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 21已知矩阵已知矩阵 A 的逆矩阵的逆矩阵 A 1 求矩阵求矩阵 A 的特征值和相应的特征向量的特征值和相应的特征向量 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 22在极坐标系中，已知圆在极坐标系中，已知圆 C 的圆心极坐标为（的圆心极坐标为（2，），且圆），且圆 C 经过极点，求圆经过极点，求圆 C 的极的极 坐标方程坐标方程 选修选修
11、 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知已知 a，b，c 为正实数，为正实数，+27abc 的最小值为的最小值为 m 24把编号为把编号为 1，2，3，4，5 的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为 1，2，3，4， 5 的五个盒子里每个盒子里放入一个小球的五个盒子里每个盒子里放入一个小球 （1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率； （2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有）设小球的编号与盒子编号相同的情况有 X 种，求随机变量种，求随机变量 X 的分布列与期
12、望的分布列与期望 25设设 P（n，m）（1）k，Q（n，m），其中，其中 m， ，nN* （1）当）当 m1 时，求时，求 P（n，1），），Q（n，1）的值；）的值； （2）对）对xN+，证明：，证明：P（n，m） Q（n，m）恒为定值）恒为定值 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 1已知集合已知集合 Ax|0x2，Bx|x1，则，则 AB （0，+） 解：解：Ax|0x2，Bx|x1； AB（0，+） 故故答案为：（答案为：（0，+） 2设复数设复数 z 满足（满足（2i）z1+i（i 为虚数单位），则复数为虚数单位），则复数 z i 解：解：由（由（2i）z1+i，得：，得： 故答
13、案为故答案为 3某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为 45s，黄灯吋间为，黄灯吋间为 3s，绿灯时间为，绿灯时间为 60s，从西向，从西向 东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 解：解：某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为 45s，黄灯吋间为，黄灯吋间为 3s，绿灯时间为，绿灯时间为 60s， 从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口， 遇到红灯的概率为遇到红灯的概率为 p 故答案为：故答案为： 4在某频率分布直方图中，从左往右有在某频率分布直方
14、图中，从左往右有 10 个小矩形，个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余若第一个小矩形的面积等于其余 9 个小矩形的面积和的个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为，且第一组数据的频数为 25，则样本容量为，则样本容量为 150 解：解：设第一个小矩形面积为设第一个小矩形面积为 x， 由由 6x1，得，得 x， 样本容量为样本容量为 256150 故答案为：故答案为：150 5如图是一个算法的流程图，则输出的如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为的值为 7 解：解：在执行循环前：在执行循环前：K1，S1， 执行第一次循环时：执行第一次循环时：S1，K3， 执行第二次循环时，执行第二次循环
15、时，S3，K5， 执行第三次循环时，执行第三次循环时，S15，K7 由于：由于：S10， 输出输出 K7， 故答案为：故答案为：7 6棱长均为棱长均为 2 的正四棱锥的体积为的正四棱锥的体积为 【解答】解【解答】解设正四棱锥的底面中心为设正四棱锥的底面中心为 O，连结，连结 OP，则，则 PO底面底面 ABCD 底面四边形底面四边形 ABCD 是正方形，是正方形，AB2， AO OP 正四棱锥的体积正四棱锥的体积 V 故答案为：故答案为： 7将函数将函数 f（x）sin（x）（）（0）的图象向左平移）的图象向左平移个单位后，所得图象关于个单位后，所得图象关于 直线直线 x 对称，则对称，则 的
16、最小值为的最小值为 解：解：将函数将函数 f（x）sin（x）（）（0）的图象向左平移）的图象向左平移个单位后，可得函数个单位后，可得函数 y sin（x+）的图象；）的图象； 再根据所得图象关于直线再根据所得图象关于直线 x 对称，可得对称，可得 +k+，kZ， 当当 k0 时，时， 取得最小值为取得最小值为， 故答案为：故答案为： 8已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的偶函数当上的偶函数当 x0 时，时，f（x），则不等式，则不等式 f（ （lnx） l 的解集为的解集为 （，e4） 解：解：f（x）是定义在）是定义在 R 上的偶函数，上的偶函数， 不等式不等式 f（lnx）l
17、等价为等价为 f（|lnx|）l， 当当 x0 时，时，f（x）2，则函数，则函数 f（x）为增函数，）为增函数， 由由 f（x）1，得，得 x4，即，即 f（4）1， 则不等式则不等式 f（|lnx|）l 等价为等价为 f（|lnx|）f（4），）， 则则|lnx|4， 即即4lnx4， 即即xe4， 即不等式的解集为（即不等式的解集为（，e4），）， 故答案为：（故答案为：（，e4） 9已知公差不为零的等差数列已知公差不为零的等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a26，若，若 a1，a3，a7成等比数列，成等比数列， 则则 S8的值为的值为 88 解：解：设公差不为零的等
18、差数列设公差不为零的等差数列an的公差为的公差为 d，a26，a1，a3，a7成等比数列，成等比数列， a1+d6，a1a7，即，即，d0 解得解得 a14，d2 则则 S888 故答案为：故答案为：88 10若椭圆若椭圆+1 的焦点在的焦点在 x 轴上，过点（轴上，过点（1，）作圆）作圆 x2+y21 的切线，切点分别的切线，切点分别 为为 A，B，直线，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 解：解：设过点设过点（1，）的圆）的圆 x2+y21 的切线为的切线为 l：yk（x1），即），即 kxyk+0 当直线当直线 l 与与 x
19、轴垂直时，轴垂直时，k 不存在，直线方程为不存在，直线方程为 x1，恰好与圆，恰好与圆 x2+y21 相切于点相切于点 A （1，0）；）； 当直线当直线 l 与与 x 轴不垂直时， 原点到直线轴不垂直时， 原点到直线 l 的距离为：的距离为： d1， 解之得， 解之得 k， 此时直线此时直线 l 的方程为的方程为 yx+，l 切圆切圆 x2+y21 相切于点相切于点 B（ ，）；）； 因此，直线因此，直线 AB 斜率为斜率为 k12，直线，直线 AB 方程为方程为 y2（x1） 直线直线 AB 交交 x 轴交于点轴交于点 A（1，0），交），交 y 轴于点轴于点 C（0，2） 椭圆椭圆+1
20、的右焦点为（的右焦点为（1，0），上），上顶点为（顶点为（0，2） c1，b2，可得，可得 a2b2+c25，椭圆方程为，椭圆方程为 故答案为：故答案为： 11已知函数已知函数 f（x）mlnx 图象与函数图象与函数 g（x）2图象在交点处切线方程相同，则图象在交点处切线方程相同，则 m 的的 值为值为 e 解：解：设函数设函数 f（x）和）和 g（x）的交点为（）的交点为（x0，y0），则），则 由由 f（x）mlnx，得，得， f（x）在（）在（x0，y0）处的切线方程的斜率）处的切线方程的斜率， 同理，函数同理，函数 g（x）在（）在（x0，y0）处的切线方程的斜率）处的切线方程的斜率，
21、 f（x）和）和 g（x）在交点处切线方程相同，）在交点处切线方程相同， k1k2，即，即， 又又 y0f（x0）mlnx0， 由由解得，解得，me 故答案为：故答案为：e 12在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线中，已知直线 l1：ymx 与曲线与曲线 f（x）2x3+x 从左到右依次交从左到右依次交 A、B、C 三点，若直线三点，若直线 l2： ：ykx+2 上存在上存在 P 满足满足|1，则实数，则实数 k 的取值范围是的取值范围是 k或或 k 解：解：ymx 与曲线与曲线 f（x）2x3+x，可得它们的图象关于原点对称，可得它们的图象关于原点对称， 即有即有 A，C
22、关于原点对称，关于原点对称， 由由|1，结合平行四边形法则可得，结合平行四边形法则可得|1， 且且 PD 以以 O 为中点，即有为中点，即有|OP|， 由直线由直线 ykx+2 与圆与圆 x2+y2有交点，有交点， 即有即有， 解得解得 k或或 k 故答案为：故答案为：k或或 k 13在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆中，已知圆 O：x2+y21，圆，圆 C：（：（x4）2+y24，动点，动点 P 在在 直线直线 x+y20 上的两点上的两点 E，F 之间，过点之间，过点 P 分别作圆分别作圆 O，C 的切线，切点为的切线，切点为 A，B， 若满足若满足 PB2PA，则线段，
23、则线段 EF 的长度为的长度为 解：解：如图，如图， 圆圆 O：x2+y21 的圆心为的圆心为 O（0，0），半径为），半径为 1， 圆圆 C：（：（x4）2+y24 的余弦为的余弦为 C（4，0），半径为），半径为 2 设设 P（x，y），由），由 PB2PA，得，得 PB24PA2， 即即 PC244（PO21），）， （x4）2+y244（x2+y21），），整理得：整理得：3x2+3y2+8x160 又又 x+y20，x2+x30， 即即 |EF|x1x2| 故答案为：故答案为： 14 若 若ABC 中，中， AB， BC8， ， B45， D 为为ABC 所在平面内一点且满足 （所在
24、平面内一点且满足 （ ） ，则，则 AD 长度的最小值为长度的最小值为 解：解：建立如图的平面坐标系如图，建立如图的平面坐标系如图， 则则 B（1，1），），C（7，1），设），设 D（x，y），）， 则则（1，1），），（7，1），）， 则则（x，y），）， xy，7xy， （），（，（xy）（）（7xy）4， 即（即（x+y）（）（y7x）4， 设设得得 mn4，且，且， 则则 |AD| ， 当且仅当当且仅当 50m22n2，即，即 5mn 时取等号，时取等号， 即即 AD 长度的最小值为长度的最小值为， 故答案为：故答案为： 二、解答题：共二、解答题：共 6 小题，小题，15-17 每小
25、题每小题 14 分，分，18-20 每小题每小题 14 分，共计分，共计 90 分请在答题卡分请在答题卡 指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤 15如图，在如图，在ABC 中，中，a，b，c 为为 A，B，C 所对的边，所对的边，CDAB 于于 D，且，且 （1）求证：）求证：sinC2sin（AB）；）； （2）若）若，求，求 tanC 的值的值 解：解：（1）且且 BD+ADc， BDc，ADc， ，CDAB 在直角三角形在直角三角形 ACD 中，中，tanA， 在直角三角形在直角三角形 BCD 中，中，tanB，
26、 则则3， 即即 tanA3tanB， 则则， 即即 sinAcosB3cosAsinB， 则则 sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB+sinAcosB3cosAsinB 2sinAcosB2cosAsinB2sin（AB），）， （2），sinA， 则则 tanA，tanB， 则则 tanCtan（A+B） 16如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知中，已知 M，N 分别为线段分别为线段 BB1，A1C 的中点，的中点，MN AA1，且，且 MA1MC求证：求证： （1）平面）平面 A1MC平面平面 A1ACC1 （2
27、）MN平面平面 ABC 【解答】证明：（【解答】证明：（1）MA1MC，且，且 N 是是 A1C 的中点，的中点，MNA1C， 又又 MNAA1，AA1A1CA1， A1C，AA1平面平面 A1ACC1，MN平面平面 A1ACC1， MN平面平面 A1MC，平面，平面 A1MC平面平面 A1ACC1 （2）取）取 AC 中点中点 P，连结，连结 NP，BP， N 是是 A1C 中点，中点，P 为为 AC 中点，中点， PNAA1，且，且 BB1AA1， 又又 M 为为 BB1中点，中点，BMAA1，且，且 BMAA1， PNBM，且，且 PNBM，四边形，四边形 PNMB 是平行四边形，是平行
28、四边形， MNBP， MN平面平面 ABC，BP平面平面 ABC， MN平面平面 ABC 17已知点已知点 O 为坐标原点，椭圆为坐标原点，椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为 F1、F2， 离心率为离心率为，点，点 I，J 分别是椭圆分别是椭圆 C 的右顶点、上顶点，且的右顶点、上顶点，且IOJ 的边的边 IJ 上的中线长为上的中线长为 （1）求椭圆）求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； （2）过点）过点 H（2，0）的直线交椭圆）的直线交椭圆 C 于于 A，B 两点，若两点，若 AF1BF1，求直线，求直线 AB 的方的方 程程 解：解：（）由题意可得：（）由题意
29、可得：，a2b2+c2， 联立解得：联立解得：a22，bc1 椭圆椭圆 C 的标准方程为：的标准方程为：+y21 （）设（）设 A（x1，y1），），B（x2，y2），过点），过点 H（2，0）的直线方程为）的直线方程为 xky2，代入，代入 椭圆方程中，消椭圆方程中，消 x 可得（可得（k2+2）y24ky+20 则则16k28（k2+2）0，解得，解得 k或或 k2， y1+y2，y1y2， x1x2（ky12）（）（ky22）k2y1y22k（y1+y2）+4，x1+x2k（y1+y2）4， AF1BF1， 0， （x1+1）（）（x2+1）+y1y2x1x2+（x1+x2）+1+y1y
30、2k2y1y22k（y1+y2）+4+k（y1+y2） 4+1+y1y2（1+k2）y1y2k（y1+y2）+10 即即+10， 解得解得 k2， 故直线故直线 AB 的方程的方程为的方程的方程为 x2y2，即，即 x2y+20 18（16 分）某校有一块圆心分）某校有一块圆心 O，为半径为，为半径为 200 米，圆心角为米，圆心角为 的扇形绿地的扇形绿地 OPQ，半径，半径 OP，OQ 的中点分别为的中点分别为 M，N， ，A 为弧为弧 PQ 上的一点，设上的一点，设AOQ，如图所示，拟准备如图所示，拟准备 两套方案对该绿地再利用两套方案对该绿地再利用 （1）方案一：将四边形绿地）方案一：将
31、四边形绿地 OMAN 建成观赏鱼池，其面积记为建成观赏鱼池，其面积记为 S1，试将，试将 S1表示为关于表示为关于 的函数关系式；并求的函数关系式；并求 为何值时，为何值时，S1取得最大？取得最大？ （2）方案二：将弧）方案二：将弧 AQ 和线段和线段 AN，NQ 围成区域建成活动场地，其面积记为围成区域建成活动场地，其面积记为 S2，试将，试将 S2表示为关于表示为关于 的函数关系式；并求的函数关系式；并求 为何值时，为何值时，S2取得最大？取得最大？ 解：解：（1）由已知，）由已知，AOQ， S1S OAN+SOAM； 故故 S1100200sin+100200sin（） 10000（si
32、n+cos+sin）10000（sin+cos），）， 整理得整理得（平方米），（平方米）， 当当时，时，（平方米）（平方米） （2）由已知，）由已知，S2S扇形 扇形AOQSONA， ， 即即 S210000（2sin）；）； S2（）10000（2cos），故），故 S2（）0； S2（）在）在上为增函数，上为增函数， 当当时，时，（平方米）（平方米） 19（16 分）已知正项数列分）已知正项数列an，其前，其前 n 项和为项和为 Sn，满足，满足 2Snan 2+a n， ，nN* （1）求数列）求数列an的通项公式的通项公式 an； （2）如果对任意正整数）如果对任意正整数 n，不等式
33、，不等式都成立，求证：实数都成立，求证：实数 c 的最大的最大 值为值为 1 【解答】（【解答】（1）解：由题意，当）解：由题意，当 n1 时，时，2a1， 解得解得 a10（舍去），或（舍去），或 a11 由由，可得，可得， 两式相减，可得两式相减，可得， 即即， 整理，得（整理，得（an+1+an）（）（an+1an1）0， 数列数列an各项均为正数，各项均为正数， an+1an10，即，即 an+1an1 数列数列an是首项为是首项为 1，公差为，公差为 1 的等差数列，的等差数列， 数列数列an的通项公式为的通项公式为 ann，nN* （2）证明：由题意，对任意正整数）证明：由题意，对
34、任意正整数 n，不等式，不等式都成立，都成立， 可等价转化为，对任意正整数可等价转化为，对任意正整数 n，不等式，不等式 （）c 都成立都成立 ， c 的最大值为的最大值为 1cmax （） 另一方面，当任取实数另一方面，当任取实数a1时，时， 当当 a2 时，对任意的正整数时，对任意的正整数 n，都有，都有； 当当 1a2 时，只要时，只要，即（，即（2a）2（n+2）a2n，也就是，也就是 时，就有时，就有 满足条件的满足条件的 c1，从而，从而 cmax1 综上所述，可得综上所述，可得 c 的最大值为的最大值为 1 20（16 分）已知函数分）已知函数 f（x）（其中（其中 a，bR）
35、（1）当）当 a1 时，若函数时，若函数 yf（x）在）在0，+）上单调递减，求）上单调递减，求 b 的取值范围；的取值范围； （2）当）当 b1，a0 时，时， 求函数求函数 yf（x）的极值；）的极值； 设函数设函数 yf（x）图象上任意一点处）图象上任意一点处的切线为的切线为 l，求，求 l 在在 x 轴上的截距的取值范围轴上的截距的取值范围 解：解：（1）a1 时，时，的导函数的导函数， 由题意知对任意由题意知对任意 x（0，+）有）有，即，即x+1+b0， b（x1）min，即，即 b1； （2）b1 时，时，的导函数的导函数， （ i）当）当a0时，有时，有； ， 函数函数 yf（
36、x）在）在单调递增，单调递增，单调递减，单调递减， 函数函数 yf（x）在）在取得极大值取得极大值，没有极小值，没有极小值 （ ii）当）当a0时，有时，有； ， 函数函数 yf（x）在）在单调递减，单调递减，单调递增，单调递增， 函数函数 yf（x）在）在取得极小值取得极小值，没有极大值，没有极大值 综上可知：当综上可知：当 a0 时，函数时，函数 yf（x）在）在取得极大值取得极大值，没有极小值；，没有极小值； 当当 a0 时，函数时，函数 yf（x）在）在取得极小值取得极小值，没有极大值，没有极大值， 设切点为设切点为， 则曲线在点， 则曲线在点T处的切线处的切线l方程为方程为， 当当时
37、，切线时，切线 l 的方程为的方程为，其在，其在 x 轴上的截距不存在，轴上的截距不存在， 当当时，时， 令令 y0，得切线，得切线 l 在在 x 轴上的截距为：轴上的截距为： 当当时，时， 当当时，时， 当切线当切线 l 在在 x 轴上的截距范围是轴上的截距范围是 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22、23 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内 作答， 若多做， 则按作答的前两小题评分， 解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤作答， 若多做， 则按作答的前两小题评分， 解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤
38、选选 修修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 21已知矩阵已知矩阵 A 的逆矩阵的逆矩阵 A 1 求矩阵求矩阵 A 的特征值和相应的特征向量的特征值和相应的特征向量 解：解：由由，得，得， 由特征多项式由特征多项式（1）240，得，得 13，21， 所以特征值所以特征值 13 对应的特征向量对应的特征向量， 特征值特征值 21 对应的特征向量对应的特征向量 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 22在极坐标系中，已知圆在极坐标系中，已知圆 C 的圆心极坐标为（的圆心极坐标为（2，），且圆），且圆 C 经过
39、极点，求圆经过极点，求圆 C 的极的极 坐标方程坐标方程 解：解：方法一方法一 设圆设圆 C 上任意一点的极坐标上任意一点的极坐标 P（，），过），过 OC 的直径的另一端点为的直径的另一端点为 B，连接，连接 PO，PB 则在直角三角形则在直角三角形 OPB 中，中， 所以所以，即为圆即为圆 C 的极坐标方程的极坐标方程 方法二方法二的直角坐标为（的直角坐标为（），半径），半径， 所以圆所以圆 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为， 即即， 故圆故圆 C 的极坐标方程为的极坐标方程为， 即即 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知已知 a，b
40、，c 为正实数，为正实数，+27abc 的最小值为的最小值为 m 解：解：根据题意，根据题意，a，b，c 为正实数，为正实数， 则则 ， 当且仅当当且仅当时，取“”，时，取“”， 故故+27abc 的最小值为的最小值为 18； 所以所以 m18 24把编号为把编号为 1，2，3，4，5 的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为 1，2，3，4， 5 的五个盒子里每个盒子里放入一个小球的五个盒子里每个盒子里放入一个小球 （1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率； （2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有
41、）设小球的编号与盒子编号相同的情况有 X 种，求随机变量种，求随机变量 X 的分布列与期望的分布列与期望 解：解：（1）记恰有）记恰有 2 个小球与盒子编号相同为事件个小球与盒子编号相同为事件 A， 将将 5 个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有即即 120 种不同的放法，事件种不同的放法，事件 A 共有共有220 种放法，种放法， ， 答：恰有答：恰有 2 个盒子与小球编号相同的概率为个盒子与小球编号相同的概率为 （2）随机变量）随机变量 X 的可能值为的可能值为 0，1，2，3，5 ， ， 可得分布列：可得分布列： x 0 1 2 3 5 P 25设设 P（n，m）（1）k，Q（n，m），其中，其中 m， ，nN* （1）当）当 m1 时，求时，求 P（n，1），），Q（n，1）的值；）的值； （2）对）对xN+，证明：，证明：P（n，m） Q（n，m）恒为定值）恒为定值 解：解：（1）当）当 m1 时，时， ； （2） ， 即即， 由累乘，易求得由累乘，易求得， 又又， 所以所以 P（n，m） Q（n，m）1 为定值为定值
